第二章 点、线、平面投影(武汉大学出版社 丁建梅版)

1、工程造价专业土木工程制图2015年第二章第二章点、线、平面的投影点、线、平面的投影 第一节 投影的基本概念及分类 第二节 正投影的基本特征 第三节 三面正投影图 第四节 点、直线、平面的正投影规律 第五节 投影变换第一节第一节 投影的基本概念及分类投影的基本概念及分类一、投影与工程图一、投影与工程图 工程图是人们从自然界投影现象中观察到工程图是人们从自然界投影现象中观察到光线、物体、影子之间的关系，以归纳出光线、物体、影子之间的关系，以归纳出的表达物体形状、大小的投影原理和作图的表达物体形状、大小的投影原理和作图方法绘制而成的投影图。方法绘制而成的投影图。二、投影、投影法及投影图二、投影、投影

2、法及投影图1、自然界物体投影与工程制图投影的区别 自然界仅投影出物体的外部轮廓线；而工程制图投影为了清晰表达投影物形状大小的要求，还要能反映出内部轮廓及形状2、工程制图投影的相关假设工程制图投影的相关假设 （1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的，而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到的“影子”即为工程图投影。如图1-1：图图1-1 1-1 投影的形成投影的形成墙墙光线光线影子影子投影面投影面投影图投影图投影线投影线光源光源投影中心投影中心图图1-1 形成投影的三要素

3、：投影线、投影物形成投影的三要素：投影线、投影物(形形体体)、投影面、投影面（一）中心投影（一）中心投影三、投影的分类三、投影的分类S图图1-2-2 1-2-2 中心投影中心投影（二）平行投影（按投影线与投影面是否垂直分两（二）平行投影（按投影线与投影面是否垂直分两类）类）1 1、正投影：工程中，用的最多的是正投影、正投影：工程中，用的最多的是正投影2 2、斜投影：、斜投影： 斜投影斜投影正投影正投影图图1-2-3 1-2-3 平行投影平行投影SS在正投影条件下，在正投影条件下，使物体的某个面平使物体的某个面平行于投影面，则该行于投影面，则该面的正投影反映其面的正投影反映其实际形状和大小。实际

4、形状和大小。投影线、投影面的投影线、投影面的夹角不同夹角不同四、工程中常用的投影图四、工程中常用的投影图 工程中常用的投影图是工程中常用的投影图是: : 正投影图、正投影图、轴测投影图、透视投影图、标高投轴测投影图、透视投影图、标高投影图影图（一）正投影图正投影图图图1-2-4 1-2-4 正投影图正投影图特点特点:能反映形体的真实形状和大小能反映形体的真实形状和大小, ,便于标注尺寸，便于标注尺寸，度量性好度量性好, ,作图简便作图简便, ,在工程制图中采用最多。缺点是在工程制图中采用最多。缺点是无立体感，需要多个正投影图结合起来分析想象。无立体感，需要多个正投影图结合起来分析想象。（二）轴

5、测投影图（详第六章）轴测投影图（详第六章）图图1-2-5 1-2-5 轴测投影图轴测投影图运用平行投影的原理，将物体连同运用平行投影的原理，将物体连同确定该物体的直角坐标系一起沿不确定该物体的直角坐标系一起沿不平行于任一平面的方向投射到一个平行于任一平面的方向投射到一个投影面上。投影面上。特点特点:作图较透视图方便，作图较透视图方便，具有一定的立体感（较透视图差）具有一定的立体感（较透视图差）和直观性和直观性,常作为工程上的辅助性图常作为工程上的辅助性图.（三）透视投影图（详第七章）透视投影图（详第七章）图图1-2-6 1-2-6 透视投影图透视投影图运用透视原理绘制，具有近大远运用透视原理绘

6、制，具有近大远小特征的图像。小特征的图像。特点特点：图形逼真，：图形逼真，具有良好的立体感，常作为设计具有良好的立体感，常作为设计方案和展览用的直观图。但形体方案和展览用的直观图。但形体尺寸不能在图上度量和标注。尺寸不能在图上度量和标注。（四）标高投影图（等高线投影，详第九章）标高投影图（等高线投影，详第九章）102030102030H 图图1-2-7 1-2-7 标高投影图标高投影图（a a）立体状况（）立体状况（b b）标高投影图标高投影图（a a）（b b）用一组等距的水平剖切平面剖用一组等距的水平剖切平面剖切地面，其交线反应在在投影切地面，其交线反应在在投影图上成为等高线。图上成为等高

7、线。特点特点：是在：是在一个水平投影面上标有高度数一个水平投影面上标有高度数字的水平正投影图。亦即一组字的水平正投影图。亦即一组等高线的水平正投影图。常用等高线的水平正投影图。常用来绘制地形图和道路、水利工来绘制地形图和道路、水利工程等方面的平面布置图样。程等方面的平面布置图样。思考为什么采用正投为什么采用正投影法绘制工程图影法绘制工程图样？样？工程图样采用正投影法绘制，使所绘制图形既反应物体的真实形状和大小，又简单易画。正投影法是建筑制图与识图的重点，在寻常描述中常习惯将将正投影法简称为投影。第二节第二节 正投影的基本特征正投影的基本特征（一）显示性（可量性） 当直线和平面平行于投影面时，它

8、们的投影分别反映实形。（二）类似性（同素性） 当直线和平面倾斜于投影面时，直线的投影比实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状仍与实形类似。（三）积聚性。 当直线和平面垂直于投影面时，直线投影积聚成一点，平面投影积聚成一条直线（四）平行性 空间两直线相互平行，则其在同一投影面上的投影相互平行。（五）定比性(从属性) 空间直线（线段）上的某点分线段所成长度之比等于线段在固定投影面上的投影被该点投影所分长度之比。投影的显实性 投影的类似性 投影的积聚性 第三节第三节 三面正投影图（三面视三面正投影图（三面视图，三视图）体系图，三视图）体系一一二二三三四四三视图的作图方法与步骤三视图之间的对应关系

9、三视图的形成过程视图的基本概念一、视图的基本概念一、视图的基本概念 用正投影法绘制出的物体的图形称为视图视图。物体有长、宽、高三个方向的尺寸，但一个视图只能反映其两个方向的情况和尺寸。所以，一般情况下，一个视图不能确定物体的形状和大小。一个视图不能确定物体的形状和大小。为了准确表示物体的形状，必须增加几个由不同的投射方向得到的视图，把物体上长、宽、高三个方向的形状和尺寸，都加以说明。工程上常用的是三面正投影图，习惯上简称三视图。 要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。1.1.三投影面体系的建立三投影面体系的建立 投影面体系由三个相互垂直的投

10、影面所组成。三个投影面分别称为:正立投影面正立投影面V V、水平投影面、水平投影面H H、侧立投影面、侧立投影面WW。三个投影面两两垂直相交，三条交线成为投影轴投影轴，分别命名为为OX、OY、OZ，其交点O称为投影原点投影原点。2.2.形体在三投影面体系中的投影形体在三投影面体系中的投影 为了使图形绘制和识度方便，将形体放置在三投影面体系中时，形体摆放的方向，将对投影产生直接影响，为此，对形体的长宽高作如下统一约定：当形体的正面确定后，形体左右两侧面之间的距离称为长度，前后两面之间的距离称为宽度，上下两面之间的距离称为高度。按正投影法向各投影面投射，即可得到物体的正立面投影、水平面投影和侧立面

11、投影。（图1-2-1） 图1-2-1 三面投影图的形成三面投影图的形成 3.3.三面投影体系的展开三面投影体系的展开 为了绘图方便，需要将三视图体系展开到同一平面表示，为此规定V面不动，使H面绕OX轴向下旋转900，W面绕OZ轴向右旋转900，使得三投影面处于同一平面，由于视图和平面大小无关，所以投影面的范围不必画出，而只按投影轴划分投影区域。展开前后的三面投影图的方位关系展开前后的三面投影图的方位关系 注意：在投影体系展开后，Y轴随投影面展开而展开，属于H面的Y轴记作Y H轴，属于W面的Y轴记作Y W轴。为了准确表达形体水平投影与侧立投影之间的投影关系，在作图时可以用通过原点O 作45斜线的

12、方法求得，该斜线称为投影传递线投影传递线。用细线画出联系H、W两面投影的细线称为投影联系投影联系线线。(图1-3-1) H、V、W三个投影面称作基本投影面，基本投影面上的投影称为基本投影。 将一形体区别于其它形体投影的特征轮廓，称为特征投影。VHXZ 三个投影面展开以后，三条投影轴成了两条相交的直线；原三个投影面展开以后，三条投影轴成了两条相交的直线；原X、Z轴位置不变，原轴位置不变，原Y轴则分成轴则分成， 两条轴线。两条轴线。 图1-3-1 通常，若采用单面投影或双面投影，有的形体的空间形状不能唯一确定，此类一图多解的图样不能用于工程实际。 一图多解的原因是因为单面投影只能反映形体在两个坐标

13、方向的轮廓特征。当投影图选择合理，能够反映形体特征时，两个乃至一个投影（需要加上必要的说明）也能准确反映形体 形体的水平投影 形体的两面投影 形体的三面投影 特征投影特征投影4 . 三面投影图的规律 三面投影图的规律三面投影图的规律 形体投影图展开后，同时反映形体长度的水平投影和正面投影左右对齐长对正，同时反映形体高度的正面图和侧面图上下对齐高平齐，同时反映形体宽度的水平投影和侧面投影前后对齐宽相等。 “长对正、高平齐、宽相等”是形体三面投影图的规律。 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画投影轴（互相垂直的两条

14、线），水平投影面在下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定位线、辅助线如图1-3-2所示。 5 . 三面投影图的画法图1-3-2 作形体的三面投影 （1）量取形体的长度和宽度，在水平投影面上作水平投影。 （2）量取形体的长度和高度，根据长对正的关系作正面投影。 （3）量取形体的宽度和高度，根据高平齐和宽相等的关系作侧面投影。第四节第四节 点、直线、平面的正投影规律点、直线、平面的正投影规律一、点的正投影规律二、直线的正投影规律三、平面的正投影规律一一. .点的正投影规律点的正投影规律P P1、点的三面投影2、点的投影与直角坐标的关系3、两点的相对位置1.

15、1.点的三面投影点的三面投影为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如a、b、c；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a、b、c。点的空间位置用点的坐标表示，如A(ax， ay， az)，点的投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。点A的水平投影 a 点A的正面投影 a点A的侧面投影 a点的两面投影的连线,必定垂直于相应的投影轴。即：aaOX轴、 aaOZ轴、 aayhOY H轴，aaywOY W轴。点的投影到投影轴的距离,等于空间点到相应的投影面的距离。即：aax=aay=A

16、a，aaz=aay=Aa ，aax =aaz=Aa 。1-1.1-1.点的三面投影规律点的三面投影规律 1. a az = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa = yA 3. a ax =aay = Aa = zA 2 .2 .点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系3 .3 .空间两点的相对位置空间两点的相对位置两点中x 值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上a a ab b bBAXA-XBZA-ZBYA-YBYA-YBbb”bzaa”axyHyOW重影点的投影及其可见性重影点的投影及其可见性共处于同一条投影线上的两点,必在相应的投

17、影面上具有重合的投影，这两个点被称为该投影面的一对重影该投影面的一对重影点点。此重合的投影称为重影，如a(c)为H面重影。重影点重影点的可见性的可见性需根据这两点不重影的投影的坐标大小来判别。bHaWVxzOya(c)a”(d”)bb”AB判断可见性 ：前遮后、上遮下、左遮右b”bzaa”(d”)a(c) xyyOW(b)YA-YBYA-YBDC( )重影点的投影及其可见性重影点的投影及其可见性 对于投影面重影的标示：将可见投影点代号写在前面，不可见投影点代号写在可见点投影代号后面的圆括号内，如为H面重影a(c)。例题例题根据已作出但的A、B、C三点的三面投影读图：（1）请确定点A的坐标；（2

18、）试判断三点的空间位置关系。XYHZaaa”bbb”cc”c( )YWOX=20Z=20Y=15例题例题 点A坐标：A（20、15、20） 点B在A 之左，之下，之前，点C在点A的正前方。二、直线的正投影规律二、直线的正投影规律1、直线的三面投影2、各种位置直线的投影3、直线上的点4、直线的迹点投影5、两直线的相对位置关系1.1.直线的三面投影直线的三面投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下为一点。作图步骤：1.作出两端点的三面投影。 2.用直线连接两端点的同面投影。1.1.直线的三面投影直线的三面投影 按直线与投影面之间相对位置的不同，可将投影体系中的直线分为（1）一般位置直线（也叫倾斜线）

19、；（2）投影面平行线；（2）投影面垂直线。后两种直线称为特殊位置直线。 直线的迹点直线的迹点：直线与投影面的交点。有水水平迹点、正面迹点、侧面迹点平迹点、正面迹点、侧面迹点。2.2.各种位置直线的投影各种位置直线的投影1. 1.一般位置直线一般位置直线：与三个投影面都倾斜。2. 2.特殊位置直线投影面平行线：与一个投影面平行，且与另外两个投影面倾斜。 正平线 水平线 侧平线投影面垂直线：与一个投影面垂直，必与另外两个投影面平行。 正垂线 铅垂线 侧垂线直线一般位置直线： 投影面 平行线：（只平行一个面）正平线： V 面，倾斜于 H、W 面水平线： H 面，倾斜于 V、W 面侧平线： W 面，倾

20、斜于 H、V 面投影面垂直线：正垂线：垂直 V 面，平行于 H、W 面铅垂线：垂直 H 面，平行于 V、W 面侧垂线：垂直 W 面，平行于 H、V 面对 V、H、W 面都倾斜1.1.一般位置直线一般位置直线投影特性投影特性 ：三个投影面的投影仍为直线且均倾斜于投：三个投影面的投影仍为直线且均倾斜于投影轴影轴 三个投影面的投影均小于真实长度三个投影面的投影均小于真实长度 三个投影都三个投影都倾斜于投影轴，且与投影轴夹角均不反映直线对投影面倾斜于投影轴，且与投影轴夹角均不反映直线对投影面的的真实倾角真实倾角1.1.一般位置直线一般位置直线 直线对投影面的倾角：直线和它在相应投影面上的投影所夹锐角，

21、称为直线对该投影面的倾角。对H面倾角用 表示；对V面倾角用表示；对W面倾角用表示。 一般位置直线的实长与倾角问题（本节难点，课本80页，留作业）ABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab一般位置直线一般位置直线的实长和对投影面的倾角的实长和对投影面的倾角ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|baXb a a b 及及aab。a b ABb1AB 例例: :已知线段已知线段AB AB 与与H H 面的夹角面的夹角a

22、 a=30 , =30 , 求作水平投影求作水平投影. .有解2 分析：求出分析：求出abab投影投影长或长或Y Y坐标差均可画出坐标差均可画出ab ab 。正平线投影特性： ab =AB abOX ; abOZ，但投影不反应实长 正平面投影与坐标轴夹角反映a、 角的真实大小2.2.特殊位置直线特殊位置直线：( () )投影面平行线投影面平行线水平线投影特性：ab=ABabOX ; abOY1 水平面投影与坐标轴夹角反映、 角的真实大小侧平线投影特性： ab=AB abOY ; abOZ 侧平面投影与坐标轴夹角反映倾角的真实大小反映 、实角反映 、实角反映 、实角,直线的位置直 观 图平行于

23、面（水平线）投 影 图特 征平行于 面（侧平线）平行于 面（正平线）在所平行的投影面上的投影，反映线段真实长度。投影与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。投影面平行线的投影特性总结xyHzOabbb”aa”投影特性： a b 积聚成一点 a bOX ; a b OZ a b = a b = AB正垂线（）投影面垂直线（）投影面垂直线投影特性 ： a b 积聚成一点 a b OX ; a b OY 1 a b = a b = AB铅垂线b(a)b(a)投影特性 ： a b 积聚成一点 a bO ; a b OZ a b =

24、a b = AB侧垂线a”(b”)a”(b”)直线的位置直 观 图垂直于 面（铅垂线）积聚成一点= = = = =积聚成一点积聚成一点=投 影 图特 征垂直于 面（侧垂线）垂直于 面（正垂线）与直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且反映线段真实长度。投影面垂直线的投影特性总结投影面垂直线的投影特性总结xyHzyWOabbb”aa”直线上的点具有两个特性： 1从属性:若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2定比性:属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:CB = a

25、c:cb=ac :cb = ac : c b 利用上述特性，将为绘图各识图带来便利。3.3.直线上点的投影直线上点的投影ABabCc4 4. .迹点的概念与特性迹点的概念与特性 （1 1）定义：直线与投影面的交点。）定义：直线与投影面的交点。 （2 2）命名：直线与）命名：直线与H H面的交点称为水平面的交点称为水平迹点，用迹点，用M M表示；直线与表示；直线与V V面的交点称为正面的交点称为正面迹点，用面迹点，用N N表示。表示。 （3 3）特性：迹点是直线和投影面的公共）特性：迹点是直线和投影面的公共点，因此迹点的投影一个在轴上，另一个点，因此迹点的投影一个在轴上，另一个则与本身重合，且其

26、各投影在直线的同面则与本身重合，且其各投影在直线的同面投影上。投影上。 （4 4）用途之一：判断直线在空间的方位）用途之一：判断直线在空间的方位。迹点的投影作图迹点的投影作图 根据特性，作图过根据特性，作图过程如下图：延长程如下图：延长abab与轴与轴X X相交，交相交，交点为水平迹点点为水平迹点M M的正面的正面投影投影mm，由，由mm作轴作轴X X的垂线，与的垂线，与abab的延长的延长线相交于线相交于m m，即为水平，即为水平迹点迹点M M的水平投影。的水平投影。 同理，延长同理，延长abab与轴与轴X X相交，交点为正面迹相交，交点为正面迹点点N N的水平投影的水平投影n n，由，由n

27、 n作轴作轴X X的垂线，与的垂线，与abab的延长线相交的延长线相交于于nn，即为正面迹点，即为正面迹点N N的正面投影。的正面投影。5.5.两直线的相对位置判断两直线的相对位置判断 （1）平行两直线（2）相交两直线（3）交叉两直线 （1 1）两直线平行）两直线平行 若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 平行两线段长度之比等于其投影长度之比。baadbdccXbaabdcdc两条直线是否平行的判断两条直线是否平行的判断abbacddc 对于一般位置一般位置直线直线，只要有两个同面投影互相平行，就能确定空间

28、两直线互相平行。abcd（2 2）两直线相交）两直线相交当两直线相交时，它们在各投影面上的同面投影也必然相交（或重合），且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。bXaabkcddck判段直线判段直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。xY HzY WOabbb”aa”cddd”cc”结论 : 两直线相交（3 3）两直线交叉（异面）两直线交叉（异面）在空间既不平行也不相交的两直线,叫交叉两直线,又称异面直线。b Xa abc d dc11 (2 )2判断两侧平线判断两侧平线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。Y HzY WOb”a”xabbacddcd”c”结论:两直线异面 可见:对

29、于特殊位置直线,只有两个同面投影互相平行,空间两直线不一定平行。d abca b c d例题：过例题：过C点作直线点作直线CD与与AB垂直相交。垂直相交。.AB为正平线为正平线, 正面正面投影反映直角。投影反映直角。直角投影定理直角投影定理（难点，（难点，P88页）页） 空间两直线垂直相交，若其中一直线平空间两直线垂直相交，若其中一直线平行于某一投影面时，它们在该投影面上的投行于某一投影面时，它们在该投影面上的投影相互垂直。反之，相交两直线在某一投影影相互垂直。反之，相交两直线在某一投影面上的投影成直角，而其中一直线平行于该面上的投影成直角，而其中一直线平行于该投影面，则该两直线在空间必定垂直

30、相交，投影面，则该两直线在空间必定垂直相交，如图所示。如图所示。 该性质可称为该性质可称为直角投影定理。直角投影定理。其亦适用其亦适用于垂直交错的两直线。于垂直交错的两直线。 两直线垂直的投影图(a)(a)直线直线BCBC为水平线为水平线 （b b）直线）直线EFEF为正平线为正平线 直角投影定理的应用直角投影定理的应用例例1 1 求点求点K K到水平线到水平线ABAB的距离的距离L L。例2 已知点A的H投影a，求作一等边三角形ABC，其边BC在水平线MN上，高AK=30。（1）分析：）分析： 等边等边的高与底边垂直且平分底边，现在高的高与底边垂直且平分底边，现在高AK已已知。因此可先作出高

31、然后求解。知。因此可先作出高然后求解。（2 2）作图）作图例3 求作矩形ABCD。已知边AB，而邻边BC的端点C在V面上，并在H面上方25。（1 1）分析：）分析： 矩形邻边垂直，矩形邻边垂直，即有即有CBABCBAB。已知已知ABAB为一般位置为一般位置，由直角投影定理，由直角投影定理知，只有将知，只有将ABAB边转边转换成投影面的平行换成投影面的平行线才能作出垂直关线才能作出垂直关系。系。 因此可用辅投影因此可用辅投影法求解法求解。 （2 2）作图）作图 作使直线作使直线ABAB成为投影面平成为投影面平行线的辅投影行线的辅投影a a1 1b b1 1，并过，并过b b1 1作作 a a1

32、1b b1 1的垂线与距轴的垂线与距轴X X1 1为为2525的平的平行线相交，交点即为行线相交，交点即为C C点的辅点的辅投影投影c c1 1。 由由c c1 1作轴作轴X X1 1的垂线并与轴的垂线并与轴X X相交，交点即为相交，交点即为C C点的点的H H投影投影c c，再作出其，再作出其V V投影投影cc。分别。分别连接连接bcbc、bcbc完成边完成边BCBC的的投影。投影。 由矩形对边平行，其平行由矩形对边平行，其平行性投影不变的原理完成矩形性投影不变的原理完成矩形ABCDABCD的投影。的投影。三、平面的正投影及其规律三、平面的正投影及其规律1、平面的投影2、各种位置平面的投影3

33、、属于平面的直线和点1.1.平面的投影平面的投影平面的几何元素确定法平面的几何元素确定法 不在一直线上的三个点。一直线和直线外一点。相交二直线。平行二直线。任意平面图形。用几何元素表示平面用几何元素表示平面bbaaccbaacbcaabcbcabcabcddbacabc2.2.各种位置平面的投影各种位置平面的投影1.一般位置平面（倾斜面）：与三个投影面均倾斜。2 .特殊位置平面(1)投影面的平行面：投影面平行面是平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。 水平面正平面侧平面(2)投影面的垂直面：投影面垂直面是垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。 铅垂面正垂面侧垂面平面一般位

34、置平面 ： 对 V、H、W 面都倾斜。 投影面 平行面 ： (平行一个投影面)正平面： V 面，垂直于 H、W 面 水平面： H 面，垂直于 V、W 面 侧平面： W 面，垂直于 H、V 面投影面垂直面：(垂直一个投影面)正垂面：垂直 V 面，倾斜于 H、W 面铅垂面：垂直 H 面，倾斜于 V、W 面侧垂面：垂直 W 面，倾斜于 H、V 面（1 1）一般位置平面）一般位置平面投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2)三个投影面的投影都仍是平面图形，且面积缩小。abccabbaaabbccbacABC（2 2）特殊位置平面）特殊位置平面（a）投影面平行面 平行

35、于一个投影面的平面，统称为投影面平行面。（b）投影面垂直面 垂直于一个投影面而对其它两个投影面倾斜的平面，统称为投影面垂直面。（a a）投影面平行面）投影面平行面 水平面水平面投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条线，且与相应投影轴平行； (2) 水平投影 abc反映 ABC实形 。 CABabcbacabccabbbaacc 正平面正平面投影特性：（1）abc 、 abc 积聚为一条线，且与相应投影轴平行；（2）正平面投影 abc反映 ABC实形 。 cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：（1）abc 、 abc 积聚为一条线，且与相应投影轴平行；（2）侧平面投影 ab

36、c 反映 ABC实形 。 侧平面侧平面abbbacccabcbacabcCABa直线的位置直 观 图正平面投 影 图特 征侧平面水平面CBAbcabbac1水平投影反映实形。2正面投影积聚成平行于X轴的直线。3侧面投影积聚成平行于Y轴的直线。1正面投影反映实形。2水平投影积聚成平行于X轴的直线。3侧面投影积聚成平行于Z轴的直线。1侧面投影反映实形。2正面投影积聚成平行于Z轴的直线。3水平投影积聚成平行于Y轴的直线。在所平行的基本投影面上的投影反映实形。 在另外两个投影面上的投影，积聚成一条直线。投影面平行面的投影特性总结投影面平行面的投影特性总结c（b）投影面垂直面 铅垂面铅垂面投影特性 ：

37、水平投影积聚为一条直线；水平投影与OX、 OY 的夹角反映、 角的真实大小；正面投影和侧面投影为原形的类似形正垂面正垂面投影特性 ： 正面投影积聚为一条线；水平投影和侧面投影为类似形；正面投影与OX、OZ 的夹角反映、 角的真实大小。侧垂面侧垂面投影特性 ： 侧面投影积聚为一条线；水平投影和正面投影为类似形；侧面投影与OY、 OZ 的夹角反映、 角的真实大小。直线的位置直 观 图正垂面投 影 图特 征侧垂面铅垂面1水平投影积聚成直线，与X轴夹角为，与Y轴夹角为2正面投影和侧面投影具有类似性1正面投影积聚成直线，与X轴夹角为，与Z轴夹角为2水平投影和侧面投影具有类似性1侧面投影积聚成直线，与Y轴

38、夹角为，与Z轴夹角为2正面投影和水平投影具有类似性在所垂直的基本投影面上的投影积聚成一条直线。 在另外两个投影面上的投影，反映出与平面实形类似的形状。投影面垂直面的投影特性总结投影面垂直面的投影特性总结判断直线在平判断直线在平面内的方法面内的方法定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内此直线在该平面内。例题：在平面例题：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H

39、面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 面上取点的方法：面上取点的方法：点在平面上的条件：点在平面上的条件： 如果点在平面的某一直线上，则此点必在该如果点在平面的某一直线上，则此点必在该平面上。平面上。2.平面上的点平面上的点例题：点例题：点K K在平面内，已知在平面内，已知k k，求，求k kaccabkbaccabkb例题：例题： 已知已知 ABCABC给定一平面，试

40、判断点给定一平面，试判断点D D是否属是否属于该平面。于该平面。ddabcabceeD点点 直线直线AB上上不在不在abcbac例题：例题： 已知已知 ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C作属于该平作属于该平面的正平线，过点面的正平线，过点A A作属于该平面作属于该平面 的水平线。的水平线。mnnm1、 平面上的最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2、平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对相应投影面的平行线相互垂直。3、同一平面上的最大斜度线有三组，即分别对V面、H面及W面各有一组。（1）平面上对 H H 面的最大斜度线（2

41、）平面上对 V V 面的最大斜度线（3）平面上对 W W 面的最大斜度线 3 3、属于平面的最大斜度线、属于平面的最大斜度线AB雨水的流向AB/H，则雨水总是沿着与AB垂直的方向流下 属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，即为该平面的最大斜度线；即为该平面的最大斜度线；最大斜度线对投影面的倾角最最大斜度线对投影面的倾角最大。最大斜度线的几何意义大。最大斜度线的几何意义: :用来确定平面对投影面的倾用来确定平面对投影面的倾角（二面角）。角（二面角）。HPCDaSAEVHW（1）平面上对水平投影面的最大斜度线 EF AB平行于 H， EF垂直于

42、 ABPBAEFVHW（2）平面上对正面投影面的最大斜度线 CD AB平行于V， CD垂直于 ABPCDBAVHW（3） 平面上对侧面投影面的最大斜度线 MN AB 平行于W， MN垂直于ABPBAMN例题 求作 ABC平面上对水平面的最大斜度线BE 。ddeeabcabc作图步骤作图步骤作平面上的作平面上的水平线水平线过平面上任过平面上任意点作与平意点作与平面上水平线面上水平线垂直相交的垂直相交的直线直线120例题 求 ABC平面与水平投影面的夹角 。be BEddeeabcabc作平面的水平线作平面对H面的最大斜度线求对H面最大斜度线的121例题 求 ABC平面与正面投影面的夹角 。dda

43、bcabcebee BE作平面的正平线作平面对V面的最大斜度线求对V面最大斜度线的122例题例题 已知直线已知直线EF为某平面对为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面面的最大斜度线，试作出该平面。effeffeeaa给题effe已知直线已知直线EF为某平面对为某平面对H面的最大斜度线，求该平面的面的最大斜度线，求该平面的ggkk注意：题目的条件是对H面的最大斜度线，可以通过EF直接求角，但不能直接求出角。该题的第一个条件实际上只是给你一个平面。作图步骤：作出水平线FG。得到FGE平面。画出该平面的正平线，得到该平面对V面的最大斜度线FK。根据直角三角形法求平面的倾角。综合练习综合练习1：已知

44、：已知ABC对对H面面的最大斜度线的最大斜度线AD和和BC边的边的H投投影，完成影，完成ABC的的V、H投影投影ad badcb c abab30cc分析 过已知点作的平面上的正平线与对V面的最大斜度线是一对垂直相交的直线。投影作图步骤 以直角边 YAB 、=30作直角三角形，获对V面的最大斜度线的V投影长。以b为圆心，上述投影长为半径画圆。过a向此圆作切线，获切点C的V、H投影。连接AC、BC，完成作图。综合练习2：含AB作平面，使其=30 综合练习综合练习2 2 已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。abacdOXdcbeeabacdOXdcbeeff解法2综合练习3：已知平

45、面ABCD的一边CD=45mm，完成其H面的投影。abcdab分析：这是一个共面问题。解决这种问题的实质是根据平面的表达方法确定一个平面。这里AB和CD显然很难确定交点，因此可以根据两平行线确定平面的办法来解决。根据直角三角形法，可以求得CD直线的Y值。再根据平行线的投影性质，完成该平面图形。cda b bac综合练习4 以水平线AB为边作正三角形与水平投影面H的夹角成 30。以ab为边作正三角形c30第五节第五节 投影变换投影变换一、问题的提出一、问题的提出二、换面法二、换面法三、旋转法三、旋转法1311 1 问题的提出问题的提出 当几何元素相对于投影面处于特殊位置当几何元素相对于投影面处于

46、特殊位置 时，其投影往往能直接反映交点、交线时，其投影往往能直接反映交点、交线 的位置或图形实形、线段实长。的位置或图形实形、线段实长。定位问题定位问题度量问度量问132几何元素处于几何元素处于一般位置时一般位置时怎么办？怎么办？投影变换目的投影变换目的133VHXV1AababBX1a1b1旋转法旋转法134 选择新投影面的原则选择新投影面的原则VHXV1AababBX1a1b1新投影面必新投影面必对空间几何对空间几何元素处于有元素处于有利于解题的利于解题的位置位置新投影面必须垂直原投影面体系新投影面必须垂直原投影面体系中的一个投影面以构成新的相互中的一个投影面以构成新的相互垂直的投影面体系

47、垂直的投影面体系旋转法旋转法135aaaxAVHXX1V1ax1a1XVHaaaxX1HV1a1ax1旋转法旋转法136XVHaaaxX1HV1a1ax1在新投影面体系中，点的在新投影面体系中，点的一对投影连线垂直新投影一对投影连线垂直新投影轴轴 a aX a a1 X1新投影到新轴之距新投影到新轴之距 = = 被代替的投影到被代替的投影到原投影轴之距原投影轴之距 aa=aa1aa=aa1旋转法旋转法137XVHaaX1X2HV1V1H2a1a2旋转法旋转法138当当ABAB为新投影面的为新投影面的平行线时，其投影平行线时，其投影直接反映实长直接反映实长更换哪个投影面？更换哪个投影面？因为要求

48、因为要求 （与（与H H面面倾角），则必须保倾角），则必须保留留H H面而使面而使ABAB平行平行P P1 1。X1/abX1aba1b1P1H实长实长X1a1b1 实长实长HV1ababOVHX旋转法旋转法139VHXBababX1V1X2b1a1H2A2(b2) 将一般位置线将一般位置线 投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线A旋转法旋转法140X1X2a2 (b2)a1b1HV1V1H2 将一般位置线将一般位置线 投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线XababHV旋转法旋转法141过点过点K K作直线与

49、作直线与ABAB垂垂直相交并求其实长直相交并求其实长在什么情况下所求线在什么情况下所求线段的投影直接反映其段的投影直接反映其实长实长? ?ABKLPa b lk如何将如何将ABAB变换成变换成投影面垂直线？投影面垂直线？将将ABAB/线线将将ABAB 线线ABKLPa b lkabkkabXVHX1b1k1k2X2l1llX1/abk1l1/X2HV1V1H2A2(b2)(l2)a1X2 a1b1旋转法旋转法142取平面内的取平面内的X1mma1c1b1HV1abcbacXVH 旋转法旋转法143abcbacXVH平面相对于投影面平面相对于投影面处于何种位置时其处于何种位置时其投影直接反映实形投影直接反映实形 先将平面变换先将平面变换成投影面垂直面成投影面垂直面X1HV1a1a2b1b2c1c2X2V1H211 再将平面变换再将平面变换成投影面平行面成投影面平行面旋转法旋转法144当两平面的交线当两平面的交线ABAB垂直于新垂直于新投影面时它们在该投影面上投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹角的投影反映其夹角a