2021届高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天教学案沪科版

1、 - 1 - 第第 4 4 讲讲 万有引力与航天万有引力与航天 知识排查 知识点一 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆， 太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 a3t2k，k是一个与行星无关与中心天体有关的常量 知识点二 万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间

2、距离r的平方成反比。 2.表达式：fgm1m2r2 引力常量g6.671011 nm2/kg2。 3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。 知识点三 宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v17.9 km/s，是人造卫星的最小发射速度，卫星环绕地球的最大速度 第二宇宙速度 v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的求解 - 2

3、 - 第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也称为最大环绕速度。 (1)由gmmr2mv2r得vgmr7.9 km/s (2)由mgmv2r得vgr7.9 km/s 知识点四 时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。 2.相对论时空观 在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。 小题速练 1.思考判断 (1)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。( ) (2)只要知道两个物体的质量和

4、两个物体之间的距离，就可以由fgm1m2r2计算物体间的万有引力。( ) (3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。( ) (4)发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。( ) (5)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.下列说法正确的是( ) a.伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 b.根据表达式fgm1m2r2可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 c.在由开普勒第三定律得出的表达式r3t2k中，k是一个与中心天体有关的常量 d.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对

5、平衡力 解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项 a 错误；表达式fgm1m2r2中，当r趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项 b 错误；表达式r3t2k中，k是一个与中心天体有关的常量，故选项 c 正确；物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项 d 错误。 - 3 - 答案 c 3.(2019全国卷，14)2019 年 1 月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，f表示它所受的地球引力，能够描述f随h变化关系的图象是( ) 解析 由万有引力公式fgmm（rh）2可知，探测器与地球表

6、面距离h越大，f越小，排除 b、c；而f与h不是一次函数关系，排除 a，选项 d 正确。 答案 d 开普勒行星运动定律的理解和应用 1.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 2.开普勒第三定律a3t2k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 3.运用开普勒行星运动定律分析求解椭圆轨道运动问题时，判断行星运动速度的变化，可结合功能关系进行分析。行星(或运动天体)处在离太阳(或所环绕的天体)越远的位置，速度越小；处在离太阳(或所环绕的天体)越近的位置，速度越大。 教材引领 1.人教版必修 2p36t1地球公转轨道

7、的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。已知火星公转的轨道半径是 1.5 天文单位，根据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少天？ 解析 行星绕太阳的运动按圆轨道处理， 根据开普勒第三定律有r3地日t2地球公转r3火日t2火星公转， 即t2火星公转r3火日r3地日t2地球公转1.53133652，所以t火星公转 1.53365 天671 天。 - 4 - 答案 671 天 真题闯关 2.(2018全国卷)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星p，其轨道半径约为地球半径的16倍； 另一地球卫星q的轨道半径约为地球半径的4倍。p与q的周期之比约为(

8、) a.21 b.41 c.81 d.161 解析 由开普勒第三定律得r3t2k，故tptqrprq3164381，c 正确。 答案 c 3.(多选)(2017全国卷)如图 1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，p为近日点，q为远日点，m、n为轨道短轴的两个端点，运行的周期为t0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从p经过m、q到n的运动过程中( ) 图 1 a.从p到m所用的时间等于t04 b.从q到n阶段，机械能逐渐变大 c. 从p到q阶段，速率逐渐变小 d.从m到n阶段，万有引力对它先做负功后做正功 解析 由行星运动的对称性可知，从p经m到q点的时间为12t0，根据开普勒第二定律可

9、知，从p到m运动的速率大于从m到q运动的速率，可知从p到m所用的时间小于14t0，选项 a 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 b 错误；根据开普勒第二定律可知，从p到q阶段，速率逐渐变小，选项 c 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从m到n阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项 d 正确。 答案 cd 万有引力定律的理解及应用 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力f表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力f向，如图 2 所示。 - 5 - 图 2 (1)在赤道上：gmmr2mg1m2r。 (2)在两极上：gmmr2mg2。 (3)

10、在一般位置：万有引力gmmr2等于重力mg与向心力f向的矢量和。 (4)越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即gmmr2mg。 2.星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mggmmr2，得ggmr2 (2)在地球上空距离地心rrh处的重力加速度为g mggmm（rh）2，得ggm（rh）2，所以gg（rh）2r2 考法 万有引力的计算 【例 1】 如图 3 所示，有一个质量为m，半径为r，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为r2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万

11、有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( ) 图 3 - 6 - a.gmmr2 b.0 c.4gmmr2 d.gmm2r2 解析 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为r2的球，易知其质量为18m，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，fg18mmr22gmm2r2，故 d 正确。 答案 d 考法 与重力加

12、速度有关的计算 【例 2】 (2019江西抚州模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 2012 年中国十大科技进展新闻， 于 2013 年 1 月 19 日揭晓， “神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破 7 000 米分别排在第一、第二。若地球半径为r，把地球看作质量分布均匀的球体。 “蛟龙”下潜深度为d， “天宫一号”轨道距离地面高度为h， “蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( ) 图 4 a.rdrh b.（rd）2（rh）2 c.（rd）（rh）2r3 d.（rd）（rh）r2 解析 令地球的密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有

13、ggmr2。由于地球的质量为m43r3，所以重力加速度的表达式可写成ggmr243gr3r243gr。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部， 受到地球的万有引力即为半径等于(rd)的球体在其表面产生的万有引力， 故“蛟龙号”的重力加速度g43g(rd)。 所以有ggrdr。 根据万有引力提供向心力gmm（rh）2 - 7 - ma，“天宫一号”的加速度为agm（rh）2，所以agr2（rh）2，ga（rd）（rh）2r3，故 c 正确，a、b、d 错误。 答案 c 1.在行星表面，测得以初速度 10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有 1 m，而

14、行星的半径只有地球的一半， 则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g取 10 m/s2)( ) a.52 b.25 c.110 d.101 解析 根据hv202g和ggmr2可得，mr2v202gh，即43r3r2v202gh，行星平均密度3v208grh1rh，在地球表面以初速度 10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地v202g地5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为 101，选项 d 正确。 答案 d 2.已知一质量为m的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为 n， 假设地球是质量分布均匀的球体，半径为r。则地球的自转周期为( ) a.t2mrn

15、 b.t2nmr c.t2mnr d.t2rmn 解析 在北极，物体所受的万有引力与支持力大小相等，在赤道处，物体所受的万有引力与支持力的差值提供其随地球自转的向心力，由题意可得 nmr2t2，解得t2mrn，选项 a 正确。 答案 a 中心天体质量和密度的估算 1.“g、r”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径r。 (1)由gmmr2mg，得天体质量mgr2g。 (2)天体密度mvm43r33g4gr。 2.“t、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期t。 - 8 - (1)由gmmr2m42t2r，得m42r3gt2。 (2)若已知天体的半径r，则天体的密度mvm43r

16、33r3gt2r3。卫星绕天体表面运行时，则天体密度3gt2。 教材引领 1.人教版必修 2p43t3某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是 6.8103 km，周期是5.6103 s，试从这些数据估算地球的质量。(已知万有引力常数g6.671011 nm2/kg2) 解析 卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有gmmr2m2t2r，得地球质量m42r3gt242（6.8106）36.671011（5.6103）2 kg5.91024 kg。 答案 5.91024 kg 拓展提升 2.近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资

17、源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为t，则火星的平均密 度的表达式为(k是一个常数)( ) a.kt b.kt c.kt2 d.kgt2 解析 由万有引力定律提供向心力知gmmr2m42t2r， 联立m43r3和rr， 解得3gt2，3 为一常数，设为k，故选项 d 正确。 答案 d 3.(2019济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 r0 月球表面处的重力加速度 g0 地球和月球的半径之比 rr04 - 9 - 地球表面和月球表面

18、的重力加速度之比 gg06 a.32 b.23 c.41 d.61 解析 在星球表面附近，万有引力等于重力，即gmmr2mg，解得星球质量mgr2g，再由密度公式mv，体积公式v43r3，联立解得地球和月球的密度之比地月gg0r0r32，选项 a 正确。 答案 a 真题闯关 4.(2017北京理综，17)利用引力常量g和下列有关数据，不能计算出地球质量的是( ) a.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) b.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 c.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 d.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析 因为不考虑地球的自转，所以

19、卫星的万有引力等于重力，即gm地mr2mg，得m地gr2g，所以据 a 中给出的条件可求出地球的质量；根据gm地m卫r2m卫v2r和t2rv，得m地v3t2g，所以据b 中给出的条件可求出地球的质量；根据gm地m月r2m月42t2r，得m地42r3gt2，所以据 c 中给出的条件可求出地球的质量；根据gm太m地r2m地42t2r，得m太42r3gt2，所以据 d 中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题选项 d 正确。 答案 d 5.(2018全国卷，16)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“j03180253”，其自转周期t5.19 m

20、s。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.671011 nm2/kg2。以周期t稳定自转的星体的密度最小值约为( ) a.5109 kg/m3 b.51012 kg/m3 c.51015 kg/m3 d.51018 kg/m3 解析 毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据gmmr2m42rt2，m43r3，得3gt2，代入数据解得51015 kg/m3，c 正确。 答案 c - 10 - 卫星运行参量的比较与计算 1.物理量随轨道半径变化的规律 规律gmmr2（rr地h）mv2r vgmr v1rm2r gmr3 1r3m42t2r t42r3gm

21、 tr3ma agmr2 a1r2越高越慢mggmmr2地（近地时） gmgr2地 2.卫星的运行轨道 (1)赤道轨道 (2)极地轨道 (3)其他轨道 图 5 注意：轨道平面一定通过地球的球心。 3.利用万有引力定律解决卫星运动的技巧 (1)一个模型 卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 (2)两组公式 gmmr2mv2rm2rm42t2rma mggmmr2(g为天体表面处的重力加速度) (3)a、v、t均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较。 - 11 - 教材引领 1.人教版必修 2p48t1“2003 年 10 月 15 日

22、9 时， 我国神舟五号宇宙飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，把中国第一位航天员杨利伟送入太空。飞船绕地球飞行 14 圈后，于 10 月 16日 6 时 23 分安全降落在内蒙古主着陆场。”根据以上消息，近似地把飞船从发射到降落的全部运动看做绕地球的匀速圆周运动，试估算神舟五号绕地球飞行时距地面的高度(已知地球的质量m6.01024 kg，地球的半径r6.4103 km)。 解析 神舟五号绕地球运动的向心力由其受到地球的万有引力提供，则gmmr2m2t2r, 得r3gmt242， 其 中 周 期t2460（26037）14 min 91.64 min ， 解 得r36.6710116.01024（

23、91.6460）242 m6.7106 m；所以其距地面的高度为hrr6.7106 m6.4106 m3105 m300 km。 答案 300 km 拓展提升 2.(多选)设地球的半径为r0，质量为m的卫星在距地面 2r0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) a.卫星的线速度为gr02 b.卫星的角速度为g8r0 c.卫星的加速度为g9 d.卫星的周期为 227r0g 解析 卫星在距地面 2r0高处做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得gm0mr22mv2r2m2r2m42r2t2ma， 在地球表面处有gm0mr21mg， 其中r1r0，r23r0， 解以上各式得vgr

24、03，g27r0，ag9，t227r0g，选项 a、b 错误，c、d 正确。 答案 cd 3.(多选)p1、p2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图 6 中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示p1、p2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( ) - 12 - 图 6 a.p1的平均密度比p2的大 b.p1的“第一宇宙速度”比p2的小 c.s1的向心加速度比s2的大 d.s1的公转周期比s2的大 解析 由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由agmr2可知p1质量

25、大于p2，则p1密度大于p2，故 a 正确；第一宇宙速度vgmr，所以p1的“第一宇宙速度”大于p2的，故 b 错误；卫星的向心加速度为agm（rh）2，所以s1的向心加速度大于s2，故 c 正确；由gmm（rh）2m42t2(rh)得t42（rh）3gm，故s1的公转周期比s2的小，故 d 错误。 答案 ac 真题闯关 4.(2019全国卷，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径r金r地r火，由此可以判定( ) a.a金a地a火 b.a火a地a金 c.v地v火v金 d.

26、v火v地v金 解析 行星绕太阳做圆周运动，由牛顿第二定律和圆周运动知识可知 gmmr2ma，得向心加速度agmr2 由gmmr2mv2r得速度vgmr 由于r金r地r火 所以a金a地a火，v金v地v火，选项 a 正确。 答案 a 5.(多选)(2018天津理综)2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通 - 13 - 过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的(

27、 ) 图 7 a.密度大小 b.向心力的大小 c.离地高度的大小 d.线速度的大小 解析 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，设卫星离地面的高度为h，则有gmm（rh）2m2t2(rh)，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，a、b 项错误；又gmm0r2m0g，联立两式可得h3gr2t242r，c 项正确；由v2t(rh)，可计算出卫星的线速度的大小，d 项正确。 答案 cd 活页作业活页作业 (时间：40 分钟) 基础巩固练 1.(2020山东等级考模拟卷)2019 年 10 月 28 日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。

28、已知日地距离为r0，天王星和地球的公转周期分别为t和t0，则天王星与太阳的距离为( ) a.3t2t20r0 b.t3t30r0 c.3t20t2r0 d.t30t3r0 解析 由开普勒第三定律知t2r3t20r30，得r3t2t20r0，故 a 正确。 答案 a - 14 - 2.(2018北京理综，17)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下，需要验证( ) a.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 1/602 b.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1/602 c.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的

29、1/6 d.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1/60 解析 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律万有引力定律，则应满足gmmr2ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项 b 正确，其余选项错误。 答案 b 3.“嫦娥四号”于 2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分成功完成人类首次月球背面软着陆。为了实现地球与月球背面的通信，先期发射了一枚拉格朗日l2点中继卫星。拉格朗日l2点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，是五个拉格朗日点之一，位于日地连线上、地球外侧约 1.5106 km 处。已知拉格朗日l2点与太阳

30、的距离约为 1.5108 km，太阳质量约为 2.01030 kg，地球质量约为 6.01024 kg。在拉格朗日l2点运行的中继卫星，受到太阳引力f1和地球引力f2大小之比为( ) a.1003 b.10 0003 c.3100 d.310 000 解析 太阳对中继卫星的引力为f1gmmr21，地球对中继卫星的引力为f2gm地mr22，所以两力之比为f1f2gmmr21gm地mr221003。 答案 a 4.地球的近地卫星线速度约为 8 km/s，已知月球质量约为地球质量的181，地球半径约为月球半径的 4 倍，下列说法正确的是( ) a.在月球上发射卫星的最小速度约为 8 km/s b.月

31、球卫星的环绕速度可能达到 4 km/s c.月球的第一宇宙速度约为 1.8 km/s d.“近月卫星”的速度比“近地卫星”的速度大 解析 根据第一宇宙速度vgmr， 月球与地球的第一宇宙速度之比为v2v1m2r1m1r2481 - 15 - 29，月球的第一宇宙速度约为v229v1298 km/s1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为 1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于 1.8 km/s。“近月卫星”的速度 1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度，故 c 正确。 答案 c 5.(多选)质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为g0，它在离地面的距离等于地球半径r的圆形轨道上运

32、行时的( ) a.周期为 42mrg0 b.速度为2g0rm c.动能为14g0r d.重力为12g0 解析 由万有引力提供向心力，则有 gmmr2mv2rm42t2rma 由题意可知，r2r 质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为g0，根据万有引力等于重力得： gmgr2g0mr2 由解得：周期t4 2mrg0，则 a 正确；由解得速度v g0r2m，则 b 错误； 动能为ek14g0r，则 c 正确；由agmr2，则重力为mag04，则 d 错误。 答案 ac 6.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球

33、，需经过时间 5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为r星r地14，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，地球的质量为m地该星球的质量为m星，空气阻力不计。则( ) a.gg15 b.gg52 c.m星m地120 d.m星m地180 解析 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t2v0g，因此得ggt5t15，选项 a正确，b 错误；由gmmr2mg得mgr2g，因而m星m地gr2星gr2地15142180，选项 c 错误，d 正确。 答案 ad 7.(2019天津卷，1)2018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，

34、“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。 - 16 - 已知月球的质量为m、半径为r，探测器的质量为m，引力常量为g，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( ) 图 1 a.周期为42r3gm b.动能为gmm2r c.角速度为gmr3 d.向心加速度为gmr2 解析 探测器绕月运动由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，gmmr2m2t2r， 解得周期t42r3gm， a 正确； 由gmmr2mv2r知， 动能ek12mv2gmm2r， b 错误； 由gmmr2mr2得，角速度gmr3，c 错误；由gmmr2ma得，向心加速度agm

35、r2，d 错误。 答案 a 综合提能练 8.(2018西安联考)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星a和b， 半径分别为ra和rb。 两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(t2)的关系如图 2 所示；t0为卫星环绕行星表面运行的周期。则( ) 图 2 a.行星a的质量小于行星b的质量 b.行星a的密度小于行星b的密度 c.行星a的第一宇宙速度等于行星b的第一宇宙速度 d.当两行星的卫星轨道半径相同时，行星a的卫星向心加速度大于行星b的卫星向心加速度 解析 根据万有引力提供向心力得出gmmr2m42rt2得m42r3gt2，根据图象可知，行星a的r3t2比 - 17 - 行星b

36、的大，所以行星a的质量大于行星b的质量，故选项 a 错误；由图象可知，卫星在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度mvm43r33gt20，所以行星a的密度等于行星b的密度，故选项 b 错误；第一宇宙速度v2rt，行星a的半径大于行星b的半径，卫星环绕行星表面的周期相同，则行星a的第一宇宙速度大于行星b的第一宇宙速度，故选项 c错误；根据gmmr2ma，得agmr2，当两行星的卫星轨道半径相同时，a的质量大于b的质量，则行星a的卫星向心加速度大于行星b的卫星向心加速度，故选项 d 正确。 答案 d 9.(多选)(2019山东青岛二中模拟) 2018 年 1 月，我国在西昌卫星发射中心用长征

37、三号乙运载火箭以“一箭双星”方式成功发射第 26、27 颗北斗导航组网卫星，两颗卫星属于中轨道卫星，运行于半径为 10 354 km 的圆形轨道上。卫星轨道平面与赤道平面成 55倾角。关于这两颗卫星，以下说法正确的是( ) a.两颗卫星的周期相等、运行速率相等 b.两颗卫星均为通信使用，故均为地球同步卫星 c.两颗卫星从地球上看是移动的，但每天经过特定的地区上空 d.两颗卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度 解析 两颗卫星的轨道半径及轨道平面相同，则运行的周期相等、运行速率相等，选项 a 正确；因两颗卫星的轨道平面不与赤道重合，则两颗卫星不可能是地球的同步卫星，选项 b 错误；两颗卫星从地

38、球上看是移动的，但因不是地球的同步卫星，则每天不可能经过特定的地区上空，选项 c 错误；根据agmr2可知，两颗卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，选项 d 正确。 答案 ad 10.我国实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1 弧度，万有引力常量为g，根据以上数据估算月球的质量是( ) 图 3 a.t2gs3 b.s3gt2 c.gt2s3 d.gs3t2 - 18 - 解析 由题意可知，该卫星的线速度vst，角速度1t，转动半径rvs，由万有引力提供向心力得gmmr2

39、mv2r，解得ms3gt2，选项 b 正确。 答案 b 11.20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。 现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船， 为了测量自身质量， 启动推进器， 测出飞船在短时间t内速度的改变为 v，和飞船受到的推力f(其它星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为t的匀速圆周运动，已知星球的半径为r，引力常量用g表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是( ) 图 4 a.fvt，v2rg b.fvt，v3t2g c.ftv，v2rg d.ftv，v3t2g 解析 根据牛顿第二定律可知fmamvt，所以飞船质量为mftv。飞船做匀速圆周运动的周期t2rv，得半径为rtv2，根据万有引力提供向心力可得gmmr2mv2r，得星球质量mv2rgv3t2g，故选项 d 正确。 答案 d 12.(多选)据报道，中国在 2017 年底发射全球首颗专业夜光遥感卫星“珞珈一号”01 星，在