直线及双曲线的位置关系(我的)

1、2.3.2双曲线双曲线的简的简单几何性质（单几何性质（2）双曲线双曲线高二数学高二数学 选修选修2-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交1) 位置关系种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点

2、相切相切:一个交点一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0,0,原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=

3、0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0, +1)=0, (a(a2 2+1) x+1) x1 1x x2 2 +a(x +a(x1 1+x+x2 2 )+1=0, )+1=0,解得解得a=a=1.1. (1)当当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称， 若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.不存在。上，所以这样

4、的在直线）不，中点（，纵坐标为的中点横坐标为：，即线段），那么由（的方程为：所以直线垂直，所以，与对称则直线两点关于直线）（，使得假设存在这样的实数）、解：方法（axyyxxxyaxyaxyxyyxyxa2132, 312*22AB4112L221121),B(,A12212211不存在。所以这样的，显然不符合上式，上，那么直线，又（，）在即：）（）（）（两式做差得：（那么有中点为（，），线段由题意与双曲线的两个交点，直线）（解：法会更简单。和中点问题，利用点差本题涉及到直线的斜率axnmxxxyxyxaaxyyxyx2,2,2,1313AB, 21),B(,A2121212121212121

5、2222222122111、设双曲线、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 五五、综合综合问题问题1317, 06028912,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以【分析分析】双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定 的的.利用利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找的垂直平分线与

6、坐标轴所围成的面积寻找k、m的关系式，根据两者的约束条件的关系式，根据两者的约束条件直线直线l与双曲线交于与双曲线交于不同的两点不同的两点，确定，确定k的取值范围的取值范围.2.(2008天津卷天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fl(-3,0)，一条渐近线方程是 .(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围.520 xy8122222x1(0,0).(1)yCabab双曲线 的方程为设222(54)844200.kxkmxkmxm得22952abba由题意，得22

7、45ab解得22145ykxmxy联立因为直线l交双曲线于M、N不同的两点，解析解析).0()2(kmkxyl的方程为设直线4554222kkm且即. 15422yxC的方程为所以双曲线0)204)(45(4)8(222mkkm所以24,54kmk00ykxm25.54mk22514y()5454mkmMNxkkk 线段的垂直平分线的方程从为而550.24kk或解得【回顾与反思】本题主要考查直线与直线，直线与双曲线的位置关系问题，考查学生的推理与运算能力，今后仍是高考考查的重点.),(),(),(002211yxMNyxNyxM的中点设2210 xxx所以),459, 0(),0 ,459(2

8、2kmkkmyx轴的交点坐标分别为轴、此直线与281|459|459|2122kmkkm由提设可得, 54|)45(2222kkkm所以).,45()25, 0()0 ,25()45,(k所以 2 22 21 12 21 1 2 21 12 21 12 2y y例例3 3: :已已知知双双曲曲线线方方程程: :x x - -= =1 1. .2 21 1 过过点点A A 0 0, ,1 1 作作直直线线l l交交双双曲曲线线于于P P, ,P P两两点点, ,1 1若若线线段段P PP P的的中中点点在在直直线线x x= =上上, ,求求直直线线l l斜斜率率k k的的取取值值范范围围, ,2

9、 22 2 过过点点B B 0 0, ,b b 作作斜斜率率为为k k k k0 0 直直线线, ,交交双双曲曲线线于于QQ, ,QQ 两两点点, ,1 1若若线线段段QQQQ的的中中点点在在直直线线x x= =上上, ,求求b b的的取取值值范范围围. .2 2:lkx + 1 k0y=kx+1x22222230.12kxkxy22220.412 20kkk k33,2k =12211.222kxxk13.k y=k x-1Q,Q11122202,1,.2bxyxyMy 12345则2211222212121212yx-=1 2yx-=1 2x +x =1 y +y =-k+2b y -y=

10、k x -x 12 ,345,11202kkb 2220kbk=2280b22bb 4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三

11、角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF练习练习: : 2 22 2直直线线mm: : y y = = k kx x+ +1 1和和双双曲曲线线x x - - y y = =1 1的的左左支支交交于于A A, ,B B两两点点, ,直直线线l l过过点点P P - -2 2, ,0 0 和和线线段段A AB B的的中中点点. .1 1 求求k k的的取取值值范范围围. .2 2 是是否否存存在在k k值值, ,使使l l在在y y轴轴上上的的截截距距为为1 1? ?若若存存在在, ,求求出出k k的的值值; ;若若不不存存在在, ,说说明明理理由由.

12、 . k bu cun zai1 12;2k1 .1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；2. 2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。3.3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别式大于零列不等式求解。式大于零列不等式求解。 221.直线l:y =kx+1与双曲线C:2x -y =1右支交于不同的两点A,B1 求实数k的取值范围;2 是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说