871-第三节定积分在物理中的应用

1、第三节 定积分在物理中的应用 定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分这种数学模型来解决.下面讨论一些物理方面的实例，旨在加强读者微元法建立定积分模型.一、变力做功,fs由物理学可知 在大小 的常力的作用下 物体沿力的方向作直线运动,当物体移动一段距离 时 力所做的功为wf s 但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是下面要讨论的变力做功问题. ,qroor 把一个带+ 电量的点电荷放在 轴上坐标原点 处 它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为的地方 那么电场对它的作用力大小为 例

2、12,()qfkkr为常数517,(),rararrb ab 如图所示 当这个单位正电荷在电场中从处沿处沿 轴移动到处时 计算电场力对它所做的功.图5-17 电场力所做的功oqaxxdxbr解(1),;ra b取积分变量为 积分区间为2(2),a br rdrqfkr在区间上作取一小区间与它相应的电场力所做的功近似于把作为常力所做的功 从而得到功微元2dkdwdrr(3)所求的电场力所做的功为22111()bbbaaadkdrwdrkqkqkqrabrr功为单位,( ),f xxaxb一般地 若大小为的变力将某一物体沿力方向从移到处 则变力所做的功为( )bawf x dx (5-12) 下面

3、再举一个计算功的问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型.2 ,?mmm 修建一座大桥墩时先要下围囹,并抽尽其中的水以便施工,已知半径是10 的圆柱形围囹的上沿高出水面河水深18问抽尽围囹内的水做多少功例2解(1),2,20 ;x 取水深 为积分变量 它的变化区间为图5-18 例题 抽水做功2m18mxdx10m,518.x以围囹上沿圆心为原点,向下的方向为 轴的正向 建立如图所示的坐标系100dwx sdxxdx即所求微元;(3)2,20,在上求定积分 就得到所求的功为20220282100506.078 10 (j)wxdxx3(2)2,20

4、,/,(.),x xdxdxkg mxx 相应于上任一小区间的一薄层水的高度为水的密度为这薄层水的重力为 sd其中是薄层水的底面积 把薄层水抽出围囹外时 需要提升的距离近似为因此需做的功近似为二、液体压力,ahah 从物理学知道 如果有一面积为 的平板 水平地放置在液体深度为 处,那么,平板一侧所受的液体压力等于底面积为高为 的液体柱的质量,即pha,式中 为液体的密度.但是在实际问题中,平板放置并不总水平,现就垂直放置的平板的一侧所受的液体压力进行进行计算.另外,倾斜放置在液体内的平板的一侧所受的压力也可以用定积分的微元法计算. 洒水车水箱规格尺寸如图17-19所示,当水箱半满时,求水箱椭圆

5、端面的一侧所受的压力.例3解520,建立如图所示的直角坐标系 水箱端面椭圆曲线方程为22221,(0)yxxbba图5-19 例3水箱2a2b*l(1),;xb取积分变量为 积分区间 0,22(2),2(520)bx xdxadabx dxb 在 0,上任取一小区间而面积为的小窄条 见图阴影部分一侧所受的液体压力,也就是压力微元为222apx bx dxbd(3)所求的液体压力为32222200222()32()3bbaapx bx dxbxbbab 压力单位图5-20 例3液体压力oxaybxdx 设有一竖直的闸门,形状是等腰梯形,它的某些尺寸如图5-21所示,当水面齐闸门顶时,求闸门所受的

6、水压力.例4解(1),522,0,6 ;x建立直角坐标第 如图所示 取积分变量积分区间522图 例4闸门所受压力oxxdxx(0,3)ay(6,2)b521图 例4闸门6cm4cm(2)36,2236,xabyx xdxxdxyx 在此坐标系中,直线的方程为在区间 0,6 上任取一小区间,与相应的小薄片的面积近似于宽为长为的小矩形面积 这个小矩形的受到的压力近似于把这个小矩形放在平行于液体表面且距液体表面深度为 的位置上一侧所受到的压力.由于39.8 10 ,23,6xdadx hx2339.8 10239.8 10663xxpxdxx dx 所以压力微元为d(3)所求水压力为62309.8 1063xpx dx 633209.8 1039xx58.23 10( )bapxf x dx一般地液体的计算公式为,( )(523)f x式中 为液体的密度,为薄片曲边的函数式 见图图5-23 液体压力计算oayxxdxbx12,mmr由万有引力定律知道,两质量分别为和相距为 的质点间的引力为122,()mmfkkr为引力常数 已经知道，一个均匀细杆和一个质点也会产后引力，下面用定积分的微元