(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原

1、10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理完成一件事，有n 类不同方案，在第1 类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方案中有m种不同的方法在第 n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第 2步有m种不同 的方法做第 n步有m种不同的方法.那么完成这件事共有N=种不同的方法3两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题 ， 区别在于： 分类加法计数原理针 对的是 “分类 ” 问题 ， 其中各种方法 ，用其中 都可以做完这

2、件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ，只有 才算做完这件事4两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析是需要分类还是需要分步(1) 分类要做到“ ”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2) 分步要做到“ ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要 ，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数自查自纠1. mi+m+ m2. mx mx x m3相互独立任何一种方法互相依存各个步骤都完成4 (1) 不重不漏(2) 步骤完整 相互独立将 5 封信投入 3 个

3、邮筒，不同的投法共有 ()A 53种 B 35种C 3 种 D 15种解： 第 1 封信，可以投入第 1 个邮筒，可以投入第2 个邮筒，也可以投入第 3 个邮筒，共有 3 种投法；同理，后面的 4 封信也都各有3 种投法所以， 5 封信投入3 个邮筒，不同的投法共有35种故选B.15 / 14（2013 福建）满足 a, bC 1, 0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+ b=0有实数解的有序数对（a, b）的个数为（）A. 14B. 13C. 12D. 10，,b , qA,解：当a=0时，2x + b=0? x=2,有序数对（0, b）有4个；当awo时，A=4 4ab0? aba3,则

4、称这样的三位数为“凸数” （如 120， 343， 275 等） ，那么所有“凸数”的个数为（）D 920C 729B 204A 240解：若a2=2,则“凸数”为120与121,共1X2 =2（个）；若82 = 3,则“凸数”有2X3=6（个）；若a2=4,则“凸数”有3X4 = 12（个）；若a2=9,则“凸数”有8X9= 72（个）.，所有“凸数”有 2+6+ 12+20+ 30+42+56+72 = 240（个）.故选 A7 从6 个人中选 4 个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6 个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同

5、的选择方案共有种解：共有 4X 5X4X3= 240（种）.故填 240.8 . （2015 北京模拟）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121, 3 443 , 94 249等.显然 2位回文数有 9个：11, 22, 33,，99; 3位回文数有 90个：101, 111 , 121,，191 , 202,，999.则（1）4 位回文数有 个；（2）2 n+1（nC N*）位回文数有 个.解： （1）4 位回文数等价于填4 个方格，首尾相同，且不为0 ，共 9 种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9X10= 90（种）填法，即4位回文数有90个.（2）根据回文数的定

6、义，此问题也可以利用填方格法计算.结合计数原理知，有9X10n种填法.故填90; 9X10n.9.已知集合 M= 3, 2, 1, 0, 1, 2, Ra, b）表示平面上的点（a, be M）,问：（1） P 可表示平面上多少个不同的点？（2） P可表示平面上多少个第二象限的点？（3） P可表不多少个不在直线 y = x上的点？解：(1)确定平面上的点 Ra, b)可分两步完成：第一步确定 a的值，共有6种确定方法；第二步确定 b的值，也有 6种确定方法.根据分步计数原理，得到所求点的个数是6X6= 36 个.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a,由于a0,所以有2种确定方法.

7、由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3X2= 6个.(3)点P(a, b)在直线y=x上的充要条件是 a=b.因此a和b必须在集合 M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.结合(1)可得不在直线y = x上的点共有36-6= 30个.10 .从 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3中任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+ c(aw 0)的系数.设抛物线过原点，且顶点在第一象限.这样的抛物线共有多少条？、 2, _ b 4acb2、解：抛物线 y=ax+bx+ c过原点，且顶点(丁， )在第一象限，a, b, c应2a 4a满足,c + bxo + ax02 =

8、 0c= 0,即 av0,b,02ab0.b24ac，03; c取0.所以满足条件的抛物线分二步，a可以取一3, 2, 1 ； b可以取1, 2,的条数为N= 3X3X1= 9.11 .给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？解法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.当染边 1时有3种染法，则染边2有2种染法.(1)当边3与边1同色时有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法 总数为 3X2X 1X2X1 = 12(种).(2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，当边 4与边1

9、同色时，边4有1种染 法，边5有2种染法；当边 4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法.则此时共有染法 3X2X1X(1 X2+1X1)= 18(种).综合 (1) 、 (2) ，由分类加法计数原理，可得染法的种数为 30 种解法二： 通过分析可知，每种色至少要染1 次，至多只能染2 次，即有一色染1 次，剩余两种颜色各染 2次.染五条边总体分两步.第一步选一色染1次有C1C5种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2c3c5 =30种染法.(2014 福建)用a代表红球，b代表蓝球， c 代表黑球由加法原理及乘法原理，从1 个红球和 1 个蓝球中取出若干

10、个球的所有取法可由(1+a)(1 +b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式5 个无区别的红球、 5 个无区别的蓝球、 5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()234555A (1 a a a a a )(1 b )(1 c)523455B (1 a )(1 b b b b b )(1 c)523455c (1 a) (1 b b b b b )(1 c ) 552345D (1 a5)( 1b)5(1 cc2c3c4c5)解：分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，5个，则有(1 +a a2 a3 a4 a5) 种不同的取法；第二步， 5 个无区别的蓝球都取