复变函数第3章

1、121 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义 向曲线向曲线C：设平面上光滑或分段光滑曲线 C 的两个端点为A和B. 曲线C 有两个可能方向：从点 A 到点 B 和从点B到点 A. 若规定其中一个方向(例如从点 A 到点 B 的方向)为正方向，则称 C 为有向曲线有向曲线，此时称点 A 为曲线 C 的起点起点，点 B 为曲线 C 的终点终点. 从终点到起点的方向则称为C的负方向负方向, 记作C . C3周线：周线：分段光滑的简单闭曲线简称为周线周线. 当观察者绕周线环行时, 如果周线内部在观察者的左手方, 就规定这个环行方向为周线的正向正向, 反之就叫负向负向.4定义3.1 设C为一条光滑或

2、分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点，函数f(z)在曲线C上有定义.若不论曲线C的分法及点k的取法如何，当趋向于零时Sn极限都存在，则称函数f(z)沿曲线沿曲线C可积可积，并称这个极限值为极限值为函数 f(z)沿曲线沿曲线C的积分的积分，记作 在每个小弧段 (k=1,2,n)上任取一点k,并作和式 其中1(),nnkkkSfz1kkkzzz10( )dlim(),nkkkCf zzfz其中 f(z)称为被积函数，f(z)dz 称为被积表达式.沿着C正方向在C上依次任取分点：z0=A, z1, , zn-1, zn=B, 将曲线C划分成 n个小弧段3) 取极限取极限2) 求和求和1)分割分

3、割0lim,nS其中为n个小弧段长度中的最大值.若C为围线，则f(z)沿曲线C的积分也记作 Cd)(zzf52.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则( )d( )d .CCf zzf zz 性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则( )( )d( )d( )d ,CCCf zg zzf zzg zz其中,为任意常数.性质3.3（积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段, 依次首尾相接而成，则 12( )d( )d( )d( )d .nCCCCf zzf zzf zzf zz6性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可

4、积，且对任意z C，满足| f(z)| M, 曲线C的长度为L,则 ( )d|( )|d,CCf zzf zsML其中 , 为曲线C的弧微分.22ddddszxy证证：记sk为zk-1与zk之间的弧长 111()()|()|.nnnkkkkkkkkkfzfzfs0两端取极限 ( )d|( )|d .CCf zzf zs11()nnkkkkkfsMsML|( )|d.Cf zsML73.复积分的基本计算方法复积分的基本计算方法 （ ）实曲线积分法定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且 ( )dddidd .CCCf zzu xv yv xu

5、y证： 11, , , kkkkkkkkkkkkizxiyxxxyyy111()().kkkkkkkkkzzzxiyxiyxi y 11 (,)(,)i (,)(,).nnkkkkkkkkkkkkkkuxvyvxuy 1()nkkkfz1 (,)(,)()nkkkkkkkuivxi y 已知f(z) 沿C连续，所以u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在. 因此积分存在，且 ( )dddidd .CCCf zzu xv yv xu y8设f(z)沿曲线C连续，对任意z=z(t) C，有 f(z(t) = u(x(t), y(t) + i v(x(t), y(t) = u(t) +i v

6、(t) ( )dddidd( ( ) ( )( )( )di( ( )( )( ) ( )d ,CCCbbaaf zzu xv yv xu yu t x tv t y ttu t y tv t x tt( ( ) ( ) ( )i ( ) ( )i ( ) ( ) ( )( )( )i ( )( )( ) ( )f z tz tu tv tx ty tu t x tv t y tu t y tv t x t( ( ) ( )d .baf z t z tt（积分方法（积分方法一一）参数方程法参数方程法 设C为光滑或分段光滑曲线，其参数方程为z(t)=x(t)+iy(t) (a t b), 曲线C

7、的起点z(a)，终点z(b).z(t) = x(t) + i y(t)9例3.1 分别沿下列路径计算积分 和(1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.解：(1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1.1220122013330d(1) d(1) )(1)(1)d(1)(1).33Czzi ti tii tttii1012100Im dIm(1) d(1) )1(1)d(1).22Cz zi ti ttititiIm d :Cz z2dCzz101222213111222000013320dddd(1 i ) d(

8、1 i )(1i2 )id3122(1)(i )i.3333CCCzzzzzzxttttttttiitt12111000Im( )dIm( )dIm( )d0dd(1+i )id.2CCCzzzzzzitttt t(2) C = C1 + C2 C1的参数方程为：z = t, t 从0到1; C2的参数方程为：z=1+it, t 从0到1.11例 计算积分 , 其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界.dCzzz解 积分路径可分为四段： C1：z = t ， -2 t -1; C2：z = ei , 从 到0; C3：z = t ， 1 t 2; C4：z =2ei , 从0到.1234102

9、220ddddde2ede dd2de2e24411.333CCCCCiiiiiizzzzzzzzzzzzzzztttitiett 12例3.2 计算积分 ，其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数. 101d()nCIzzz解：曲线C的方程为：z = z0+rei (0 2) 211 i(1)0022i00di ed()eiided .einnnCinnnnzrIzzrrr当n=0时, 20id2 i;I当n0时， 20i(cossin)d0.nIninr102 ,0;d0,0.()nCinznzz13例例 证明：|1| 2 1d8 .1zzzz 证：由积分不等式，有|1| 2 |

10、1| 2 |1| 2 |1| 2 |1| 2 |1| 2 11dd11|(1)2|d2|1| 2d222d22d2 48 .zzzzzzzzzszzzszsss 14定理3.3（柯西-古萨定理） 若函数 f(z)是单连单连通域D内的解析函数，C是D内任一周线，则 ( )d0.Cf zz 定理3.4中的闭曲线C可以是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。2 柯西积分定理（柯西柯西积分定理（柯西-古萨定理）古萨定理）1.柯西柯西-古萨定理古萨定理 （积分方法（积分方法二二） 定理3.4（柯西-古萨定理推广） 若函数 f(z)是单连单连通域D内的解析函数，C是D内任一闭曲线，则 ( )d0.Cf zz 1

11、5定理3.3（柯西-古萨定理的等价定理） 设C为z平面上的一条周线，它围成单连通域D，若函数f(z)在 上解析，则 定理3.9 设C为z平面上的一条周线，它围成单连通域D，若函数f(z)在D内解析，在C上连续，则 ( )d0.Cf zz ( )d0.Cf zz D16推论3.5 设函数f(z)在单连通域D内解析, 则f(z)在D内积分与路径无关. 即积分 不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C, 而只与z0、z1的位置有关，证：设C1和C2为D内连接z0 与z1的任意两条曲线，C = C1+ C2. 1C2C21( )d( )d( )d0.CCCf zzf zzf zz12( )d( )dCC

12、f zzf zz( )dCf zz0( )d .zzf zz此时，积分可记为 17例例1 计算积分其中积分路径C为连结点0到点2的圆周|z1|=1的上半周.解：取C1为连结点0到点2的直线段， 因为sin z在复平面上解析， 由推论3.5可得，120sinsinsin1 cos2.cczdzzdzxdx sin d ,Cz z182. 原函数（积分方法三）（积分方法三） 若f(z)在单连单连通区域D内解析，则沿D内任一曲线C的积分 只与其起点和终点有关. 因此, 当起点z0固定，终点z在区域D内变动时, 此积分就定义了D上的一个单值函数0( )( )d ,zzF zf称F(z)为定义在区域D内

13、的积分上限函数积分上限函数或变上变上限函数限函数.( )dCf zz19定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F (z)=f(z).证明： 设 z, z +z D，1 ( )( )zzzff z dz()( )( )F zzF zf zz001( )( )( )zzzzzfdfdf zz11( )( )zzzzzzfdf z dzzf(z)连续，则任意 0, 存在 0,使得当|-z|时，有|f() f(z)|.与路径无关1|.|zz 0()( )lim( )zF zzF zf zz 即也就是F (z)=f(z). 20定义3.2 设设f(z)在区域D内连

14、续，如果 (z)的导数等于f(z)，即 (z)=f(z)，则称 (z)为f(z)在D内的原函原函数数或不定积分不定积分.变上限函数 为f(z)的一个原函数.0( )( )dzzF zf性质1 函数f(z)的原函数都可以表示为 (z) = F(z)+C，其中C为任意常数. 定理3.7 若函数f(z)在单连通域D内连续，且 f(z)沿D内任意周线的积分值为零（或沿D内任意曲线的积分与路径无关），则函数F(z)必在D内解析，且有F (z)=f(z).21定理3.8 若函数 f(z)在单连通域D内解析，(z)为f(z)的一个原函数， 则11001001( )( )() (,)( )zzzzf z dz

15、zzzzDz 证： 0( )( )dzzF zf为f(z)的一个原函数. 0( )d( )( ).zzfF zzC 由柯西-古萨定理可知 F(z0)=0, 从而C=- (z0)，1010( )d( )().zzfzz 所以（积分方法（积分方法三三）原函数法原函数法或或牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 22例3.4 求积分 的值. 20sin2 diz z解：因为sin2z在复平面上解析，所以积分与路径无关. 220011sin2 d(coscos0)cos22211ee.12242iiz zizee 23例例 求积分 01 z sinz dz 的值. 解：因为z sinz在复平面上解析， 由

16、分部积分法，有1111000010sin ddcos cos dcoscos1sin1 cos1.sinzz zzzz zzzz 分部积分法：分部积分法：设f(z), g(z)在单连通区域D内解析，z0, z1是D内任何两点，则111000( )( )d( ) ( )( ) ( )d|zzzzzzfgfgfg243.复合闭路定理（积分方法四）（积分方法四） 定义：定义：设有n+1条简单闭曲线C0,C1,C2,Cn, 其中C1,C2,Cn互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部. 这n+1条曲线围成了一个多连通区域D, D的边界C称作复围线复围线或复闭路复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲

17、线都取顺时针方向. 此复围线记作 012nCCCCC25证：证：由柯西-古萨定理 12( )d0, ( )d0.f zzf zz12( )d( )d0f zzf zz定理3.10 若f(z)在复围线 及其所围成的多连通区域内解析，则 也就是012nCCCCC( )d0Cf zz 012( )d( )d( )d( )d ,nCCCCf zzf zzf zzf zz（积分方法（积分方法四四）复合闭路定理复合闭路定理26 设a为周线C内部一点，证明：1,2 i,0,()1ncndzz an且为整数.：以a为圆心作圆周C1, 使C1含于C之内部(如图). 由闭路变形定理得，11,2 i,0,()()1

18、nnccndzdzzazan且为整数.（第二个等号见例3.2）27例3.7 计算 的值, C为正向圆周|z|=2.2dCzzz解：函数 在C内只有两个奇点z=-1和z=0， 分别以z=-1和z=0为圆心，在C的内部，作两个互不包含、互不相交的圆周C1和C2. 21zz在由C、C1、C2所围成的复连通域内解析 21zz121122222ddddddd1102200.CCCCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzii则28应用柯西-古萨定理或复合闭路定理计算积分计算积分 一般步骤一般步骤：(1) 求奇点求奇点（积分曲线C内部的）(2) 作圆周作圆周（ C内部、以奇点为圆心、互不包含、互不交）(3

19、) 因式分解，利用定理求解求解29例例 计算积分 2| | 2d.1zzz解：函数在圆|z|0)为半径在D内作小圆周，( )( )dd (0)Cffzz( )d2i ( )ff zz由例3.2得1d2 iz( )( )dff zz|( )( )|d|ff zsz1|( )( )|dff zs由f()在D内连续得， , 当 |- z|= 时, 有 |f() - f(z) | /(2).12.2由定理3.11得32若 f(z)在曲线C上上恒为常数K, 则 f(z)在曲线C的内部内部也恒为常数K.1( )1( )dd2.222CCfKKf ziKizizi证：设z为C内部任一点，根据柯西积分公式设

20、f(z), g(z)在D内解析， C为D内的简单闭曲线，C的内部全含于D内。 如果 f(z)=g(z)在曲线C上上恒成立, 则 f(z)=g(z)在曲线C的内部内部也恒成立.证： F(z)= f(z)-g(z) ，根据即得。33（圆周C:|-z0|=R, 即 = z0+Rei (02), d = iRei d）0200|00200()1( )1()d221().2iiiz zRif zReiReff zdiziRef zRed意义：意义：解析函数f(z)在圆心圆心 z0 处的值值 等于 f(z)在圆周圆周 C 上的平均值平均值 平均值定理平均值定理 设f(z)在圆K: |zz0|0使得|f(0

21、)|a. 试证：在圆|z|R内f(z)至少有一个零点.证：假设在圆|z|R内f(z)无零点，记1( )( )F zf z则F(z)在闭圆|z|R上解析.由平均值定理得，201(0)().2iFF Red由题设i1111|(0)|, |()|.|(0)|( e )|iFF Refaf Ra从而2011111|(0)|() 2.22iFF Redaaa故在圆|z|0，MR令R+得， f(a)=0.由a的任意性知， f(z)在复平面上导数为零.由第二章习题（一）6(1)知， f(z)必为常函数.43证证 假设p(z)在复平面上无零点，则1/f(z)在复平面上有定义且解析.10lim ( )lim()

22、,nnnzzaap zzazz 代数学基本定理 在复平面上，n(n1)次多项式 p(z)=a0zn+a1zn-1+an (a00) 至少有一个零点由于故存在R0，使得当|z|R时，|1/ p(z)|0，使|1/ p(z)|M.由刘维尔定理知， p(z)必为常函数，矛盾.1lim0,( )zp z所以故，在复平面上|1/ p(z)|M+1.44证证 令F(z)=e f(z) ，则F(z)为整函数.例3.13 f(z)为整函数，且存在正数M使得Re f(z)M， 则 f(z)为常函数。又 |F(z)| = |e f(z)| = e Re f (z) eM ，由刘维尔定理知， F(z)必为常函数，因

23、此 f(z)也为常函数.45定理3.16 （摩勒拉定理摩勒拉定理）函数f(z)在单连通区域D内连续，且对D内任意周线C，有 则 f(z)在区域D内解析.( )d0,Cf zz 定理3.17 （函数解析的等价条件3） 函数f(z)在区域D内解析的充要条件是 (1) f(z)在D内连续； (2) 对D内任一周线C，只要C的内部全含于D就有( )d0.Cf zz 463.4 解析函数与调和函数的关系定义2.4 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程 xx +yy = 0, 即 的二元实函数(x, y)称为在D内的调和函数调和函数. 22220 xy定理 任何在区域 D内解析的函数 f(z)

24、=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数. 证 由柯西-黎曼方程有 ux=vy, uy=-vx， 所以 uxx=vyx, uyy=-vxyu(x,y)与v(x,y)具有任意阶连续偏导，从而 vyx=vxy 因此 uxx +uyy = 0， 同理 vxx +vyy = 0.即u(x,y)与v(x,y)都是调和函数.47定义定义 调和函数u和v在区域D内满足C-R方程ux=vy,vx=-uy，则v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数. 定理定理 u+iv在区域D内解析 v称为u的共轭调和函问题问题 已知调和函数u(x,y), 如何求其共轭调和函数v

25、(x,y)? 从而确定一个以u为实部(或虚部)的解析函数. 共轭调和函数的求法（共轭调和函数的求法（一一）偏积分法偏积分法1) vy = ux v(x, y) = ux dy+ f(x)【或vx=uy v(x, y) = uy dx+ f(y)】 【或vy =ux uy dx+ f(y)y = ux f(y)的表达式(含有一个常数任意C) v(x, y)】2) vx =uy ux dy+ f(x) x = uy f(x)的表达式(含有一个任意常数C) v(x, y).48例 已知u(x,y)=2(x-1)y, f(2)=-i,求其共轭调和函数v(x,y),并写出f(z)=u+iv的形式. 解

26、由柯西-黎曼方程，有 vy=ux=2y, 又因为f(2)=-i, 所以C=-1 于是 v = 2ydy =y2 +g(x)上式两端对x求偏导数, 再由C-R方程可得, vx = g(x) = uy = 2(1-x).从而g(x) = 2(1-x)dx=2x-x2+C, 其中C为任意常数.所以f(z)=u+iv=(2(x-1)y)+i(y2+2x-x2+C).因此 f(z)= (2(x-1)y)+i(y2+2x-x2-1)=-i(z-1)2.49例例5 验证u=x33xy2是平面上的调和函数, 并求以它为实部的解析函数f(z), 使得f(0)=i. 解 因为ux = 3x23y2, uy = 6xy, uxx = 6x, uyy =6x,又因为f(0)=i，所以C=1.于是 v = (3x23y2)dy =3x2yy3 +g