任意八边形均匀刚体绕垂直板面质心轴转动惯量公式

1、任意八边形匀质刚板绕垂直板面质心轴的转动惯量公式摘要：利用经过改造的平行轴定理，提出一种推导任意多边形匀质刚板绕质心轴的转动惯量的几何求法，并用这种方法推导出任意八边形匀质刚板绕质心轴的转动惯量公式。关键字：匀质刚板 质心轴 转动惯量 目 录引言1. 对平行轴定理的改造 1.1两质点的转动惯量 1.2三质点的转动惯量 1.3任意质点的转动惯量2.任意八边形质心位置的确定 2.1五边形ABFGH和五边形BJDEF的转动惯量 2.2确定八边形匀质刚板的质心3.任意八边形匀质刚板绕垂直面板质心轴的转动惯量公式致谢参考文献Abstract引 言 物体的转动惯量是实际生产和理论计算的重要研究对象，在科学

2、实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域是一个重要参量，在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，也是十分必要的。转动惯量作为一个重要的工程参数，如何更方便，快捷，准确的计算转动惯量成为了一个迫切需要解决的问题。目前，对于平面刚体的研究很多，在已有的文献中，五边形、六边形，甚至求任意多边形匀质刚板的转动惯量的公式都已给出，本文根据这些已有的知识，推导出任意八边形匀质刚板绕垂直板面质心轴的转动惯量公式。八边形的转动惯量，一方面决定于八边形的质量分布情况，另一方面又决定于八边形转动轴的位置。对于两条平行轴而言，如果其中有一条通过八边形匀质刚板的质心，那么八边形对

3、某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量，加上八边形匀质刚板的质量与两轴间垂直距离平方的乘积，即式子中I是对所求轴线的转动惯量，Ic是对通过质心并与所求轴线平行的轴线的转动惯量，d为平行轴线间的垂直距离，这个等式关系，叫做平行轴定理。本文将平行轴公式写成如下形式： （1）1 对平行轴定理的改造 1.1 两质点的转动惯量 如图1 所示,两质点A、B的质量分别为 、, C 是A、B构成系统的质心, , , . 设由A、B构成的系统以角速度绕过C点且垂直AB所在直线转动, A、B相互作用力大小为F，大小相等，对质点A来说,在惯性系, ,而在非惯性系中， ，已知; 比较这两式有 ， . 同

4、理对质点B 有. 前二式两边分别相加得 （2） 1.2 三质点的转动惯量 在两质点A、B构成的两体系统基础上,加入第三个质点D，如图2所示,其中，C的质量为,且是三质点A、B、D构成的三体系统的质心,、,是质点A、B的质心,、.由式(2)知A、B绕过点且垂直ABD所在平面轴线的转动惯量为,根 据平行轴定理知A、B绕质心轴的转动惯量为，把看作放在处的质点,且与质点D又构成两体系统问题,又可由式(2)得 （3） 1.3 任意质点的转动惯量 由上面介绍的简单三质点的转动惯量的求法可以自然地过渡到把n-1个质点的质量看作放在其质心处的质点，则它与第n个质点就又构成了两体问题，由式（2）可求出同一平面内

5、n个质点绕成质心轴的转动惯量。若匀质刚板由A、B两部分组成,由式(1)、(2)得 （4） 若匀质刚板由A、B、D三部分组成,由式(1)、(3)得 (5)2 任意八边形质心位置的确定 2.1 五边形ABFGH和五边形BJDEF的转动惯量 一个确定形状大小的匀质八边形刚板，其各边长及其对角线必须同时确定，如图3所示，八边形ABJDEFGH的边AB、BJ、JD、DE、EF、FG、GH的长分别为a,b,c,d,f,g,h,其对角线BH BG BF BE BD AG HF GE DF EJ的长分别为,k,i,总质量为m，八边形ABJDEFGH可以有过一顶点B的六个三角形组成，ABH,BHG,BGF,BF

6、E,BED,BDJ,其质心、质量和面积分别为,;,;,是四边形ABGH的质心，是四边形BFED的质心，是五边形ABFGH的质心，是五边形BJDEF的质心，,，分别为所在边的中点。 图3 八边形匀质刚板密度为： (6)由文献【1】得出： ， （7）在式（2）的证明中有： （8） 令，则 （9）式中，在射线右边。取正值；在射线左边，取负值，在中,根据余弦定理可得 则 （10）把式（6）（7）（10）代入式（5）中，得到五边形ABFGH绕质心轴的转动惯量为： （11） 同理，在五边形BJDEF中，BEF的质心在中线上，且，BED的质心在在中线上，且，四边形BFED的质心一定在上。有上文可得：， （1

7、2）令，则， （13）在中，根据余弦定理得： （14） 所以，五边形BJDEF绕质心轴的转动惯量为： （15） 2.2 确定八边形匀质刚板的质心 八边形ABJDEFGH的质心必在上，令，则， （16）则在中用余弦定理得： （17） 在四边形中，如图4，令 ， ， 图4 (18)又因为： （19） （20） 所以： （21）3 任意八边形匀质刚板绕垂直面板质心轴的转动惯量公式 (22)至此，任意八边形匀质刚板绕垂直板面质心轴的转动惯量公式就推导出来了。致谢本文在的解廷月老师的悉心指导下完成，在此表示衷心的感谢！参考文献 1 商众友. 任意多边形匀质刚板绕垂直板面质心轴的转动惯量的几何求法 J.

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