一次函数与正比例函数教学设计

1、第四章一次函数一次函数一、学生起点分析在七年级下期学生已经探索了变量之间关系， 在此基础上， 本章前一节继续通过对变量关系的考察， 让学生初步体会函数的概念， 能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数一次函数 . 由于有前面内容的铺垫， 学生已经会建立变量之间的关系， 可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成x y 1, x y1等，培养学生良好的书写习惯 .二、教学任务分析一次函数是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级 ( 上 ) 第四章 一次函数的第二节 . 本节内容安排了 1 个课时：让学生理解一次函

2、数和正比例函数的概念， 能根据已知信息写出简单的一次函数表达式， 并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力 .与原传统教材相比， 新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序， 原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.本节课教学目标分析是：(1) 理解一次函数和正比例函数的概念；(2) 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式 .(3) 经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；(4) 经历从实际问题中得到函数关系式这一过程， 发展学生的数学应用能力 .

3、(5) 体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣 .(6) 在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心 .本节课教学重点是：理解一次函数和正比例函数的概念.本节课教学难点是：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式, 发展学生的抽象思维能力.三、教学过程设计本节课设计了七个环节 : 第一环节 : 复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业 .第一环节：复习引入内容：复习上节课学习的函数, 教师提出问题 :(1) 什么是函数 ?(2) 函数有哪些表示方式 ?(3)

4、在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题 , 大家能不能举一些例子呢 ?意图：为了激发学生的求知欲望 , 吸引同学们的注意力 , 这里采用了“复习旧知识 , 诱导新内容”的引入方法 . 问题 (1)(2) 复习上节课的内容 , 问题 (3) 是让学生把所学知识运用于实际生活 , 提高学生的运用意识 .效果：问题 (1)(2) 学生都能快而准的回答 , 问题 (3) 是在一个开放的环境中回答 , 学生不能很准确的表述出来 , 可让学生互相补充 , 也可教师进行补充、完善 . 通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程 , 初步形成数学建模的思想 , 感受成功的喜悦 , 充分体现了本节课的情感

5、、态度目标 .若课堂气氛比较沉闷 , 也可由教师先举例 , 让学生来列函数表达式 , 激发学生的学习激情 , 再让学生举例 :( 如可补充如下习题 )假设某学生骑自行车的速度为 10km/h, 则他骑自行车用的时间 t(h) 和所走过的路程 s 之间的关系是什么 ?上网费用是 2 元/ 小时 , 则上网 t( 小时 ), 费用 y( 元) 的关系式是什么 ?第二环节：新课讲述内容：例 1 某弹簧的自然长度为 3cm,在弹簧限度内 , 所挂物体的质量 x 每增加 1kg, 弹簧长度 y 增加 0.5cm.(1) 计算所挂物体的质量分别为 1kg、2kg、3kg、4kg、5kg 时的弹簧长度 ,

6、并填入下表 :x/kg012345y/cm(2) 你能写出 x 与 y 之间的关系式吗 ?答案 (1) 3、3.5 、 4、 4.5 、5、5.5；(2)y = 3+ 0.5x.例 2 某辆汽车油箱有汽油 100L, 汽车每行驶 50km耗油 9L.(1) 完成下表 :汽车行驶路程050100150200300x/km油箱剩余汽油量y/L(2) 你能写出 x 与 y 之间的关系式吗 ?(3) 汽车行驶的路程 x 可以无限增大吗 ?有没有一个取值范围 ?剩余油量 y 呢?答案 (1) 100、 91、82、73、 64、46；(2) x与 y 之间的关系式为y = 100 - 0.18x ；(3

7、) 汽车行驶路程 x 不可能无限增大 , 因为汽油只有 100L, 每行驶 50km耗油 9L, 行驶 560km后, 油箱就没有油了 , 所以 x 不会超过 560km.y 代表油箱剩余油量 , 所以 y 应该小于 100 但不能小于零 .通过观察、探索、总结 , 归纳出一次函数与正比例函数的概念:一般地 , 若两个变量x,y间的关系式可以表示成y = kx + b ( k, b 为常数 , k 0) 的形式 , 则称 y 是 x 的一次函数 ( x 是自变量 , y 为因变量 ). 特别地 , 当 b = 0 时,则 y 是 x 的正比例函数 .意图：从生动有趣的问题情景 ( 弹簧的长度、

8、汽车油箱中的余油量 ) 出发 , 通过对一般规律的探索过程 , 从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念 .效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论, 教师在教学上恰当地设疑立障 , 引导学生大胆猜想 , 勇于探索 , 鼓励学生积极思维 , 总结出一次函数的定义， 提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力 .主要从函数解析式这一角度去研究一次函数， 这是学生第一次正式接触函数的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子， 让学生逐步学会从函数表达式去认识函数，进一步掌握一次函数的定义 .第三环节：巩固练习内容 :1. 在函数 (1)y = 3,(2)y = x- 5 ,(3) y

9、= - 4x ,(4)y = 2x2 - 3x ,x1(5) y =x- 2 (6)y =中是一次函数的是,是正比例函数x -2的是.2. 若 函 数是 一 次 函 数 , 则 m, n 应 满 足 的 条 件y = ( 6 + 3m )x + 4n - 4是；若是正比例函数 , 则 m,n 应满足的条件是.3. 当 k =时, 函数 y = (k + 3) xk 2 - 8 - 5 是关于 x 的一次函数 .意图：对本节知识进行巩固练习.效果：学生基本能交好的独立完成练习题, 收到了较好的教学效果 .在第 3 题中 , 学生易忘记 k + 3 0 的条件 , 而错误的将答案写成3 .第四环节

10、：知识提高内容：例 3 写出下列各题中x 与 y 之间的关系式 , 并判断 : y 是否为 x 的一次函数 ?是否为正比例函数 ?(1) 汽车以 60 千米 / 时的速度匀速行驶 , 行驶路程 y ( 千米 ) 与行驶时间 x ( 时)之间的关系；(2) 圆的面积 y ( 厘米 2) 与它的半径 x ( 厘米 ) 之间的关系；(3) 一棵树现在高 50 厘米 , 每个月长高 2 厘米 , x 个月后这棵树的高度为 y ( 厘米 ), 则 y 与 x 的关系 .答案 : (1)由路程 =速度时间 , 得 y = 60 x , y 是 x 的一次函数 , 也是 x 的正比例函数；(2) 由圆的面积

11、公式 , 得 y = p x2 , y 不是 x 的一次函数 , 也不是 x 的正比例函数；(3)这 棵 树 每 月 长 高y = 5 0+2 x0, yx2 厘 米 , x 个 月 长 高 了 2x 厘 米 , x,因 而例 4 某地区电话的月租费为 25 元, 在此基础上 , 可免费打 50 次市话 ( 每次 3 分钟 ), 超过 50 次后 , 每次 0.2 元 .(1) 写出每月电话费 y ( 元) 与通话次数 x ( x 50) 的函数关系式；(2) 求出月通话 150 次的电话费；(3) 如果某月通话费为 53.6 元 , 求该月通话的次数 .分析 : 解决此类问题首先要理解题意,

12、 然后找出相等关系. 此题相等关系为 :每月通话费 =月租费 +超过 50 次后电话费 .答案 : (1)根据题意得 :y = 25 + ( x - 50) 0.2 , 即 y = 0.2x + 15 ；(2) 当 x = 150 时, y = 0.2 150 + 15 = 45 ；(3)因为 53.6 25 , 可知通话次数大于50 次, 即当 y = 53.6 时, 求 x 的值 . 53.6 = 0.2 x + 15 , 解得 x = 193 .意图：通过丰富的现实背景的例题 , 进一步理解一次函数和正比例函数的概念 , 根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式 , 让学生体会数学的广泛

13、应用 , 发展学生的抽象思维能力 .充分加强数学与现实的联系 , 促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展 .效果：根据已知条件写出简单的一次函数的表达式, 教学时 , 学生会出现一定的差异 , 此时 , 要给予学生足够的思考时间 , 必要的时候可组织学生交流讨论 , 而不能是简单的“告诉” . 另外 , 在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力 , 这些都是逻辑思维训练的一部分 .在例 4 中的 (1) 中, 易错解为 y = 25 + 0.2x . 应让学生仔细审题 , 找准等量关系；(2) 、(3) 两问是给定自变量的值 , 求函数数值， 这类问题的实质就是解方程 .第五环节：反馈

14、练习内容 :1. 下列语句中 , 具有正比例函数关系的是 ( )(A) 长方形花坛的面积不变 , 长 y 与宽 x 之间的关系；(B) 正方形的周长不变 , 边长 x 与面积 S之间的关系；(C) 三角形的一条 不 , 条 上的高 h 与面 S 之 的关系；(D) 的面 S , 半径 r , S 与 r 之 的关系 .2我国 行个人工 、薪金所得税征收 法 定：月收入低于1600 元的部分不收税；月收入超 1600 元但低于 2100 元的部分征收5%的所得税如果某人月收入 1960 元. 他 个人工 、薪金所得税 （1960 - 1600 ） 5 %=18（元） .（1）当月收入大于 160

15、0 元而又小于 2100 元 ，写出 所得税y （元）与月收入 x（元）之 的关系式 .（2）某人月收入 1760 元，他 所得税多少元？（3）如果某人本月 所得税 19.2 元，那么此人本月工 、 薪金是多少以元？意 ： 本 知 行巩固 .效果：学生基本能 好地独立完成 , 收到了 好的教学效果 .在第 2 题, 学生容易 忘几何的相关内容 , 在此教 可作适当的提醒 , 学生更 利地完成 .第六 : 堂小 内容 : 我 学 了一 很有用的函数 一次函数，只要解析式可以表示成 y = kx + b（ k ,b 常数， k 0）的形式的函数 称 一次函数 . 正比例函数是一次函数当 b = 0

16、 的特殊情形 . （方式： 生互相交流 . ）目的：鼓励学生 合本 的学 内容 , 自己的收 和感想 , 一步巩固本 的知 . 效果：学生 所欲言自己 本 的感受与收 , 都能准确的 出一次函数与正比例函数的概念 . 但学生容易忽略一次函数与 生活的 系 , 教 做适当 充 .第七 ：布置作 1根据下表写出x, y 之 的一个关系式 .x- 10123y2. 某电信公司手机的 A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费 50 元，另外，每通话 1 分钟交费 0.4 元.（1）写出每月应缴费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系式；（2）某手机用户这个月通话时间为152

17、分，他应缴费多少元？（3）如果该手机用户本月预交了200 元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？3某电信公司手机的B 类收费标准如下：没有月租费，但每通话1 分钟收费 0.6 元. 按照此类收费标准，分别完成第2 题中的各小题.4根据上面第 2，3 题中的条件，完成下列各题：（1）若每月平均通话时间为300 分，你选择哪类收费方式？（2）每月通话多长时间时，按A，B 两类收费标准缴费，所交话费相等？四、教学设计反思1本课时在初中数学学习中的重要性函数是初中阶段数学学习的一个重要内容， 学生又是第一次接触函数， 充分考虑学生的接受能力， 本节从生动有趣的问题情景出发， 通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念 . 又通过具有丰富的现实背景的例题，进一步理解一次函数和正比例函数的概念，为下一步学习一次函数图象奠定基础，并形成用函数观点认识现实世界的能力与意识.2怎样对学生进行引导本节课的教学对象是初二学生 , 他们的参与意识较强 , 思维活跃 , 对研究常量的计算问题已掌握了一定的方法 , 但对函数、变