结构非线性的有限单元法

1、15.1 非线性问题分类及求解非线性问题分类及求解 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 5.2 非线性问题求解方法非线性问题求解方法 5.3 材料非线性材料非线性 5.4 几何非线性几何非线性 5.5 边界非线性边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点非线性分析特点5.8 ANSYS非线性结构计算示例非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例稳定性计算示例 25.1 非线性问题分类及求解非线性问题分类及求解 当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向和受力特

2、点。静力平衡方程表示为： PK其基本方程的特点如下： a材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d 结构的边界（约束）条件为线性关系。不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。5.1.1 非线性问题分类非线性问题分类第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 3 习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为混合非线性问题 。

3、 对于上述非线性问题总可归结为两大类，即材料非线性和几何非线性。 非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵B时， 应该考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。 5.1.2 非线性问题求解非线性问题求解第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 4 (2) 整体刚度矩阵集成 整体刚度矩阵集成、平衡方

4、程的建立以及约束处理，与线性问题求解相似 。(3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表为 PKT 求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼近的方法求之。即 0PKT 求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增量法两大类。 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 5图10-1 位形描述示意图 5.2.1 直接迭代法直接迭代法将平衡方程写成如下迭代格式 01PKnnT具体迭代过程简述如下取初始值 05.2 非线性问题求解方法非线性

5、问题求解方法返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 6则得到 00TTKK 得到改进解 PKT101重复上述过程，总结得出近似递推公式 PKKKnTnnTnT11 以一维非线性问题为例，直接迭代法的几何意义见图10-2。图10-2 直接迭代法的几何意义 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 75.2.2 牛顿牛顿拉裴逊（拉裴逊（NewtonRaphson）法）法 0 n非线性方程组在附近的近似0nnF一般情况下，0F故可得其解为 1111nnnnnnF 图10-3 NR迭代法的几何意义 图10-4

6、 修正牛顿法迭代几何意义 线性方程组为第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 85.2.3 载荷增量法载荷增量法 0,PKT为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于 ，对应于 ，则 0,上式的泰勒展开式为 ,令,TTKK得 P则有 0PKT第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 9或为 PKT1假设将载荷因子分为m个增量，并设10210mnn1有 11nmn相应载荷为 PPnn PPPPnnnn1则方程组的迭代公式为 nnnnnTnPK11当满足收敛准则时，迭代终止。第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线

7、性分析的有限单元法简介 10图10-5 载荷增量法的几何意义 5.3 材料非线性材料非线性5.3.1 材料非线性特征材料非线性特征材料非线性问题材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题有限单元法求解方程的形式相同，即表现为 DD dVBDBKT PK返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 11(a) 非线性弹性问题 (b) 弹塑性问题 (c) 理想塑性问题 (d) 强化塑性问题 图10-6 材料非线性问题第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 12 （3）蠕变与应

8、力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。在不增加应变情况下，在常值位移作用下应力随时间缓慢减小的现象称之为应力松驰。 考虑蠕变问题，就是要考虑在材料的本构关系中其粘性的影响程度。具有粘性的材料又可分为线性粘性材料和非线性粘性材料。 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 135.3.2 材料非线性模型材料非线性模型应力仅为应变的函数，加卸载规律相同。材料模型示意图特 点示 例弹性元件：线性非线性对于线弹性材料D是常数，非线弹性材料D是位移向量 的函数。 在应力充分小的情况下几乎包括所有材料例如，金

9、属、岩石、玻璃、木材。 D 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 14dtd应变随时间变化，应力与系数有关。粘性元件高温环境下的金属材料、地壳岩石等。t式中 粘性系数时间 ) 0( s)0()0(HsssH理想塑性 强化塑性 式中 屈服应力， 塑性元件 岩石在承受的荷载超过一定值时，如较高的围岩压力时表现出理想塑性特性。塑性强化模量。 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 15peep弹塑性变形时总应变包括两部分。式中 弹性应变，弹塑性元件 塑性应变。加载时使用增量理论。应力足够大时的金属、岩石、土壤。第五章第五章 结

10、构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 16Eve21v 粘弹性元件串联麦克斯韦尔(Maxwll)模型，一般描述材料的松弛特性。其特点 式中 粘性系数，粘弹性元件金属、聚合物。蠕变应变。 Eve21 粘弹性元件并联开尔文(Voigt Kelvin)模型，一般描述材料的蠕变特性。其特点第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 17sssvp当当021 粘性和塑性元件并联宾汉（Binhan）模型实际可视为刚性塑性模型，仅当材料的应力达到其屈服应力时，才能够产生塑性流动，流动的速度与粘性系数及载荷值有关。粘塑性元件 vp21时的瞬时应变当当当sv

11、ssp0粘性和塑性元件串联拟粘性流体模型。特点式中 高应变率的金属、聚合物高温下的金属，油漆等粘稠胶状物。 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 185.3.3 弹塑性问题有限元分析弹塑性问题有限元分析(1) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可分成三种情况来考虑，即弹性阶段、过渡阶段和弹塑性阶段。对于应力处于弹性阶段的单元，单元刚度矩阵 ek按弹性问题处理 dVBDBkVeT对于应力已超过屈服应力的单元，单元刚度矩阵 Pk按弹塑性 刚度矩阵计算。 dVBDBkPVPT一般过渡单元刚度矩阵为 dVBDBktVtT返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析

12、的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 19式中 tD 为过渡单元的弹塑性矩阵，取为弹性和塑性矩阵的加权平均值。 101mDmDmDPt 其中，m为加权因子当m1时为完全弹性；m0为完全塑性。m值的物理意义见图10-7。 图10-7 m值的物理意义 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 20(2) 弹塑性有限元解法弹塑性有限元解法 弹塑性问题求解常用切线刚度法、初应力法或切线刚度法等增量法。 同样，弹塑性问题的平衡方程可以表示为 PKT按照增量法增量法求解时，步骤如下。 P e 首先求出全部载荷向量作用之下的弹性解 ee 计算由于弹性解 产生的相应

13、等效应力 Pe 施加载荷增量 ，计算各单元由此产生的应变增量 根据每个单元的变形状态（弹性、塑性或弹塑过渡区），计算其单元刚度矩阵，集成形成总体刚度矩阵。第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 21 重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等效应变增量，依次修改相应的m值。重复以上步骤计算过程，一般修改m值23次即可 计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增量迭加到增量作用前的水平上。 重复步骤计算过程，直至完成所有的增量步。 作卸载计算，求出残余应力和残余应变。 输出计算结果。第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 2

14、25.4 几何非线性几何非线性5.4.1 几何非线性特征几何非线性特征 几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小应变问题和大位移、大应变问题。(a) 大位移、小应变问题 (b) 大位移、大应变问题 返回章节目录返回章节目录图10-8 几何非线性问题第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 23 几何非线性问题几何非线性问题比线性问题复杂得多，非线性问题与非线性问题与线性问题主要不同之处线性问题主要不同之处如下。 a对于大位移、小应变问题，虽然应力应变关系是线性关系，但计算应变位移关系时,位移的高阶导数项的影响不能够忽略，因而应变与位移呈现非线性关系。 b对于

15、有限变形问题，即大位移、大应变的情况，应力应变关系也是非线性的。 c几何非线性问题的平衡方程组，建立在结构变形后的位形状态上，而这个位形状态在求解过程中总是变动的。 d随着有限位形的变化，材料的本构方程亦发生变化。采用不同的参考位形将得出不同的本构方程式。第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 245.4.2 几何非线性有限元分析几何非线性有限元分析由虚功原理虚功原理 vxvxeedVdxdydzFT*T*T*则有 vxeedVFT*T*因为 PFeeT*T*故有 PdVvxT*T*虚应变与虚位移的关系式为*Bx 由于虚位移的任意性，由此可得出非线性问题的一

16、非线性问题的一般平衡方程式般平衡方程式返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 25 dKKKdKdKdKdVdBBDBBdKdVdBDBdVBddVdBdVBddNLSNLSVNLTNLSVTVNVVTTTTT式中 dVBddKVNST dVBDBKNTVNST VLTLLdVBDBKT VLTNNTNNTLNdVBDBBDBBDBKTTT第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 26由此，平衡方程式的增量形式可简记之 dKdT SNLTKKKK5.4.3 杆单元刚度杆单元刚度图示杆单元的长度为l，截

17、面积为A，弹性模量为E。图10-9 杆单元位移示意图 返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 27设单元形函数 lxNlxN21,1单元内任意点位移列向量轴向应变为 eeNNNNNvu21210000dxdvdxdux21 2210102101011eexll则有 eNeLeeexdBdBdldld101010101010112第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 28式中01011lBL 10101010101012ldlBeeN22220000lEAKN0000010100000101lEAK

18、L可得 注意到第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 29xFSK 假设单元的轴向力为，则可以得到几何刚度矩阵101000001010000lFKxS最后可以得到杆单元的切线刚度矩阵为222200001010000010100000000010100000101lEAlFlEAKxT第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 305.5 边界非线性边界非线性5.5.1 边界非线性（接触）问题概述边界非线性（接触）问题概述 在工程结构中，经常会遇到大量的接触边界问题。如齿轮的啮合、压力容器的法兰联接、电机组合转子的组装、机器轴承

19、接触、碰撞等。在分析和设计中，常常需要确定两个或多个相互接触物体的位移、接触区域的大小、相互接触面上的应力分布情况等。 接触问题求解复杂，解析法很难求解。 有限单元法的增量解法是解决复杂工程结构接触问题的行之有效的方法 在接触问题中，接触体的变形和接触边界的磨擦作用，使得部分边界条件伴随加载过程而发生不可恢复的非线性变化。这主要是由边界条件的非线性性质引起的。 返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 315.5.2 接触问题求解接触问题求解 在用有限单元法求解接触问题时，结构离散化原则上与线性结构相同，但应该把加载前分别位于结构A、B

20、上（图10-10）的已经接触的、结点位置相同的结点，或者加载后可能接触的相应结点均视为接触边界， 这种接触边界上成对的结点称为接触对。接触对根据结构A、B接触边界不同可分为点点、点线、线面、面面等接触条件 (a) 三维视图 (b) 二维视图 图10-10 几何非线性接触问题示意图 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 32接触问题有限单元法平衡方程为接触问题有限单元法平衡方程为BBBBAAAARPKRPK可写成 BABABABARRPPKK00简记为 RPK其中 BAKKK00 BABABARRRPPP,第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线

21、性分析的有限单元法简介 335.5.3 接触对坐标系及接触条件接触对坐标系及接触条件 （1）接触对坐标系 接触问题中，最重要的区域是接触部分最重要的区域是接触部分。把在两个或多个结构相连的区域，受到的某些表面的位移和力的限制，叫做接触条件。通过接触条件，可判断出两个或多个结构之间是以什么接触状态相联系的。一般，将接触状态分成三类，即分离（自由）接触分离（自由）接触、粘结接触粘结接触和滑动接触滑动接触。接触条件在接触面的局部座标下表示比较方便。 （2）接触条件 分离（自由）接触 粘结接触 滑动接触 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 34状态状态判判 断断

22、 条条 件件分分离离分离分离接触接触粘粘结结粘结粘结分离分离滑动滑动滑滑动动粘结粘结分离分离滑动滑动nt1nt0zh0zhsin,cos, 0zyzxzRRRRR0zRsin,cos, 0zyzxzRRRRR0, 0, 0yyxxzhRhRR0zR0, 0, 0yyxxzhRhRR接触状态判断条件 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 355.6 非线性弹性稳定性问题非线性弹性稳定性问题5.6.1 稳定问题分类稳定问题分类 随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳失稳。 (a)

23、焊接梁整体失稳 (b) 焊接梁受压翼缘板和腹板局部失稳 (c) 格构式柱受压失稳 图10-11 常见的工程失稳形态返回章节目录返回章节目录第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 36 结构的失稳有两种基本形式。分支点失稳和极值点失稳。（1）分支点失稳 图10-12(a)所示为中心受压简支压杆，图10-12(b)为压力载荷P与中点挠度f的关系曲线称为Pf曲线或不平衡路径。(a) 中心受压杆 (b) Pf曲线 图10-12 分支点失稳 第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 37当荷载值 22lEIPPcr时，压杆只是单纯受压

24、，不发生弯曲变形，压杆处于直线形式的平衡状态（称为原始平衡状态）。Pf 曲线中OAB，称为原始平衡路径（路径）。如果压杆受到轻微干扰而发生弯曲偏离原始平衡状态。当干扰消失后压杆仍又回到原始平衡状态。在原始平衡路径1上只有唯一的平衡形式，点A所对应的平衡状态是稳定的。 当荷载crPP 时，原始平衡形式不再是唯一的，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。 图10-12(b)中有两条不同的Pf曲线。原始平衡路径 （直线BC）和第二条平衡路径。这时原始平衡状态（C点）是不稳定的。如果压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态，而是继续弯曲直到图中D点对应的弯曲形式的平衡状态。第五章第五章 结构非线性分析的有限单元法简介结构非线性分析的有限单元法简介 38 两条平衡路径和的交点B称为分支点。 具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式分支点对应的荷载称为临界荷载对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。 （2）极值点失稳 具有初始曲率的压杆和承受偏心载荷的压杆，见图10-13(a) ，称为压杆的非完善体系。 它们从一开始加载就处于弯曲平衡状态。 按照小挠度理论，曲线OA为其Pf 曲线，见图10-13(b)。初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当P接近中