高等数学(北大第二版)3-1不定积分的换元法

1、设, )()(yfyf)(xy可导,xxxfd)()(cxf)()(d)(xyyyf)()(xycyf)(dxfxxxfd)()(则有第三章积分的计算第三章积分的计算3-1 不定积分的换元法不定积分的换元法dxxyf)()(1. 不定积分第一换元法不定积分第一换元法)(d)(xxfcxf)(或写成(凑微分法)例例1. 求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1cumm1111)() 1(1mbxamacxbxamd)(或baxbxaamd)(11)() 1(1mbxamac22)(1d1axxa例例2. 求.d22xax解解:22dxax,a

2、xu 令则xaud1d21uuda1cuaarctan1caxa)arctan(1想到公式21duucu arctan)(ax例例3. 求).0(d22axax21duu想到cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(凑微分法或配元法)xxxfd)()(2)(1)(daxaxcax arcsin22dxax例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdcx coslnxxdcotxxxsindcoscx sinlnxxsinsindxxdtan类似caxaxaln21例例5. 求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(2

3、1axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lncaxax)( d.|ln21d22cxaxaaxax类似地类似地常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)

4、8()(ln xfxlnd例例6. 求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxcx ln21ln21例例7. 求.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexcex332例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanc例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxcex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dcex)1ln()1(ln)1

5、ln(xxxeee两法结果一样xxsin11sin1121例例10. 求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21cxsin1lncxxsin1sin1ln21xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx cxxtansecln同样可证xxdcsccxxcotcscln或xxdcsccx2tanln)2cos2cos21 (241xx 例例11 . 求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22co

6、s1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321c例例12 求dxmxnxsinsin解解dxmxnxsinsindxxnmxnm)cos()cos(21dxxnm)cos(21dxxnm)cos(21xnmdxnmnm)()cos(121)()cos(1xnmdxnmnm.)sin(1)sin(121cxnmnmxnmnm小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式

7、 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如. 不定积分第二换元法不定积分第二换元法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(yyfd)(第一类换元法解决的问题难求xxxfd)()(若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，yyfd)()(xy易求)(xyyyfd)(dxxf)()(tx即即tttfd)()(ctf)(.)(

8、1cxf)(1xt可导要求变量替换函数在使用第二换元法时，)(tx.的函数换成在最后的结果中要将且一定有反函数，并且xt例例13. 求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22ca242sin2ttax22xa taxarcsincxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例14. 求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttds

9、ec1tanseclncttax22ax tln22ax a)ln(1acccaxx22lnxa1c例例15. 求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclncttax22ax t1 lnccaxx22ln)ln(1acc22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauucaxx22ln22daxx，时ax 122lncauu122lncaxx1222lncaxxa)ln2(1acccaxx22ln小结小结:1

10、. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch第三节讲,d)()6(xafx令xat (3),(4),(5)三角代换法三角代换法xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(cx coslncx sinlncxx tanseclncxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充 xxad1)20(22xaxd1)21(22caxaarctan1caxaxaln21xxad1)22(22xaxd1)23(22caxarcsincaxx)ln(22xaxd1)24(22caxx22ln.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xc公式 (20) )例例16. 求例例21. 求.94d2xx