数学分析幂级数最新课件

1、数学分析幂级数最新2 函数的幂级数展开函数的幂级数展开数学分析幂级数最新一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?数学分析幂级数最新证明证明即即内内收收敛敛于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0

2、 xU 内具有任意阶导内具有任意阶导数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .数学分析幂级数最新 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系

3、数数学分析幂级数最新 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点00 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.数学分析幂级数最新 0, 00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为. 0)(),

4、( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,数学分析幂级数最新定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 数学分析幂级数最新充分

5、性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定定理理 3 3 设设)(xf在在)(0 xU上上有有定定义义, ,0 M, ,对对),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00RxRx 内内可可展展开开成成点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .数学分析幂级数最新证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(01

6、0收收敛敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 数学分析幂级数最新二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收数学分析幂级数最新例例1解解.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112

7、, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx数学分析幂级数最新例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x数学分析幂级数最新例例3.)()1()(的的幂幂级级数数

8、展展开开成成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R数学分析幂级数最新若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用数学分析幂级数最新)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xx

9、sxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 数学分析幂级数最新即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为数学分析幂级数最新有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nn

10、xxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘数学分析幂级数最新2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn数

11、学分析幂级数最新 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x数学分析幂级数最新例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x数学分析幂级数最新xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 数学分

12、析幂级数最新三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.数学分析幂级数最新思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？数学分析幂级数最新思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.数学分析幂级数最新一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式

13、式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . .三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . .四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . .练练 习习 题题数学分析幂级数最新练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12