方程的类型及相应解法

1、方程的类型及相应解法描述流体或磁流体等现象的方程通常可写成如下形式双曲型022222gfuyuexudyucyxubxua条件 类型 举例042 acb042 acb042 acb抛物型椭圆型波动方程热传导方程泊松方程022222xuctu22xutugyuxu42222模型模型方程方程（磁）流体力学的基本方程是复杂的非线性方程组，其数学性质（如解的存在性、唯一性、提法的适定性等）都在研究中。故计算流体力学中常先对模型方程（具有相同方程类型的线性方程）分析计算方法的精度、收敛性、稳定性及误差特征，进而推广到非线性方程（组）。0 xuctu22xutu02222yuxu双曲型抛物型椭圆型单波方程

2、热传导方程laplace方程1. 椭圆型方程椭圆型方程令2222yxl则泊松方程记为),(),(yxfyxludyx ,边条：),(),(yxgyxudyx ,其中： 是边界为 的有界区域dddirichlet问题是适定的，neumann问题（给定导数）是部分适定的部分边界给定函数值、其余给定导数也是适定的cauchy问题（同时给定函数值及其导数是不适定的）边值问题定解条件定理1：若 则 若 则1.1 相关定理相关定理引理：引理：考虑边界误差及舍入误差，存在最考虑边界误差及舍入误差，存在最佳的佳的 x和和 y ( (增加网格点舍入误差增大增加网格点舍入误差增大) )0),(yxvl),(max

3、),(maxyxvyxvdd0),(yxvl),(min),(minyxvyxvdd定理2：若 任意，则),(yxvlvlllvvdyxddmax2),min(maxmax2参见程一心著作计算流体动力学以均匀网格为例，且x=y1.2 差分格式差分格式正五点格式正五点格式jijijijijijifxuuuuu,2,1,1, 1, 14斜五点格式斜五点格式jijijijijijifxuuuuu,2,1, 11, 11, 11, 124对非均匀网格，则微分方程化为代数方程jijijijijijijijijijijisueuducubua,1,1, 1, 1,多重网格法 multigrid参考文献：s

4、medinghoff, m. l. 2005demmel, j.请自习2. 双曲型方程双曲型方程初条：精确解为熟知的dalembert公式2. 1 二阶波动方程二阶波动方程22222xuctu)()0,(xfxu初值问题)0,(txd)(212)()(),(ctxctxgcctxfctxftxu注：椭圆方程中任一点的解受所有点的影响。)()0,(xgtxutx(x*,t*)x*-ct* x*+ct* 依赖区间依赖区间c为常数n阶线性双曲型方程可化为基本的一阶线性双曲型偏微分方程组2. 1 . 1 备注备注)()0,(xfxubxuatu如22222xuctuxvctuxuctv初条：.d)(1

5、)()0,(0constgcxgxvx初条：)()0,(xfxu)()0,(xgtxu可化为若采用中心差分形式，则差分方程为2. 1 . 2 差分问题的适定性差分问题的适定性11122112nininininiuuuxtcuxtcu若ct x, 则差分问题的依赖区间（仅3点）位于微分问题的依赖区间内部，故3点之外的值可任意改变而不影响该点的新值，此与原微分问题冲突，因此，此差分问题的收敛必要条件是courant-friedrichs-lewy条件（cfl条件），即tx1xtcr不稳定稳定若r0)或负向(c0为例），则为例），则左边界必须给定边界值（否则为欠定），右边左边界必须给定边界值（否则为

6、欠定），右边界不能给定边界值（否则为过给定）。欠定和界不能给定边界值（否则为过给定）。欠定和过给定的边条均称为数学提法不适定。过给定的边条均称为数学提法不适定。c为常数)(),(ctxftxu0l特征特征线线2. 2 . 1 差分格式差分格式1. 迎风格式（up-wind scheme）nininininininiuuxtcuuuxtcuu111(c0)(c0)精度： 稳定条件：迎风指差分方向总是迎着传播方向),(xto| cxt2. 蛙跳（leapfrog）格式ninininiuuxtcuu1111精度： 稳定条件：),(22xto| cxt附: 稳定性分析ninininiuuxtcuu11

7、11假设存在一个扰动，取其fourier级数中任一项xjiktnxiktnjmmjmneeeetx),(代入差分方程，解出放大因子te稳定性条件是放大因子小于等于1。参见傅德薰、马延文著计算流体力学作业：推导上述差分格式的稳定性条件4. lax格式或friedrichs格式 （为克服上式问题）精度： 稳定条件：),(22xtxto| cxtnininininiuuxtcuuu111112213. 时间前差，空间中心差分的显格式精度： 稳定条件：即使 也不稳定),(2xto| cxtninininiuuxtcuu1112将 在（n, i）点附近作taylor展开并代入ninininiuuxtcu

8、u1112修正方程 差分方程所准确逼近的微分方程，称为该差分方程的修正方程1niuniu1niu1),(61212222xtouxctuccuuxxxxxxt修正方程是差分方程的微分表达式，它与原微分方程之差即差分方程的截断误差。截断误差的偶次导数项是耗散误差项（或差分粘滞项、又称为隐式人工粘滞项），奇次导数项是色散误差项。若截断误差中最低导数项是偶次，则该差分方程以耗散误差为主，若为奇次，则以色散误差为主。上述格式以耗散为主，且为逆耗散，故不稳定。5. lax-wendroff格式精度： 稳定条件：),(22xto| cxtnininininininiuuuxtcuuxtcuu1122211

9、12226. 全隐格式精度： 稳定条件：恒稳),(2xto111112ninininiuuxtcuu它也等价与半步长下的lax格式半步长下蛙跳格式对于非齐次方程，此格式精度为注意：对欧拉方程，采用此格式前先化为守恒形。),(2xto7. crank-nicholson格式精度： 稳定条件：恒稳),(22xtoninininininiuuuuxtcuu11111114相当于中间时刻的中心差分8. 跳点（hopscotch）格式精度： 稳定条件：),(22xto111111122ninininininiuuxtcuuxtcuu| cxt偶数)1(in奇数)1(intxtntn+1显格式实现了隐格式

10、的效果3. 抛物型方程抛物型方程初条：精确解为（以热传导或磁扩散方程为例）（以热传导或磁扩散方程为例）22xutu)()0,(xfxu初值问题)0,(txd)(4)(exp41),(2ftxttxu不论初始分布如何集中，它总在瞬间影响于无穷远，虽该影响随距离按指数衰减，然而它是以无限速度传播。此乃抛物型方程解的特征。3.1 差分格式差分格式1. 显格式精度： 稳定条件：),(2xto22xtnininininiuuuxtuu112122. 蛙跳（dufort-frankel）格式ninininininiuuuuxtuu11112112精度： 稳定条件：恒稳),(222xtxto而 恒不稳nin

11、inininiuuuxtuu1121122说明 由于蛙跳格式涉及三个时间步的值，而已知条件仅1个时间步的值，故第一步可随便采用其它格式由初始值算出第一时间步的值，然后方可采用蛙跳格式。3. crank-nicholson格式精度： 稳定条件：恒稳),(22xtoninininininininiuuuuuuxtuu1111111212224. 全隐格式精度： 稳定条件：恒稳),(2xto11111212nininininiuuuxtuu相当于中间时刻的中心差分5. 跳点（hopscotch）格式精度： 稳定条件：恒稳111112112122ninininininininiuuuxtuuuxtuu偶数)1(in奇数