指数与指数函数

1、指数与指数函数指数与指数函数 主页主页函数与方程函数与方程抽象函数抽象函数复合函数复合函数函数零点、二分法、一元二次方程根的分布函数零点、二分法、一元二次方程根的分布单调性：同增异减单调性：同增异减; 奇偶性：内偶则偶，内奇同外奇偶性：内偶则偶，内奇同外赋值法赋值法函数的应用函数的应用函数的函数的基本性质基本性质单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性对称性对称性1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减复合函数单调性：同增异减.1.先看定义域是否关于原点对称，再看先看定义域是否关于原点对称，再看f(- -x)=f

2、(x)还是还是- -f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于偶函数图象关于y轴对称，反之也成立轴对称，反之也成立.f (x+T)=f (x)；周期为；周期为T的奇函数有：的奇函数有： f (T)=f (T/2)= f (0)=0.函数的概念函数的概念定义定义列表法列表法解析法解析法图象法图象法表示表示三要素三要素观察法、判别式法、分离常数法、观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等三角法、图象法、线性规划等定义域定义域对应关系对应关系值

3、域值域函数常见的函数常见的几种变换几种变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.基本初等基本初等函数函数正正(反反)比例函数比例函数;一次一次(二次二次)函数函数;幂、指数、对数函数幂、指数、对数函数函 数常见函数模型常见函数模型幂、指、对函数模型；幂、指、对函数模型；分段函数；分段函数；对勾函数模型对勾函数模型轴对称：轴对称：f (a- -x)=f(a+x); 中心对称中心对称: f (a- -x)+f(a+x)=2b 主页主页1. 1. 根式的概念根式的概念根式的根式的概念概念符号表示符号表示备注备注n1,且且 nN*. 如果如果xn=a, ,那么那

4、么 x 叫做叫做 a 的的n次方根次方根. n为为奇奇数时数时,正数的奇正数的奇次方根是正数次方根是正数;负数的奇次负数的奇次方根是负数方根是负数.na(0)na a零的零的n次方根次方根是零是零负数没有偶次方根负数没有偶次方根 n为偶数时为偶数时,正数的偶正数的偶次方根有两个且互为相反次方根有两个且互为相反数数.忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页().nnaa 公式公式 (1)适用范围适用范围:当当n为大于为大于1的奇数时的奇数时, aR.当当n为大于为大于1的偶数时的偶数时, a0.公式公式 (2)= =|,|,nnaaa 2. 两个重要公式两个重要公式2 ,N .nk k

5、21,N ,nkk 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页幂指数幂指数定义定义条件条件正整数正整数指数指数零指数零指数负整数负整数指数指数正分数正分数指数指数负分数负分数指数指数个个nnaaa aa N ,Rna 01a 0a 1nnaa N ,0na nmnmaa a0,m,n N* *,n111mnmmnnaaa a0,m,n N* *,n13. 幂的有关概念幂的有关概念忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点规定规定: 0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义.主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点4.有理数指数幂的运算性

6、质有理数指数幂的运算性质: (a0, b0, r, s Q )(1);rsrsa aa (2) ();rsrsaa (3) ().rrraba b 主页主页a 10 a 0,0,且且a1 1）的性质：）的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o当当x0 0时时, 0 0y0 0时时, , 0 0y0 0时时, y1.1.当当x1 1. .主页主页6.第一象限中第一象限中, ,指数函数底数与图象的关系指数函数底数与图象的关系图象图象从下到上从下到上, ,底数逐渐变大底数逐渐变大. .01badc 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页题号题号答案答案12345235342,(

7、b) ,xam 7(2, 1)(1,2) B3主页主页主页主页3322111143342(3)()a baba bab 1213233211233()a b a ba b ab 3111111226333ab 1.ab 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含

8、有负指数分母又含有负指数主页主页3123442(23 ) 2427110.主页主页故选故选 D.D D主页主页01,0ab主页主页 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象 (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解的指数型函数图象数形结合求解由图象得只有一个交点，由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解因此该方程只有一个解分别作出这两个函数图象分别作出这两个函数图象(

9、如图如图)方程的解可看作函数方程的解可看作函数y2x和和y2- -x的图象交点的横坐标的图象交点的横坐标,1主页主页A eeeexxxxy ee2211xx e2211x ee00 xxx 函数函数 y 在在(0, )上恒大于上恒大于1且单调递减且单调递减又函数又函数 y 是奇函数，故只有是奇函数，故只有A正确正确主页主页(2)k为何值时，方程为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？无解？有一解？有两解？解解:函数函数y|3x1|的图象是由函数的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位的图象向下平移一个单位后，再把位于于x轴下方的图象沿轴下方的图象沿x轴翻折到轴翻折到x轴上方

10、轴上方得到的，函数图象如图所示得到的，函数图象如图所示当当k0时，直线时，直线yk与函数与函数y|3x1|的图象无交点的图象无交点,即方程无解；即方程无解；当当k0或或k1时，直线时，直线yk与函数与函数y|3x1|的图象有的图象有唯一的交点，所以方程有一解；唯一的交点，所以方程有一解；当当0k1时，直线时，直线yk与函数与函数y|3x1|的图象有两个的图象有两个不同交点，所以方程有两解不同交点，所以方程有两解主页主页【例例3】设设a0且且a1，函数，函数y=a2x+2ax- -1在在- -1, 1上上的最大值为的最大值为14，求，求a的值的值. 主页主页 指数函数问题一般要与其它函数复合指数

11、函数问题一般要与其它函数复合.本题利用换元法将原本题利用换元法将原函数化为一元二次函数函数化为一元二次函数.结合二次函数的单调性和指数函数的单调结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性性判断出原函数的单调性,从而获解从而获解.由于指数函数的单调性取决于由于指数函数的单调性取决于底数的大小底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论所以要注意对底数的分类讨论,避免漏解避免漏解主页主页123212x12x3222112220,22ttttmt| |12x主页主页方程思想及转化思想在求参数中的应用方程思想及转化思想在求参数中的应用主页主页上式对一切上式对一切tR均成立，从而判别式均成立，

12、从而判别式412k0，222222212121210,2222又又由由题题设设条条件件得得tttktttk 222221221222)( 21)(22)( 21)0.9tktttttk 即(分22322121,320.12tt kttk整理得，因底数故分主页主页方程思想及转化思想在求参数中的应用方程思想及转化思想在求参数中的应用主页主页 (1)根据根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对意的是：有时利用

13、两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的所有的x都成立所以还要注意检验都成立所以还要注意检验 (2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t22t)f(2t2k)2t2k恒成立这个转化恒成立这个转化考生易出错其次，不等式考生易出错其次，不等式t22t2t2k恒成立，即对恒成立，即对一切一切tR有有3t22tk0，也可以这样做：，也可以这样做：k3t22t, tR,只要只要k比比3t22t的最小值小即可的最小值小即可,而而3t22t的最小值为的最小值为1/3, 所以所以k1/3.主页主页 1单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图单调性是指数函数的重要性质，

14、特别是函数图象的无限伸展性，象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线当轴是函数图象的渐近线当0a1时，时，x，y0；当；当a1时，时，a的的值越大，图象越靠近值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当轴，递增的速度越快；当0a0，a1)的图象，应抓住三的图象，应抓住三个关键点：个关键点：(1，a), (0, 1), . 3在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组组)来求值，来求值，或用换元法转化为方程来求解或用换元法转化为方程来求解1( 1,)a 主页主页 1指数函数指

15、数函数yax (a0，a1)的图象和性质跟的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分的取值有关，要特别注意区分a1与与0a1来研来研究究 2对可化为对可化为a2xbaxc0或或a2xbaxc0 (0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后应注意换元后“新元新元”的范围的范围主页主页作业纸作业纸:课时规范训练课时规范训练:P.1- -2 预祝各位同学，预祝各位同学，20132013年高考取得好成绩年高考取得好成绩! !主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案BDD316.22或或7.2 4. mn 5.1A组组专

16、项基础训练题组专项基础训练题组主页主页三、解答题三、解答题2132849(1)()()279 解解： 原原式式234 21000()50810 14625()10000 4 24711(25)931025 2 17(2) 29 2.9 主页主页413223333225333328(2)()42a abaa baaaababa 解解：11121113333332331111111223333352()(2) ()2=()(2)(2)()aabaaabaaabba a 51116333111336=(2)2aaaababa 1233=aa a 2=.a主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空

17、题题号题号123答案答案DCB5.2326.34a B组专项能力提升题组组专项能力提升题组4.9主页主页7已知函数已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x)3ax4x的定义域为的定义域为0, 1 (1)求求a的值的值 (2)若函数若函数g(x)在区间在区间0, 1上是单调递减函数，求上是单调递减函数，求实数实数的取值范围的取值范围解解:(1)由已知得由已知得3a+2=18 3a=2 a=log32.所以所以g(x1)- -g(x2)= 恒成立恒成立,1221(22 )(22 )0 xxxx 1222xx210022222,xx因为因为g(x)在区间在区间0，1上是单调递减函数，上是单调递减

18、函数，所以实数所以实数的取值范围是的取值范围是2.即即 在在0，1上恒成立上恒成立.(2)由由(1)得得 g(x)=2x- -4x, 设设0 x1x21,2. 主页主页1210 xxa 1221,0,1xxaaaaa 若若则则, 01, 10221aaaaa，xx则若同理12121221()()() (1)0,1xxxxaf xf xaaaa 主页主页主页主页【01】主页主页（1） 解解：当当 时，时，( 1,0)x (0,1).x 2, 10,412( ),01,410,1,0,1.xxxxxf xxx 主页主页主页主页所以函数所以函数f(x)的值域为的值域为121 2(,)(,)0.252

19、 5 故故 时，方程在时，方程在- -1, 1上有实数解上有实数解.(1)( )(0),ff xf21( ).52f x(0,1),x 21(),52fx21( ),52f x 12( )25f x 即即. .121 2(,)(,)0252 5m 主页主页解解: :函数的定义域为函数的定义域为R, ,任取任取x1, ,x2R,R,且且x10, f(x2)0,222211212122()(2)21()11( )( ).()55xxxxxxxxf xf x则则 例例2.讨论函数讨论函数 的单调性的单调性,并求并求其值域其值域.221( )( )5xxf x 主页主页x2- -x10, 当当x1x2

20、1时时,x1+x2- -20.21()1,()f xf x21()().f xf x 即即所以所以 f( x ) 在在 (- -,1上为增函数上为增函数.同理同理 f(x)在在1,+)1,+)上为减函数上为减函数. .又又x2- -2x=(x- -1)2- -1- -1,221110( )( )5,55xx所以函数的值域是所以函数的值域是(0,5.此时此时 (x2- -x1)(x1+x2- -2)0.主页主页2222,2121xxxxaaaa 解解: (1) 依题意，函数依题意，函数f(x)的定义域为的定义域为R， f(x)是奇函数，是奇函数，f(- -x)=- -f(x)，(2)222,21

21、21xxxxaaaa 2(2)(21)0,xa即即1.a 【例例3】(12分分)设函数设函数 为奇函数为奇函数.求：求：（1）实数）实数a的值；的值；（2）用定义法判断）用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性在其定义域上的单调性.22( )21xxaaf x 主页主页(2) 由由(1)知，知， 设设x1f(x1), f(x)在在R上是增函数上是增函数.2112,220,xxxx 12210,210,xx 又又 f(x2)- -f(x1)0, 即即 f( (x1 1) )f( (x2 2).).主页主页例例4.求证函数求证函数 是是奇奇函数函数,并求其值域并求其值域.101( )101xxf

22、x 证明：函数的定义域为证明：函数的定义域为R,所以所以f( (x) )在在R上是上是奇奇函数函数. .101()101xxfx 10 (101)10 (101)xxxx 110110 xx ( ).f x 主页主页解：解：所以所以函数函数f( (x) )的值域为的值域为(- -1,1).101( )101xxf x 21.110 x (101)2101xx 100, 1 101.xx 101.1 10 x 220.1 10 x 21 11.1 10 x 例例4.求证函数求证函数 是是奇奇函数函数,并求其值域并求其值域.101( )101xxf x 主页主页知能迁移知能迁移2 设设 是定义在是

23、定义在R上的函数上的函数. (1)f(x)可能是奇函数吗？可能是奇函数吗？ (2)若若f(x)是偶函数，试研究其单调性是偶函数，试研究其单调性. 解解: (1) 假设假设f(x)是奇函数是奇函数,由于定义域为由于定义域为R, f(- -x) =- - f(x), 即即 整理得整理得 所以所以a2+1=0, 显然无解显然无解.ee(),eexxxxaaaa 1()(ee)0,xxaa 即即10,aae( )exxaf xa 所以函数所以函数 f(x)不可能是奇函数不可能是奇函数.主页主页即即ee,eexxxxaaaa 1()(ee)0,xxaa 有有10,aa整理得整理得又又对任意对任意xR都成

24、立，都成立，得得a=1.(2)因为因为f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以 f(- -x)=f(x),主页主页当当 f(x1)0，即增区间为即增区间为0,+),反之反之(- -,0为减区间为减区间. 当当a=- -1时时,同理可得同理可得 f(x)在在(- -,0上是增函数，上是增函数，则则112212()()eeeexxxxf xf x 当当a=1时，时，f(x)=e- -x+ex,以下讨论其单调性，以下讨论其单调性，任取任取x1, x2R且且x1x2,121212(ee )(e1),eexxxxxx 其其中中1212ee0,ee0,xxxx在在0, +)上是减函数上是减函数. 主页主页10

25、20.5231(1) (2 )2(2 )(0.01)_;54 16156105533322aaaa 4303aa4132()a533361052(2)_.aaaa23a533361052(2)aaaa23.a (3)函数函数f(x)=a- -2x的图象经过原点，则不等式的图象经过原点，则不等式 的解集是的解集是 .(- -, - -2)3( )4f x (3)由由f(0)= 0 a=1，3124x122.4xx 主页主页【1】作出作出函数函数 的图象的图象,求定义域、求定义域、值域值域.111( ),1,22,1.xxxx 定义域定义域: :R, ,值域值域:(0,1:(0,1.11( )2xy 解解：|1|1( )2xy 1oxy1主页主页 【2】说出下列函数的图象与指数函数说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图的图象的关系象的关系,并画出它们的示意图并画出它们的示意图.(1)2xy (2)2xy (3)2xy yxoyxoyxo（x, ,y) )和和( (- -x, ,y) )关于关于y轴对称！轴对称！（x,y)和和(x,- -y)关关于于x轴对称！轴对称！（x,y)和和