多自由度体系自由振动课件

1、多自由度振动重 点：频率、振型难 点：建立方程、求刚度 系数、柔度系数多自由度体系的自由振动 主要内容主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图：振动方程、振型方程、频率方程及振型图 一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动 m1m2 )(2ty)(1ty 由质点1与质点2的惯性力共同产生 )(2ty)(1ty122211111)()(ymtymty 222221112)()(ymtymty 式中，i j 为j质点的惯性力为1时在 i质点处产生的位移。i ，j = 1，2 v设方程的特解形式为 y1(t)= A1sin（t + ） y2(t)= A2sin（t + ） 21记00222

2、2121121221111AmAmAmAm此式称为振型方程振型方程 考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使 0222211122111mmmm此式称为频率方程频率方程 行列式有两个不同实数根1与2 。记 221111则1称为第一频率或基本频率；则2称为第二频率 22112,2TT相应的T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期 002222121121221111AmAmAmAm将=1 代入振型方程中的任意一个方程，记为 1121AA1221111mmy1(t)= A11sin（1t + ） y2(t)= A21sin（1t + ） 显然常数）()()(1221111112112mmA

3、Atyty这表示y1与y2是相关的结构位移形状保持不变的振动形式叫主振型或振型结构位移形状保持不变的振动形式叫主振型或振型得 A2与A1的比值 TAAA21111同理，把=2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2与A1的比值，记为 12211121222mmAA同样，称 为为第二振型第二振型 TAAA22122y1(t)= A12sin（2t + ） y2(t)= A22sin（2t + ） 对应于对应于1的振型称为的振型称为第一振型第一振型，或基本振型，或基本振型v说明从数学上讲，两个不同实数根（特征根）1与2对应的两个振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意时刻 t 的位移反

4、应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方程的一般解：y1(t)= A11sin（1t + ）+ A12sin（2t + ）221222111121)sin()sin()()(AAtAAttytyy2(t)= A21sin（1t + ）+ A22sin（2t + ）vn个自由度体系的振动及其矩阵表示 振动方程可表示为 njijjjitymty1)()( 即，第 i 质点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生位移的叠加。写成矩阵的形式为： nnnnnn212222111211 )()()(21tytytyn nmmm0021 )()()(21tytytyn v简写为 ： 称为柔度矩阵 M称为质量矩

5、阵 )(ty称为位移列向量 )(ty 称为加速度列向量 )(tyMty -（1）方程（1）的解设为 ： )sin()(tAty TnAAAA 21式中， v把 AMA2 )sin()(tAty代入（1）21记 0AEM-（2）（2）式称为振型方程振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不产生振动）的条件是： 0EM-（3）（3）式称为频率方程频率方程 频率方程有n个互不相同的实数根1，2，.，n ，对应着n个互不相同的频率；分别代入（2）式可得到n个线性无关的振型。记， 称为第j振型。 TnjjjjAAAA 21v计算举例计算举例 122211111)()(ymtymty 图示体系，图示体系，

6、EI=常数，质点的质量为常数，质点的质量为m，各杆的长度都，各杆的长度都是是L，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。 解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移 2）质点在振动过程中有2 个方向的位移 ，各由2 个方向的惯性力共同产生，振动方程为：)(1ty)(2ty222221112)()(ymtymty v方程中各个系数意义如下：EIL2411311EIL1232212 =21 = 0 3）求频率21记，= A1sin（t + ） = A2sin（t + ） )(1ty)(2tyP=1 LL/2L/2L/4L/4M1P=1L/4L/4L/4M

7、2002222112122121111AmAmAmAm0222211122111mmmm311124mLEI3212mLEI从而，EImL241131EImL1232解得：4）求振型 TA0 .00 .11把1（或1）及把2（或2）分别代入振型方程 TA0 . 10 . 02v5）画振型图 画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2个位移方向相协同。1.01.0)(1ty)(2tyTA0 .00 .11 TA0 . 10 . 02v二、刚度法建立振动方程 1. 两个质点的振动 图示简支梁，质量集中在跨中两个质点，如图，具有两个动力自由度。用刚度法建立振动方程时，考虑每个质点的受力平衡。

8、 质点在振动过程中，在惯性力作用下有2个位移，各质点分别受到各自的恢复力而与各自的惯性力平衡 m1m212m1m2)(1ty)(2tyv惯性力)(11tym )(22tym 弹性恢复力：1EKF2EKF1EKF2EKF恢复力的求法如下 K11K211K12K221依叠加法可得 )()(2121111tyKtyKFEK)()(2221212tyKtyKFEK)(11tym )(22tym v振动方程-受力平衡方程0)()()(0)()()(2221212221211111tyKtyKtymtyKtyKtym 0)(0)(222111EKEKFtymFtym 2. n个质点的振动及其矩阵表示 一般

9、方程可写为 0)()(1njjijiityKtym ni,.,2,1m1m21EKF2EKF)(11tym )(22tym v写成矩阵的形式为 0)()(tyKtyM nmmmM0021 nnnnnnKKKKKKKKKK212222111211设方程的解的形式为 tAtysin)( TnAAAA 21式中v代入振动方程可得 02AMK-振型方程022122222211122111 nnnnnnnmKKKKmKKKKmK-频率方程3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系 1Kv计算举例 图示结构弹簧的刚度图示结构弹簧的刚度 KN= ，杆长都是，杆长都是L，列振动方程，列振动方程并求振动频率和振型，作出振型

10、图并求振动频率和振型，作出振型图 3213LEIKNEI1= EIEIm解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移，如图 )(2ty)(1tyv振动方程)(2ty)(1ty质点在任何时刻要受力平衡水平方向：2EKF)(2tym )(1tym 1EKF竖向问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的恢复力v恢复力的求法VBAVDCFEK2水平问题转变为：质点位移后的弯矩图VDB弹簧反力竖向FEK1ABCD)(2ty)(1tyv为此，先求出2个方向分别单位位移的弯矩图，然后叠加也就是求解右图所示在支杆1、2 分别移动时的弯矩图12K11K2116EI/L26EI/L2R 支杆1单位位移时的弯矩图：求系数K11K213 i /L9 i /2L3 i /2LM图K11VDBKNVBAVDCK21r114i2i2iM图v求系数21114LiK2219LiK类似的方法求支杆2有水平侧移=1时的K12及K22 K22K12)()(2121111tyKtyKFEK)()(2221212tyKtyKFEK弹性恢复力v2) 求频率和振型 = A1sin（t + ） = A2sin（t + ） )(1ty)(2ty002222212121