经济数学微积分第二版第一章第三节复合函数与反函数

1、第三节第三节 复合函数与反函复合函数与反函数数一、复合函数一、复合函数二、反函数二、反函数三、函数的运算三、函数的运算四、小结四、小结 思考题思考题一、复合函数(compound function),uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自自变变量量x,中中间间变变量量u因变量y的的和和为为上的函数上的函数定义在定义在，则称，则称，和和设有函数设有函数gfgfDxgDxxRDgffggf)(,| 复合函数，复合函数，其中其中)()(xgfxgf 例例1,ln)(,2)(2uufyxxgu ,), 2fgDR 则则因此能够形成复合函数因此能够形成复合函数)2ln()(2xxgf 注意注意:

2、 :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 二、反函数(inverse function)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o射射是是单单射射，则则它它存存在在逆逆映映设设函函数数)(:DfDf,)(:1DDff 的的为为函函数数称称此此映映射射ff1 反函数反函数. .)(xfy 直直接接函函

3、数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 定理（反函数存在定理）：定理（反函数存在定理）：单调函数单调函数 f 必存在单调必存在单调的反函数的反函数 ，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调性具有相同的单调性.例例2.1的反函数的反函数求函数求函数 xey),1()1ln(),1(11)1ln(11222 fxxDxyeyyxye反函数为反函数为，即原函数的值域为，即原函数的值域为解解三、函数的运算的下列运算：的下列运算：,)(, )(21DDxgxf、的定义域分别是的定义域分别是设函数设

4、函数个函数个函数，则我们可以定义这两，则我们可以定义这两 21DDD函数的函数的和（差）和（差）函数的函数的积积函数的函数的商商 gf Dxxgxfxgf ，)()()(Dxxgxfxgf ，)()()(gfgf )()()(xgxfxgf 0)(| xgxDx函数的函数的和（差）和（差）例例3.)()()(,)()(),(),()(xhxgxfxhxgllllxf 使得使得及奇函数及奇函数上的偶函数上的偶函数定存在定存在，证明必，证明必的定义域为的定义域为设函数设函数 )()()()()()()()()()(xhxgxhxgxfxhxgxfxhxg，于是有，于是有存在存在和和如果这样的如果这

5、样的分析分析证明证明 )()(21)()()(21)(xfxfxhxfxfxg设设.)()()(xhxgxf 显然显然.)()()(21)()()()(21)(是奇函数是奇函数，是偶函数是偶函数xhxfxfxhxgxfxfxg 四、小结 思考题1.1.复合函数：复合函数： 复合函数的形成与复合过程的分解复合函数的形成与复合过程的分解.2.2.反函数：反函数： 反函数的基本求法反函数的基本求法.3.3.函数的运算：函数的运算： 简单函数的四则运算简单函数的四则运算.思考题思考题)(,1sec)(tan2xfxxf求求已知已知 解解21)1()(1)1(tan)(tan222 xxxfxxf练练 习习 题题2,uyeux1由函数复合而成的函数为 . 2 sin