正态分布教案

1、态分布学院数学与计算机科学学院执教者王黎玲学号专业数学与计算机年级2008级指导老师袁智强老师教？材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节、教学目标知识与技能1、了解正态分布在实际生活中的意义和作用。2、掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质。3、掌握正态分布 3-CT原则及实际应用。?过程与方法1、介绍高尔顿的生平成就，激发学生对数学史的研究热情，进而引入高尔顿钉板 实验。2、经历高尔顿顶板实验过程，借助直观（如实际问题的直方图）图表，了解正态 分布曲线和正态分布。3、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解。4、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质、特点。情感、态度 与

2、价值观1、介绍数学家的生平、伟绩以及相对应课程的数学史，激发学生学习数学的兴 趣，增强学好数学的信心。通过对生活中正太分布现象的介绍，发展学生在实 践中探索的数学的意识及兴趣的审美能力。2、通过多次呈现实验演示，引导学生分析、归纳、总结，间接培养学生收集、统 计、分析实验数据的能力，体会到如何用科学的数学方法来解决实际生活中的 问题。3、经历观察、操作、思想交流等过程，了解正太曲线的概念及表达的意义，进一 步提高学生从一般到特殊的归纳能力。、教学重点与难点教学重点正态分布函数和正态曲线的性质。 正态分布3-原则及实际应用。教学难点正态曲线的性质。三、教学的方法与手段授课类型：新授课教学方法：启

3、发式教学、探究式学习教学软件：自制Powerpoint课件、实验flash多媒体设备：计算机四、教学过程【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引岀高尔顿钉板实验。教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验一一高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认 识高尔顿呢？学生预案：高尔顿？教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？学生预案：知道。教师活动：达尔文他岀版的物种起源这一划时代的着作，提岀了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国着名的人类学家、生物统计学家，他是生物统计学派的奠 基人，也是着名生物

4、学家达尔文的表弟，正是因为达尔文物种起源的问世，才触动了高尔顿对 生物统计学的研究，而等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的 实验。教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形 小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方 的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽 内。教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽内的小球的个数

5、，小球堆积的高度越 来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察 频率直方图，总之整个实验过程分三个步骤，小球下落一一观察小球个数一一观察频率直方图。现 在我们开始做实验。?老师演示：打开实验 flash，进行演示。最后将实验 300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示， 让学生更好的观察。300次600次1500 次3000 次我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟， 我们也把它叫钟型曲线。这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。它具有两头低，中间高，左右

6、对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示：这个函数是：式中的实数、匚（二 0）是参数，分别表示总体的平均数与标准差，J；x）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还 无法推 导出来，等同学 到了大 学进一 步学习概 率论等 统计数 学时，就 可以通 过大数 定律正确 的推导 出来， 但是现 在我们不 做要求，有兴 趣的同学 可以回 去查阅 书籍，现 在同学 们只要 牢牢记住 这个函数式就行了 。【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。教师活动：现在我们一起来做下这道题。

7、1.下列函数是正态函数的是 （）.【环节二：复习引入，巧设疑云，轻松渗透】温故而知新教师活动：在之前的学习中我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲 线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布。在总体分布研究中，正态分布在是最基本、最重要的一种分布，正态密度曲线也是一种总体密度曲线。总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概 率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑 曲线，这条曲线叫做总体密度曲线.于总体密度曲线与直线 X =a,x =b和x轴所围图形的面积.教师活动：那好，现在我

8、们再来观察正态密度曲线，X是一个随机变量.X落在区间（a,b的概率为：就是由正态曲线，直线 x =a,x =b和x轴所围图形的面积就是X落在区间 a,b 1的概率的近似值。教师活动：一般地，如果对于任何实数a ：. b，随机变量X满足则称X分布为正态分布，正态分布完全由卩和确定，因此正态分布常记作N（P,cr2），如果X服从正态分布，则记为XN，匚2【环节三：形成概念，升华认知，研究性质】教师活动：我们要研究一个函数图像的性质特点的话，一般会从哪些方面进行研究分析呢？学生预案：定义域、单调性、对称性、奇偶性，其他性质。教师活动：那好现在我们一起结合的解析式、正态分布曲线及概率的的性质特点，来研

9、究正态分布的性质。教师活动：1、正态曲线的定义域、值域分别是什么呢？ 学生预案：定义域是 x三卜二.，值域是y 0教师活动：值域中函数值会等于0吗？学生预案：不会。教师活动：那么反应在图像中，就是图像在x轴的上方，并且与 x轴没有交点。那么还有什么特征呢?12、通过观察函数图象及其函数解析式（x） ： e斗2兀u函数在哪里取得最大值呢？最大值是多少呢？学生预案：在x =处取得最大值，最大值是k(x) =1教师活动：很好，在 x = 1处我们可以取得最大值，最大值是（x），那么当x卩时，曲线下降（减函数）+并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x轴为渐近线，向它无限靠近。并且曲线它是单峰的，只有

10、一个最大值，从函数 解析式可以知道，图象关于x 对称。教师活动：那么同学们能不能从概率的角度研究下正态密度曲线有什么性质呢？回顾一下我们之前学习概率时，学习它的哪些性质呢？所有事件发生的概率之和为多少呢？学生预案：1.教师活动：那么我们学习过密度曲线，曲线与定义域内某个区间围城的面积大小反应是发生概率大小是吧，那么整条曲线与整条 X轴围成的面积是不是就是所有可能发生情况的概率之和，也就是1呢，因此我们可以得到曲线与 x轴围成的面积是1.教师活动：正态分布 N （二）是由均值 卩和标准差b唯一决定的分布，那么 卩和b是怎样对正态曲线产生影响的呢？请同学继续观察老师的实验演示。 啊？先（1）固定b

11、的值，改变卩的值，观察图像有什么变化学生预案：当b相同时，正态分布曲线随着卩的变化而左右平移。 教师活动：当b相同时，正态分布曲线随着卩的变化沿着X轴左右平移。教师活动：（2）固定卩的值，通过改变 b的值，观察图像有什么变化啊？学生预案：b越大，曲线越“矮胖”；b越小，曲线越“瘦高”。教师活动：卩一定时，曲线的形状由b确定，b越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；b越小曲线越“瘦高” 总体分布越集中。这样到我们又得到了正态分布哪些性质呢？学生预案：1、b定时，正态分布曲线随着 卩的变化沿着 X轴左右平移。2、卩一定时，曲线的形状由b确定，b越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；b越小曲线越“瘦

12、高” 总体分布越集中。教师活动：那么到目前为止我们发现了正态曲线几条特点呢？1、曲线位于x轴的上方，它与 X轴没有交点.12、 图象是单峰的，在 X - 处取得最大值，最大值是h（X）:3、 关于X二 I对称，当X V卩时，曲线上升（增函数）；当X卩时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、 右两边无限延伸时，以X轴为渐近线，向它无限靠近。并且曲线它是单峰的，只有一个最大值，没有最小值。4、曲线与X轴围成的面积是1.5、 b定时，正态分布曲线随着 卩的变化沿着X轴左右平移。6、 卩一定时，曲线的形状由b确定，b越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；b越小曲线越“瘦高.总体分布越集中。教师活动：非

13、常好，同学要牢牢记住这些性质，并要会应用它们。【环节四：应用思想，导岀3- b】数学思想应用，导岀新知教师活动：刚刚我们学习了已知密度曲线求概率的方法。那么如果XN匚2，对于任何实数aO,X落在区间.L-a,的概率多少呢？- a学生预案：P.La ： X _ a 二 l （x）dx教师活动：很好，那现在请同学分别求正态总体N（卩，二2 ）在（卩，卩+ b）；（卩2 b，卩+ 2b ）；（卩一 3 b，卩+ 3b）内取值的概率。学生预案：p八：:： X乞.匚=.：4（x）dx教师活动：那么它们得到的值是多少呢？学生预案：，二不知道，求不出来.教师活动：正态总体在这些特殊区间内的概率分别为：从上表

14、看到，正态总体在注一2二：:2-以外取值的概率只有 0.0456,在丄一3二：:：X岂 3- 以外取值的概率只有 0.0026，由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件。也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的。在实际应用中，通常认为服从正态分布N （卩，二2 ）的随机变量只取-3二：:：X _ 3二之间的值，并简称为3二原则。【环节五：讲解范例，掌握新知】1、 已知XN （0,1），则X在区间,2内取值的概率等于（）2、 设离散型随机变量XN（0,1）,则P X ：: 0=,P - 2 ： . X ：. 2 =3、若 XN(5,1),求 P(6X7).【环节六：归纳总

15、结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：1、高尔顿及高尔顿钉板实验2、正态分布3、正态分布曲线及其性质4、3 b原则5、正态分布的应用五、板书设计2. 4 正态分布、正态分布（X）二式中的实数 、二（匚 0）是参数，-E ，二=D二、x落在区间 a,b 1 的概率为 P（a : X B） =:4r（x）dx三、1、曲线位于x轴的上方，它与 X轴没有交点。12、在X =处取得最大值，最大值是（X）：J2兀3、 图象关于X二 I对称，当XV卩时，曲线上升（增函数）；当X 卩时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X轴为渐近线，向它无限靠近。并且曲线它是单峰的，只有一个

16、最大值，没有最小值。4、曲线与X轴围成的面积是1.5、当b相同时，正态分布曲线随着 卩的变化沿着 X轴左右平移。6、 卩一定时，曲线的形状由b确定，b越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；b越小曲线越“瘦高.总体分布越集中。四、3匚原则六、教学反思1高尔顿钉板引入的事件过长，用了7分半的事件才引岀正态分布密度曲线。整个实验的过程并不是很难，简单解说一下，学生应该就可以理解，只要把实验的步骤说明一下就可以了，不用花那么多时间。不过通 过介绍高尔顿的生平及在数学统计上的成就，渗透数学史，可以激起学生对数学文化的学习热情及学习数学的 乐趣2、引岀函数解析式后，花了过多的时间在帮助学生记忆解析式上，学

17、生刚刚接触，这里过多的解释就变成 了让学生强制记忆了。其实有后面的例题，在解答例题的时候，再来巩固函数解析式会更好，学生可以理解记 忆，效果会更好。3、概念引入后例题太多了，其实一道选择题的四个选项就可以体现岀函数解析式中几个易错点，没有必要再给出后面的两道例题。4 、在讲解随机变量 X 落在某个区间内的概率时衔接有点唐突，解释的有点含糊不清这里也是一个难点，尤 其是结合了定积分。5、在讲解正态曲线的性质时，相比第一次授课时，讲解的更加顺利，衔接更好通过函数的解析式和概率的 性质来引导学生对曲线性质的引导，也清楚了解释了第一次授课时在讲解时的一个困惑，就是如何解释它与 x 轴没有交点。6、 讲

18、解卩,b对图像产生的影响时，这次使用了fathom，相比第一次使用的 flash，用fathom更加直观形 象，而且可操作性更强，函数图象显示更加清晰，便于学生理解。7、没有给学生讲解正态分布在我们日常生活中的应用，不利于培养学生结合日常生活来学习数学的意识， 这由于自己备课不充分导致的。8、湘教版里面重点讲解标准正态分布，那么在课堂中到底要不要涉及，如果要讲解要在哪里讲解，讲解 到哪个程度，这个接下来要再好好研究一下。9、上课的过程中，教态还是有些不是很好的，比如说眼睛，课堂上学生与老师交流最多的就是眼神的交 流，不过感觉自己的眼神有点太飘了，不过从容镇定，不过这与自己没有备好课有关。而且讲

19、话的声音不够有 激情，几乎都在同一个调上，虽然很早已经意识到了，也试图改正过来，不过与自己的声音音调也有关系，接 下来我会再注意，不然一堂课下来，我想到后面估计就有学生睡着了。10、整个授课过程中，遇到最大的问题，就是每个知识点之间的衔接，感觉很绕，接下来要再好好研究一 下，如何让整个课堂一气呵成。11、对于正态分布研究还不够深，讲解过程不够深入具体，要再多看看这方面的教辅书。 1你认为“正态分布”这一节课中是否适合整合信息技术？如果适合，哪些知识点比较适合？你用到了什么 类型的信息技术？ 这些课件是你自己亲自制作的，还是下载别人的课件（未修改，简单修改，重大改进）？答：适合整合的信息技术，（

20、1）在高尔顿钉板实验中收集大量的数据中需要信息技术提供高速有效的数据（ 2）是在引入正态曲线的过程中，我们是通过频率直方图近似成曲线得到的，这个过程需要信息技术的整 合；（3）推导正态曲线函数中卩,b的改变对曲线的影响，借助fathom软件，可以让学生更加直观的感受到变化的过程，加深学生对正态曲线性质的理解掌握。（ 4）运用课件讲解，有色彩变化，图形与数字符号结合，可以吸引学生的眼球，并且可以节省时间，在有限的课堂理给予学生更多的知识。我用到的信息技术是高尔顿顶板实验的 flash， fathom， minitap 。课件是我自己做的，fathom 也是由我自己操作，但是高尔顿顶板实验的 fl

21、ash 不是。2你认为在“正态分布”这节课的教学中整合了信息技术之后，对学生的学习有何（正面或负面）影响？正面：在演示实验过程中，用到的实验flash，可以在较短的时间内收集到大量科学的数据，可以增大课堂的容量，让学生感受到学习数学的乐趣以及在生活中得到数据的方法。其次，在讲解卩，b的改变对曲线的影响时，通过fathom软件演示，fathom清晰的显示平台可以让学生更加直观形象的观察到曲线分别在卩，b影响下的变化，有易于学生对正态曲线性质的掌握，同时使这个教学难点易化，重点强化。在学习3-b 原则时，用minitap 软件制作的的图形与概率值结合，易于学生理解记忆。使用信息技术后可以让课堂多样化，更加丰富多彩，课件的颜色、字体、图形搭配，带给学生视觉审美上 的享受，让学生不容易产生视觉听觉的疲劳，大大弥补传统教学的缺陷。信息技术可以节约时间，可以在有限 的课堂时间里给予学生更多的知识。负面：因为信息技术出现问题的概率比较到，