(完整版)高三数学复习函数知识点

1、1 函数复习主要知识点 一、函数的概念与表示 1、映射 (1)映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映 射，记作 f : A T Bo 注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： (1)分式的分母不为零； (2 )偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义

2、; (3)指数函数的底数必须大于零且不等于 1; 1.函数y x2 3x 4的定义域为 2 求函数定义域的两个难点问题 (1) 已知 f(x)的定义域是-2,5, 求 f(2x+3)的定义域。 (2) 已知 f(2x-1)的定义域是-1,3,求 f( x)的定义域2 1 例 2 设f (x) (x 1)2，则f (2x)的定义域为 _ 变式练习：f(2 x) , 4 x2，求f(.x)的定义域。 三、函数的值域 1 求函数值域的方法 直接法：从自变量 x的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； 换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； 判别

3、式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 x R 的分式; 分离常数：适合分子分母皆为一次式( x 有范围限制时要画图); 单调性法：利用函数的单调性求值域； 图象法：二次函数必画草图求其值域； 利用对勾函数 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1 (直接法)y _2 x 2x 3 1. 2. f (x) 2 24 2x x2 3. (换元法) 4. (法) 3x 2 x 5. 2 x y 2 4 x 1 6.(分离常数法) 3x 1 y 2x 1(2 x 4) 3 7.（单调性）y x 3 （x 1,3） 2x 8.y ，y .

4、x 1 . x 1 (结合分子/分母有理化的数学方法) Vxl Vxl 2 9.（图象法）y 3 2x x （ 1 x 2） 10.（对勾函数）y 2x -（x 4） x 11.（几何意义）y |x 2 |x 1 四. 函数的奇偶性 1 .定义：设 y=f(x) , x A，如果对于任意x A，都有f ( x) f (x)，则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意x A，都有f ( X) f (x)，则称 y=f(x)为奇函数。 2性质： y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称， y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称， 若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则

5、f(0)=0 奇奇=奇 偶偶=偶 奇简=偶 偶河禺=偶 奇 偶=奇两函数的定义域 D1 , D2, D1QD2要关于原点对称 3奇偶性的判断 看定义域是否关于原点对称 看 f(x)与 f(-x)的关系 1 已知函数f (x)是定义在(， )上的偶函数当x ( , 0)时，f (x) x x4，则当 x (0, )时，f(x) _ 4 (I)求a, b的值; 4 若奇函数 f (x)(x R)满足 f (2) 1 , f (x 2) 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义: 2 设y f g x是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则y f g x在 M 上是减函数；若

6、f(x) 与 g(x)的单调性相同，贝U y f g x在 M 上是增函数。 1 判断函数f(x) x3(x R)的单调性。2 已知定义域为R的函数 2x b f(x) 2, b是奇函数。 2 a (n)若对任意的t R, 不等式 f(t2 2t) f (2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围; 3 已知 f(x)在(一 1, 1) 上有定义，且满足 x, y ( “)有f(x) f(y) f(f 证明：f (x)在(一 1,1) 上为奇函数; f(x) f(2)，则 f(5) 5 (6 x 2x2) 1 2 函数 y _ 的单调增区间是 _ 2 (3a 1)x 4a, x 1 3(高考真题)

7、已知f(x) x 是(，)上的减函数，那么 a的取值范围是 a ,x 1 ( ) 1 1 1 1 (A) (0,1) ( B) (0, ) ( C) ) ( D) ,1) 3 6 3 6 兀二次方程ax bx c 0(a 0)的根为二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a丰0) y 0的x的取值。 元二次不等式ax2 bx c 0( 0)的解集(a0) 二次函数 情况 一兀二次不等式解集 2 Y=ax +bx+c (a0) =b2-4ac ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0) 图 象 与 解 0 xx x1或 x x2 x 捲 x x2 K =0 XX x y 1) y=ax(

8、0a1) 定义域 (-OO，+ OO ) 值域 (0,+ O ) 过定点 (0, 1) 图象 y=aoal) 单调性 在(-O，+ O )上为增函数 在(-O，+ O )上为减函数 r s r 1 a a a s a 0,r,s Q 2 r s rs a a a 0, r, s Q 3 r ab arbr a 0,b 0,r Q 3 根式 根式的性质：当 当n是奇数，则n an a ；当n是偶数，则n an a a a 0 a a 0 (6)0 的正分数指数幕等于 2 有理数指数幕的性质 0,0 的负分数指数幕没有意义 n am a 0,m,n N ,n 1 ； m (5)负分数指数幕a n

9、1 m 1 -a 0, m, n n ： m ,a N ,n 1 7 值分布 X0 时 0y0 时，y1,x=0,y=1 X1,x0 时，0y1,x=0,y=1 8 2比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相 _ 同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象： 2、 研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题， 讨论复合函数的单调性是解决问题 的重要途径。 1、( 1) y J2X2 1

10、 的定义域为 _ ； J5 3x i (2) (3) y 2x 3的值域为 2 y 2( x x)的递增区间为 7 ，值域为 2、 (1) 1 x 1 2 0,则 x 4 2 3、 要使函数 y 1 2x 4xa 在 x ,1 上 y 0 恒成立。求 a 的取值范围 十函数的图象变换 (1) 1、平移变换： (左+ 右-,上+下-)即 y f (x) h 0 ,右移；h 0 ,左移 y f (x h) f ( x) k 0 ,下移；k 0 ,上移 f (x) k y y 对称变换：(对称谁，谁不变，对称原点都要变) 1. f(x)的图象过点(0,1)，则 f(4-x)的图象过点( ) A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4) 2 作出下列函数的简图:y f (x) x轴 y f (x) y f (x) y轴 原点 y f ( x) y f (x) y f :(x) y f (x) y x y f 1 (x) y f (x) y f (x) y f ( x) y If (x) y轴右边不变，左边为右 边部分的对称图 保留 x轴上方图，将 x轴下方图上翻 9 (1) y=x2 3|X 4; (2) y=|2x-1| ； (3) y=2|x|; 十函数的其他性质 1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达