高等数学第五版上册课件

1、高等数学第五版上册1高高 等等 数数 学学第五版第五版 上册上册rxdtdx高等数学第五版上册2本学期学习内容本学期学习内容第二章 导数与微分第三章 微分中值定理与导数的应用第四章 不定积分第五章 定积分第六章 定积分的应用第一章 函数与极限高等数学第五版上册31.1 映射与函数映射与函数1.2 数列的极限数列的极限 1.3 函数的极限函数的极限1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1.5 极限运算法则极限运算法则1.6 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 1.7 无穷小的比较无穷小的比较 . 第一章第一章 函数与极限函数与极限( )yf x 高等数学第五版上册41. 1. 集合

2、概念集合概念 所谓集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素元素. 1.1 映射与函数映射与函数,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作一一 集合集合高等数学第五版上册5数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元

3、素的集合称为空集空集.)(记记作作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.高等数学第五版上册62. . 集合的运算集合的运算 是两集合，则、设BA 为全集，其中：余补且差：或并：且交：IAIABxAxxBABxAxxBABxAxxBAC)(|高等数学第五版上册7运算律：CCCCCCBABABABACBCACBACBCACBACBACBACBACBAABBAABBA)( )( )4()()()( )()()( )3()()( )()( )2( ) 1 (对偶律分配律结合律交换律高等数学第五版上册8)Morgan (De )( 定定律律CCCBABA BAx

4、BAxC ,)( 则则如如果果证证：BxAx 或或即即CCBxAx 或或亦亦即即CCBAx 因因此此CCCBABA )( 所所以以CCCCBxAxBAx , 或或则则如如果果反反之之，BxAx 或或即即BAx 亦亦即即CBAx)( 因因此此CCCBABA)( 所所以以CCCBABA )( 于于是是得得到到高等数学第五版上册9 BABA ,3 , 2 , 1 , .则则集集合合，反反正正设设例例.)3 ,( ),2 ,(),1 ,( ),3 ,( ),2 ,( ),1 ,(反反反反反反正正正正正正 注意注意A与B的直积 A B(x,y) x A且且y B例例. R R=(x,y) x R且且y

5、R表示表示 xoy 面上全体点的集合面上全体点的集合 R R常记为常记为 R2高等数学第五版上册103. 3. 区间、邻域区间、邻域区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的这两个实数叫做区间的端点端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记记作作oxaboxab高等数学第五版上册11bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记记作作),xaxa ),(bxxb oxaoxb以上都是有限区间，以下是无限区间：以上都是

6、有限区间，以下是无限区间：区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.高等数学第五版上册12邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,(0 aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . ),( axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 注意：邻域总是开集注意：邻域总是开集.记作记作0|),(0 axxaU高等数学第五版上册13映射概念映射概念 定义：设定义：设 X、Y 是两个非空集合，如果存在

7、一个法则是两个非空集合，如果存在一个法则 f， 使得对使得对X 中每个元素中每个元素x，按法则，按法则f，在，在Y 中有唯一确中有唯一确 定的元素定的元素y与之对应，则称与之对应，则称f为从为从X到到Y的的映射映射，记作，记作 二二 映射映射 f : X Y | )()(XxxfXfRXDff 值域：值域：定义域：定义域：高等数学第五版上册14X到到Y上的映射上的映射( (满射满射) )：若：若 Rf =Y，即，即Y中任意元素中任意元素y都是都是X中中 某元素的像某元素的像单射单射：若对：若对X中任意两个不同元素中任意两个不同元素 x1 x2 ，它们的像，它们的像 f(x1) f(x2 )一一

8、映射一一映射( (双射双射) )：若映射：若映射 f 既是单射又是满射既是单射又是满射高等数学第五版上册152. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 g : Rf X ，的的逆逆映映射射，记记作作称称为为映映射射1 ffgffRD 1定义域：定义域： 值域：值域：XRf 1高等数学第五版上册16 g : X Y1， f : Y2 Z 其中其中21YY ZXgf:高等数学第五版上册171. 函数的概念函数的概念三三 函数函数例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )高等数学第五版上册18上上的的

9、函函数数，通通常常简简记记为为定定义义在在为为，则则称称映映射射定定义义：设设数数集集DRDfRD :因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),()(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyDf 数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 高等数学第五版上册19函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如，.1 , 0 :)(,

10、1 , 1 :DfD 211xy )., 1 :)(),1 , 1(: DfD高等数学第五版上册20如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函单值函数数，否则叫，否则叫多值函数多值函数例例如如，222ayx 函数的表示法：公式法、图形法、表格法函数的表示法：公式法、图形法、表格法高等数学第五版上册21例例1 1 求求 y =arcsin 的定义域和值域的定义域和值域. .x 2解：解： 120 x函数的定义域为函数的定义域为: : .20:, 21 yx函数的值域为函数的值域为得定义

11、域为得定义域为 x 0 0 且且, 2, 1 x解：解： 0, 2, 1, 0,12xkkxkxx例例2 2 求求xxy2arccoscot 的定义域的定义域 . . 高等数学第五版上册22?1 11 .32是是不不是是相相同同的的函函数数关关系系与与例例 xyxxy定义域不同的两个不同的函数00 xxyy-1-111 12 112 xxy1 xy高等数学第五版上册23? . 42是是不不是是相相同同的的函函数数关关系系与与例例xyxy 定义域相同而对应规则不同的两个不同的函数00 xxyyxy 2xy 高等数学第五版上册24 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy

12、在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.高等数学第五版上册251,0sgn()0,01,0 xyxxx 值域1，0，1.例例 符号函数定义域(,+).11oxy高等数学第五版上册26例例 取整函数(阶梯曲线) y = x 为不超过 x 的最大整数部分. 如图:注注: 分段函数虽有几个式子, 但它们合起来表示一个函数, 而不是几个函数.实际上是取左端点.oxy12112高等数学第五版上册27oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD0 x,)(, 0,)(MxfDxMxfD 有有

13、若若的的定定义义域域是是设设(1) 函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Dxf例例 y=sin2x, y=cosx 在在（- -,+)上均为有界函数上均为有界函数, , y=x, y=x2 在在(-,+)(-,+)上无界上无界. .2. 函数的特性函数的特性高等数学第五版上册28(2) 函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)()(的的减减少少上上是是单单调调增增加加在在区区间间则则称称函函数数Ixf)()(21xfxf

14、恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI例：例：y = x, y = ex 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。)(xfy )(1xf)(2xfxyoI),)()(21xfxf 高等数学第五版上册29(3) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD , )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(为为偶偶函函数数称称xf高等数学第五版上册30有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD ),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 高等数学第

15、五版上册31(4) 函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其（通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期）.2l 2l23l 23l在在(无穷无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的()( ).f xlf x且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl恒 成 立 ,高等数学第五版上册320一个周期函数有无穷多个周期，一个周期函数有无穷多个周期，

16、 如如 y=sin x，2,4均为周期。均为周期。0一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期. 如如: f(x) = c例例 设设 c 0 , 0 , x (-(- , +, + ), ), f( (x+c) = -) = -f( (x),),证明证明f( (x) )为周期函数。为周期函数。证明证明: : f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x)为周期为为周期为2c的函数的函数. .事实上事实上, , 对任何对任何 y (-(- , +, + ) )都有都有 f(x+y)=f(x

17、).注意注意高等数学第五版上册333. 反函数反函数0 x0y0 x0yxyDR)(xfy 函函数数oxyDR)(yx 反反函函数数o习惯上习惯上, 反函数反函数 x= (y)写成写成 y = (x) = f 1(x).定义定义 设有函数设有函数y=f(x)(x D)，其值域，其值域R=f(D).若对于若对于R中中每一个每一个y值值, 都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x值值:x= (y), 称为称为y=f(x)的反函数的反函数,记作记作x=f-1(y), 读读“f逆逆” 。高等数学第五版上册34)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数

18、 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 高等数学第五版上册35例例1 1.,3 xxy例例2 2 证明若函数证明若函数 y = = f (x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x = f 1(y), 则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明： xxy,3的反函数是的反函数是).()()()(1111yfxxffxffyf 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3 3.0101)(2的反函数的反函数求求 xxxxxf解解: : 当当x 0 0时时, ,y 1,1,1122 yxxy当当x 0 0时时, ,y1, ,x= =y-1,-1,.1,

19、 11,1,2 xxxxy得反函数得反函数综上综上高等数学第五版上册364. 复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: 设函数设函数y=f(u),u U，函数，函数u= (x), x D, 其值域其值域为为 (D)=u|u= (x), x D U，则称函数，则称函数y=f (x)为为x的的复合函数复合函数.,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y代入法代入法高等数学第五版上册37注注: :0不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 0复合函数可以由两个以

20、上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 高等数学第五版上册385. 初等函数初等函数定义定义: 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。数复合所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00 xx不是初等函数不是初等函数nnxaxaay10为初等函数为初等函数nnxaxaay10高等数学第五版上册39一般来说，一般来说，分段函数不是初等函数，但例分段函数不是初等函数，但例1 1所示的分段所示的分段函数是初等函数。函数是初等函数。例例1 1复合而成的复合函数复合而成的复合函数那就是说，原函数与那就是说，原函数与是同一个函数，因此它也是初等函数。是同一个函数，