高数微分方程

1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院1第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程4.2.1 解的存在性与唯一性定理解的存在性与唯一性定理上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院2定理定理 对于微分方程对于微分方程 yxfdxdy, 和初始条件和初始条件 ,00yxy , ,:,212100yylyxfyxflipschitzybyyaxxdyxf 条条件件适适合合内内连连续续，而而且且对对于于在在矩矩形形区区域域如如果果 .,max,min ,00yxfmmbahhxhxidyx 而而其其中中常常数数上上存存在在唯唯一一解解，则则初初值值问问题题在在区区间间上一页上一页下一

2、页下一页湘潭大学数学与计算科学学院34.2.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院4一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yg和和)(xf是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,cxfyg )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院5例例1 1 求解微

3、分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lncxy .2为所求通解为所求通解xcey 二、典型例题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院6.0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lncduugufuugx 通解为通解为解解上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院7例例 3 3 衰衰变

4、变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量m成成正正比比,已已知知00mmt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tm随随时时间间t变变化化的的规规律律.解解,dtdm衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 mdtdmdtmdm , dtmdm00mmt 代代入入,lnlnctm ,tcem 即即00cem 得得,c temm 0衰变规律衰变规律上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院8解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含

5、量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2co%1 . 02co2co2co%03. 0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2co)%(txt,dttt 在在 内内,2co的通入量的通入量2co的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院92co的通入量

6、的通入量2co的排出量的排出量2co的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tcex , 1 . 0|0 tx,07. 0 c,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02co上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院10三、可化为可分离变量的微分方程三、可化为可分离变量的微分方程 是是常常数数微微分分方方程程a,bbyaxfdxdy . 1 求导，得求导，得两端对两端对作变量代换作变量

7、代换xbyaxz, ,dxdybadxdz 所以所以因因,zfdxdy ,zbfadxdz 。或或dxzbfadz 两端分别积分，得两端分别积分，得 。czbfadzx 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院11利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(2的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctancxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xcxy 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院122 2、齐次方程、齐次

8、方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .（2）.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程（1 1）. .定义定义上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院13,0)(时时当当 uuf,ln)(1xcuufdu 得得,)(ucex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xycex 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.

9、0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院14例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsincxu .lnsincxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院152222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微

10、分方程求解微分方程解解上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院16,lnlnln21)2ln(23)1ln(cxuuu .)2(123cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xycyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院17例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图如图),0 , 0(光源在光源在)(:xyyl xyomtnrl上任一点，上任一点，为为设设lyxm),(,ymt 斜斜率率为为为为切切线线,

11、1,ymn 斜率为斜率为为法线为法线,nmromn 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院18 ynmryxyxyyomn1tan11tan, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantannmromn 由夹由夹角正角正切公切公式得式得xyomtnrl上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院19，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxct , 112 xcu即即上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院20平方

12、化简得平方化简得,2222xcxcu 得得代回代回,xyu )2(22cxcy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222cxczy 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院21( h, k 为待 二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111时当bbaa作变换kyyhxx,dd,ddyyxx则原方程化为 ybxaybxaxy11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k ybxaybxaxy11dd(齐次方程)定常数), 机

13、动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院22,代入将kyyhxx求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211时当bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0( b机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院23例例4. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1yyxxyxyxxydd得再令 yx u ,

14、得令06 kh5, 1kh得xxuuudd112积分得uarctan)1(ln221uxcln代回原变量, 得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院2415arctanxy2151ln21xy) 1(lnxc52xy利用得 c = 1 , 故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改为 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:. yxv令第四节 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院25分离变量法步骤分离变量法步骤: :1、分离变量、分离变量;2、两

15、端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结p263 1,2题的奇数题的奇数上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院26齐次方程齐次方程).(xyfdxdy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程. kyyhxx令令上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院27思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院28思考题思考题方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是

16、否为齐次方程是否为齐次方程?上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院29一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352

17、( dyyxdxyx. .练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院30练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、cxyxy 2)32)(34(. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院31思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院32思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyx

18、dxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2cx 为所求解为所求解.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院33一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院34三、质量三、质量克