ch金精算现值实用PPT课件

1、3. 生存年金精算现值的概念：1:nnxx nAvp注意：精算现值因子与趸缴纯保费精算积累因子11nnxnxEvp定义精算现值因子：nnxnxEvp第1页/共56页例3.1 某人遗嘱中记录，其儿子年满21岁时可获得其5万元遗产。若其子现年12岁，利用附录中生命表计算其儿子所得遗产的精算现值（i=6%）。解：9921912912129500005000050000(1 0.06)98322650000(1 0.06)98842729439.20()lEvpl元第2页/共56页例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元在65岁的精算积累值。解：353035306535150005

2、000 1.069766115000 1.0681833545863.35()lEl元第3页/共56页5.2 连续给付型生存年金连续型生存年金：在保障期间，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险形式。类型：终身年金定期年金延期年金第4页/共56页n 几种年金形式的精算现值模型假设：(x)购买终身生存年金，连续给付，年支付额1元总额支付法考虑其精算现值： 设余命 T , 未来给付的现值随机变量 Y，则1TTvYa00( )xTtxx tTttaEYEaa ft dtapdtxa1. 终身生存年金第5页/共56页(x)生存至t的概率为考虑到计算时间t,t+dt)所支付的当期年金的现值按可能支付的

3、时间积分，得到期望年金现值tv dt0txtxavp dt现时支付法考虑其精算现值：txp第6页/共56页2. n年定期生存年金:0nttxx navp dt: xna0 ,0 ,( )Tnntxx tnxx ntnaTnYaTnaE Yapdtap：第7页/共56页3. 延期年金延期h年终身生存年金延期h年n年定期年金|:thxtxxhxx hx hhavp dtaaEa|:h nthtxhxx nx h nx hx h nhavp dtaaEa第8页/共56页例3.3 设随机变量T的概率密度函数为利力为0.05，求（1）（2） 基金足够用于实际支付年金的概率。xaxa0.015( )0.0

4、15,(0),tf tet0.0150.0150.0150.050.0150.065000(1)( )0.015()|15.38461515.38sstxTttttttttxtxpft dtedseeavp dteedtedt 解：0.0529.310.01501(2) Pr()Pr(15.38)Pr(29.31)0.050.0150.3557TxTteaaTedt注：只有一张保单时，以期望值建立基金，保证支付概率偏低。第9页/共56页n 年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系1. 关系（以终身生存年金为例）1xxaA类似地，有:|:1x nxhxxxhxx nx h naAAaAAaA： n：

5、h： h111()()()(1)TxxTvZaE aEEA第10页/共56页222:2111( )()( )1()() xxTZYZVar YVarVar ZVar aAA2. 方差终身年金：2222:11( )()( )1( )() x nx nZVar YVarVar ZVar YAAn年期生存年金：第11页/共56页延期h年终身生存年金：|0,hT hThYaTh22220()()hhtxx thxsx hx h st hshEYv apdtvpapds 2222022()()hsshhxsx hhxx hx hvpvvpdsvp aa22222|2( )()()()hhxx hx hh

6、xVar YEYEYvp aaa第12页/共56页n 年金的精算积累值:nnx nx nasas:0nx ntxx nnxnxaEsdtEE:(1)nx nxx nx nlsi l a第13页/共56页5.3 离散型年金n 期初付年金及其精算现值1 终身生存年金模型假定：(x)购买了期初付终身生存年金，年金金额为1元，每个保单年度初给付年金给付现值随机变量：21|1.KKYavvv 总额支付法中对上式求期望即得精算现值xa 11Kvd第14页/共56页现时支付法：总额支付法:0kxkxkavp111001( )()kxxkxx kkKkkkvaE YE aaqp qd两种方法下的精算现值：第1

7、5页/共56页 模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，每个保单年度初给付年金1元年金给付的现值随机变量： 11|1,0,1,2,.,11,1,.KKnnvaKndYvaKn nd2 n年定期生存年金第16页/共56页: |x na n年定期生存年金的精算现值11:00nnkkxkxx nkkavpE3 延期付期初付生存年金1|:n hkhkxhxx nx h nx hx h nk havpaaEa |:khxkxxhxx hx hk havpaaEa第17页/共56页111KKvYad1111( )( )()1KxxxxAvE ZaE YEdddAdan 年金精算现值与寿险趸缴纯保费

8、的关系1 终身年金：说明：x岁的生存者，在年利率为i时，缴纳1元保费可享受每年初给付d元的终身生存年金，并且死亡时还有1元的死亡给付。第18页/共56页2212211 KxxAAvVar YVarVar Zddd给付现值随机变量的方差：第19页/共56页:( )x nE ZA2 其他年金形式：n年定期生存年金：:111( )( )()1x nx nx nx nAZE ZaE YEdddAda22: |: |22()11 x nx nAAZVar YVarVar Zddd第20页/共56页延期付生存年金：:1()xxmx maAAd:1()xm nx mx m naAAd第21页/共56页n 期

9、末付年金的精算现值1 期末付终身生存年金在每个保单年度末给付1元，直至终身死亡。xa1011kkxkxkxxkkavpvpa ( )()KxKYaaE YE a现时支付法：总额支付法：第22页/共56页精算现值与趸缴纯保费的关系： 111111 (1)xxxxxxAAdaaddivAi Aivi 1 (1)xxiai A xxxAvaa第23页/共56页2 其他期末付年金形式: |: |11nknkxnxx nx nkavpavp :1:11x nx nx nx nx naaAvaa 第24页/共56页险种延期m年期末付终身生存年金延期m年期末付n年定期生存年金精算现值:1:1:1:11()x

10、m nx m nx mmxx m nx m nx mx mx m naaaEaaaAAd :1:11()xxmx mmxx mxx mxx maaaEaaaAAd第25页/共56页n 年金的精算积累值:x nx nas:x nx nnxasE:(1)nx nxx nx nlsi l a11:001100111(1)nnkxkxx nx nkknxnxnxnnn kx kkkn kx kx nEsaEEEEliEl第26页/共56页5.4 每年给付数次的年金1 终身生存年金模型：（x）,终身生存年金，每年支付m次，期初支付，每次支付1/m.精算现值：给付现值随机变量：视1/m段为一年，L表示活过

11、的整1/m段数，实际利率为 ，实际贴现率为 ，于是考虑每次付款额为1/m的年金()01kmmxkxkmavpm()mim()mdm()11miLmYam第27页/共56页()()(1)(1)()()()()1 (1)1(1)1mmLLmxmmmiiEAmmEYEddd()()mxxmiAAi其中，()()()1mmmxxdaA()()(1)()11 (1)11mmLmiLmimYadmmm第28页/共56页两类年金精算现值关系()mxxaa与()()()()()1mxxmmmmxxxxiAAidaAdaA由上两式，可得()()()()()()()( )( )( )( )mmxxmmmmmxxi

12、diiaaididmmam am第29页/共56页()( )( )mxxam am精确公式：i很小时 ，因此有近似公式1( )1,( )2mmmm()12mxxmaam对上述近似公式的说明：根据下面提示得到()0|121|1()1,(1,2,)mxxxxmxmmmkxxmaaaaamkmaakmm第30页/共56页2 定期生存年金模型：(x)期初付、n年期、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值：( )( ) ( )( )xnxx nm amEm am()()():mmmxnxx nx naaEa():1(1)2mnxx nx nmaaEm:( )( )(1)nxx nm amE第31页/共5

13、6页3 延期终身生存年金模型：(x)期初付、延期h年、终身年金、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值：()|()| ( )( )( )( )12mhxhxx hhxhxmhxhxhxaEm ammamEmaaEm第32页/共56页4 期末付终身生存年金模型：(x)每期期末付、终身年金、每年给付m次，每次给付1/m.精算现值：()()1mmxxaam112xmamm1211212xxxmammammam 第33页/共56页例3.5 (35)欲购买如下生存年金，已知下列年金均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率6%。求下列年金的精算现值：(1)终身年金；(2)延期15年终身年金；(3)15

14、年定期生存年金。35351535:15(15.695458,10.198933,0.4038336)aaE设解：()()()()()(12)1.00028095(12)0.46811888mmmmmididiiid第34页/共56页(12)35351000 1212000 (12)(12)12000 1.00028095 15.6954580.46811888182780.98aa(1) (2)(3)(12)15|3515|3515353535:151200012000 (12)(12)12000 1.00028095 ()0.46811888 0.403833663708.32aaEaa(1

15、2)153535:1535:151200012000 (12)(12) (1)12000 1.00028095 10.1989330.46811888 (1 0.4038336)119072.66aaE第35页/共56页1000000 N (1)S =(1) xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkxx kx kkkDv lCvdMCDRMkCNkD5.5 利用换算函数计算年金精算现值第36页/共56页0kxkxkavp1 每年给付一次的生存年金终身生存年金00 x kkx kx kxkkxxlvlvlv l0 x kkxxxDNDD第37页/共56页注：期末付终身生存年金111xx

16、xxxxxxxNNDNaaDDD 第38页/共56页|: |: |1|11:11|:x hhxxxx nx nxx hx h nhx nxx hhxxxx nx nxx hx h nhx nxNaDNNaDNNaDNaDNNaDNNaD 其他：第39页/共56页险种期初付期末付终身生存年金定期生存年金延期终身生存年金延期定期生存年金xxxDNa1xnxxnxDNNa: xnxxnxDNNa11:xxxDNa x hxhxNaD1x hxhxNaD :x hx h nhx nxNNaD 11:x hx h nhx nxNNaD 第40页/共56页例3.6设对(60)每年年末给付养老金10000元

17、，直到死亡，求该年金的精算现值（i=6%）。616060279104.3510000100001000026606.02104902.71(NaD元）解：第41页/共56页253525:10|2510000100003762125 19856921000022838577782.39NNaD例3.7 (25)，欲购买一份10年期每年年初给付10，000元的生存年金，求该年金的精算现值（i=6%）。解：精算现值为第42页/共56页2 每年给付m次的生存年金计算方法：（一）将a(m)与 a建立联系，即年付多次的用年付一次的表示。()():()|( )( )( )( )(1) ( )( )mxxmn

18、xx nx nmhxhxx ham amam amEaEm am第43页/共56页（二） N(m)与N建立联系，引入一个新的换算函数符号。()01kmmxkxkmavpm()01mxkxkmNDm记()()1( )( )2mxxmxxxxxaamNm Nm DNDm由与关系，可知()()mmxxxNaD则0011kxmkxmkxxkkxxmvlDmv lmD第44页/共56页结论：()()()()1/()()()()()()1/1/:()()()()1/|mmmmxxmxxxxmmmmmmxx nxmx nmx nx nxxmmmmx hx hmhxxhxxNNaaDDNNNNaaDDNNaa

19、DD ()()()11001( )( )21111mxxxxxmmkkxxxxxxkkmmmmmNm Nm DNDmNDDDNDmmmm第45页/共56页例3.8 (30)每月初可领取生存年金240元，求下列年金精算现值（UDD, i =6%）：（1）终身生存年金；（2）延期10年终身生存年金；（3）10年定期生存年金。解：(12)(12)(12)(12)(12)(12)1.00028095,(12)0.46811888ididiiid第46页/共56页(12)(12)303030303030(12)(12)(1) 240 1228802880(12)2743767(12)170037.828

20、8045137.18()170037.8NNDaDD元(12)(12)4040403010|3030(2)(12)(12)240 1228802880(12)1422017(12)93942.94288023347.20()170037.8NNDaDD元(12)(12)(12)304030:10303030404030(3)240 122880 (12)(12) (12)(12)288045137.1823347.2021789.98()NNaDNDNDD元第47页/共56页例3.9 求(30)每年支付1200元的下列期末付终身生存年金的精算现值（6%）。若给付方法为：（1）按年；（2）按半年

21、；（3）按季；（4）按月。解：313030(1)257373012001200120018163.46()170037.8NaD按年：元(2)30 1/2303030303030(2)(2)1.000212175,(2)0.257390798(2)(2)1/2120048001200(2)2743767( (2) 1/2)170037.8120018458.65()170037.8NNDDaDD(2)按半年：元第48页/共56页(4)30 1/4303030303030(3)(4)1.000265495,(4)0.384238622(4)(4)1/4120012001200(4)2743767

22、( (4) 1/4)170037.8120018607.52()170037.8NNDDaDD(4)按季：元(12)30 1/12303030303030(4)(12)1.00028095,(12)0.46811888(12)(12)1/12120012001200(12)2743767( (12) 1/12)170037.8120018707.16()170037.8NNDDaDD(12)按月：元第49页/共56页第五章中英文单词对照 生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧 Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment