电磁场及电磁波(第一章)

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 电磁场和其它场一样要用具有确定物理意义的量（电磁场和其它场一样要用具有确定物理意义的量（标量或矢量标量或矢量）来）来表征，这些量在一定的表征，这些量在一定的区域区域内按一定的分布规律，并且在这个区域内，内按一定的分布规律，并且在这个

2、区域内，除去有限个点或某些表面这种除去有限个点或某些表面这种分布规律分布规律是空间坐标的连续函数。是空间坐标的连续函数。 如果某场量在某时刻在空间任意一点如果某场量在某时刻在空间任意一点仅仅由其由其大小大小（标量）就能完全（标量）就能完全确定，则这些标量函数表示的场称为确定，则这些标量函数表示的场称为标量场标量场。 如果描述物理量的函数与如果描述物理量的函数与时间无关时间无关，则该函数代表，则该函数代表“静态场静态场”；反；反之，若该函数除与之，若该函数除与空间空间位置有关外还是位置有关外还是时间时间的函数时，则它表示的场是的函数时，则它表示的场是“时变场时变场”。 如果场量某时刻在空间任一点

3、都需要用如果场量某时刻在空间任一点都需要用矢量函数矢量函数才能完全确定，才能完全确定，则为则为矢量场，矢量场，其场量具有其场量具有大小大小和和方向方向。1.1 矢量代数矢量代数一、标量和矢量一、标量和矢量1 1、标量：、标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。2 2、矢量、矢量: :一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示矢量的代数表示：矢量的大小或模矢量的大小或模：矢

4、量的单位矢量矢量的单位矢量：常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 AeAeAAAAAAAeAAeAcosxcoscosxxyzAAAAAAAA，表示 在 方向的投影，是一个标量，矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxyOzzyyxxAeAeAeAzyxAzAyAxA coscoscoszyxeeeAA的方向余弦。称为矢量轴正向间的夹角余弦、与分别表示矢量、AzyxAzyxAeeeezyxA coscoscoscoscoscoscoscoscos3. 矢量的代数运算矢量的代数运算 （1）矢量的加

5、减法）矢量的加减法（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）定义：定义：矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律ABq矢量矢量 与与 的夹角的夹角AB（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量zzyyxxkAekAekAeAkABABBAq qcosBA0 BABAABBA0 xzzyyxeeeeee1zzyyxxeeeeeeABBAzzyyxxBABABABACABACBA矢量的标积符合分配律矢量的标积符合分配律在直角坐标系中点积的简化求解式：在直角坐标系中点积的简化求解式：（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABqBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积ABABnABeBAq qsinBA

6、ABBABA0 BAyxzxzyzyxeeeeeeeee000zzyyxxeeeeee写成行列式形式为写成行列式形式为不满足交换律不满足交换律不满足结合律不满足结合律满足分配律满足分配律CBACBACABACBA在直角坐标系中叉积的简化求解式：在直角坐标系中叉积的简化求解式：xyyxzxzzxyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBA（5）矢量的混合运算）矢量的混合运算标量三重积：结果为一标量标量三重积：结果为一标量矢量三重积：结果为一矢量矢量三重积：结果为一矢量BACACBCBACBABCACBA很重要，证明中常用很重要，证明中常用1 1、

7、直角坐标系、直角坐标系 x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 A xeyeze,xyzeee单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：( )xxyyzzA rA eA eA e 其位置矢量其位置矢量：000 xyzrx ey ez e空间任一点空间任一点P P（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0):):坐标变量坐标变量: :zyx,变量取值范围：变量取值范围：yxz1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd面

8、元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddzxelleSyzxyydddddyxelleSzyxzzdddddzyxVdddd2 2、圆柱坐标系、圆柱坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数：其位置矢量：其位置矢量：空间任一点空间任一点 P(P(0 0, ,0 0,z,z0 0) )变量取值范围变量取值范围 20zz, zeee, 0zeerz 圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP rAerAerAerAzz 面元矢量面元矢量体积元体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元

9、圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzVdddd 线元矢量线元矢量zeeelzdddd 为常数 xyzoz( , , )M x y z yzo柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为z 为常数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面为常数 ,P zzyx sincoszzxyyxarctan22 x圆柱坐标系与直角坐标系的单位矢量之间的关系为：zyxzeeeeee1000cossin0sincos zzyxeeeeee 1000cossin0sincosxMoy单位圆单

10、位圆xe eye e写成矩阵形式zzyxAAAAAA 1000cossin0sincoszyxzAAAAAA1000cossin0sincos 例题例题: :试将圆柱坐标系中的矢量试将圆柱坐标系中的矢量 变换为直角坐变换为直角坐标系中的表达式标系中的表达式. .zeeAz解解: :zzyxAAAAAA1000cossin0sincoszxyzcossinz01000cossin0sincoszexeyeAzyx3 3、球面坐标系、球面坐标系单位方向矢量单位方向矢量：矢量函数矢量函数： y O z x P(r0,0,0) 0 0 r0 reqee,reeeq( )( )( )( )rrA rA

11、r eA r eA r eqq 位置矢量：位置矢量：0 rrr e变量取值范围变量取值范围: :q2000 r球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0qq（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000qrP q q,r面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元 q qq q q qdrsindddererelrq q q q q qq q q q q q q qq q q qdddddddrsindddddsinddd2rrelleSrelleSrelleSrrrrr q qq qdddsind2rrV 球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元rdrsindr 为常数q为常

12、数为常数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sinsin ,cos .xryrzrqqq球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为xyo),(zyxMrzyxAxor22222,arctan,arctanrxyzxyzyxqq q Prsinry q qzrz球坐标系与直角坐标系的单位矢量之间的关系为：zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin q q q q q qq q q q q q q q q qq qq q q q q q q q q qeeeeeerzyx0s

13、incoscossincossinsinsincoscoscossin22一、标量场的等值面一、标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分

14、布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )Czyxu),( 1.3 标量场的梯度标量场的梯度23例：求标量场例：求标量场 通过点通过点M（1，2，3）的等值面方程。的等值面方程。)ln(222zyx解：函数在点解：函数在点 M（1，2，3）处的值为）处的值为 14ln)321ln()ln(222222zyx故通过点故通过点 M（1，2，3）的等值面方程）的等值面方程14ln)ln(222zyx14222zyx 即二、方向导数二、方向导数研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空间变化的情况间变化的情况例例 温度场温度场

15、: :结论：标量场中的一点，沿不同方向，标量值的空间变结论：标量场中的一点，沿不同方向，标量值的空间变化率一般不同。化率一般不同。lMuMululM00lim0M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 u(M)沿沿 方向增加；方向增加； u(M)沿沿 方向减小；方向减小； u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 0lul0lul0lul一般情况：一般情况：1 1、方向导数的定义、方向导数的定义等值面在某一点等值面在某一点处沿某一给定方向处沿某一给定方向 的变化率，称为该的变化率，称为该标量场在该点处沿标量场在该点处

16、沿 方向的方向导数。方向的方向导数。lllzzulyyulxxulu对于三元函数对于三元函数),(zyxfu 设方向设方向 l 的方向角为的方向角为 , ,. M0 (x0, y0, z0)lMr lzxy0M Nzyx zzyyxxlelelel特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。lM (x0+x, y0+y, z0+z)lzlllylllxllzyx coscoscos coscoscoszuyuxulu2、直角坐标系中任意点沿直角坐标系中任意点沿 方向的方向导数为：方向的方向导数为：l例例1： 求函数求函数处沿在点 M zyxu)1 ,0,

17、 1(222解解：222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu )1 ,0 ,1(M21xu0yu21zu方向的方向导数 eeelzyx22的方向余弦为而 l 312211cos222llx 322212cos222lly 322212cos222llz 02132213203121Mlu点沿 方向的方向导数为：l M u 在函数zyxeeel22函数沿 方向为增大的趋势，变化率为 。l21三、梯度（三、梯度（ 或或 ）：）： 1 1、梯度的定义：、梯度的定义：0MllM 方向导数描述了函数在给定点方向导数描述了函数在给定点 沿某个方沿某个方向的变化的问题，但给定某点向的变化的问

18、题，但给定某点 会有无穷多个会有无穷多个方向，则方向，则方向导数也会有无穷多个方向导数也会有无穷多个。0M0M 标量场标量场u在点在点M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad u问题：问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？graduumaxluegradulle是场量是场量u u变化率最大的方向上的单位矢量变化率最大的方向上的单位矢量maxu|ul 的最大变化率最大变化率最大变化率nuegradun在右图

19、中设在右图中设u和和udu是相差很小的等值面，且是相差很小的等值面，且du。点点位于位于u u等值面上，沿两个不同的路径移到点和点。其中等值面上，沿两个不同的路径移到点和点。其中与等值面的法线方向与等值面的法线方向平行。很明显平行。很明显所以所以 。若设方向若设方向的单位矢量为的单位矢量为，且，且的夹角为的夹角为，则，则有有：uududlqdnMPMPMQ MQ d ud ud nd lqnenelelenlee,lneedndudndudldndndudlduq qcosu 由此可知，标量场在某一点的梯度，一定垂直于过该点的等值面，由此可知，标量场在某一点的梯度，一定垂直于过该点的等值面，且

20、指向等值面增加的一侧。（即等值面的且指向等值面增加的一侧。（即等值面的法线方向法线方向 上，方向导数有上，方向导数有最大值，用该最大值连同取最大值的方向组成标量场的梯度）最大值，用该最大值连同取最大值的方向组成标量场的梯度）negrad u标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。u 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系llnegradueedndulu得到求方向导数的又一个方法。得到求方向导数的又一个方法。圆柱坐标系圆柱坐标系 11sinruuuueeerrrqqq 球坐标系球坐标系xyzuuuueeexyz 2、梯度的计

21、算式、梯度的计算式： xyzuuugrad ueeexyz引入哈密顿算子引入哈密顿算子xyzeeexyz 即可缩写为即可缩写为 grad uu 直角坐标系直角坐标系 梯度：梯度：某给定点的最大变化率，与所选的坐标系无关；但具体某给定点的最大变化率，与所选的坐标系无关；但具体计算时，对不同的坐标系有不同的表达式。计算时，对不同的坐标系有不同的表达式。矢性微分算子矢性微分算子, ,兼有矢量运算和微分运算的双重作用兼有矢量运算和微分运算的双重作用zueueueuz 1哈密顿算子哈密顿算子xyzeeexyz zAyAxAAeAeAezeyexeAzyxzzyyxxzyxyAxAexAzAezAyAeA

22、AAzyxeeeAxyzzxyyzxzyxzyx哈密顿算子哈密顿算子xyzeeexyz AAABBA00AAACBAABAC哈密顿算子与普通矢量的区别哈密顿算子与普通矢量的区别: :性质性质: : uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccu213 、梯度的性质：、梯度的性质： 一个标量函数一个标量函数 的梯度是一个的梯度是一个矢量函数矢量函数。u 函数函数 在给定点沿任意在给定点沿任意 方向的方向导数等于该函方向的方向导数等于该函数的梯度在数的梯度在 方向上的方向上的投影投影。即：。即：ulllegradulu. 在标量场中任一点在标量场中任一点 处的梯度垂直于过该点的等值面。处的梯

23、度垂直于过该点的等值面。且指向函数且指向函数 增大增大的方向。的方向。uM例2：及在点求标量场)1 , 1,2(32M yzxyu .?22梯度方向的变化率求该函数沿上的方向导数在矢量 eeel zyx解：zueyuexuegraduzyx2323)2(yzezxyeyezyxzyxeeegradu331 , 1,2zyxzyxlzyxeeeeeelle eeel 31323232222点沿 方向的方向导数为：l Mu 在函数31)31()3(32)3(32131323233zyxzyxlMeeeeeeegradulu19991332GGGGGGeeeeegraduGuGzyxG沿梯度方向的方

24、向导数即沿梯度方向的变化率：例3： 已知平面方程)2, 0 , 0(, 6326求在点 zyx处该平面的单位法向矢量。解：令标量函数6326zyxu根据梯度性质，等值面的法向矢量应和梯度平行法向矢量应和梯度平行。即uue u ueunn0cos1zyxzyxeeeezueyuexuu3267) 3(26222u曲面6x+2y-3z=6是标量场u的一个等值面u=0，7326zyxneeee7326zyxneeee因平面上各点的单位法向矢量是一样的，故（因平面上各点的单位法向矢量是一样的，故（0 0，0 0，-2-2）点处）点处单位法向矢量为：单位法向矢量为：7326zyxneeee1.4 1.4

25、 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度矢量场图矢量场图矢量线矢量线1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度一、矢量场的矢量线（力线）一、矢量场的矢量线（力线）v矢量线的疏密表征矢量场的大小或强弱；矢量线的疏密表征矢量场的大小或强弱；v矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；1 1、概念：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。 如点电荷产生的电场中的电力线如点电荷产生的电场中的电力线. .矢量线矢量线OM Fdrrrdr意义意义：形象直观地描述了

26、矢量场的空间分布状态。形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。2 2 、矢量线的微分方程：、矢量线的微分方程： 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,设某一矢量函数设某一矢量函数 为：为：F),(),(),(),(zyxFezyxFezyxFezyxFFzzyyxx 由定义由定义: :矢量线上任一点的切向长度元矢量线上任一点的切向长度元 与该点的矢量场与该点的矢量场 平行平行. .Frd0rdFzzyyxxFeFeFeFdzedyedxerd zyx0dxFdyFedxFdzFedyFdzFedzdydxFFFeeerdFyxzzxyzyxzyxzyx 矢径矢径 为：为：rzeyexerzyx000

27、dxFdyFdxFdzFdyFdzFyxzxzyzyxFdzFdyFdx求出通解，就可画求出通解，就可画出矢量线。出矢量线。xyxzyzFdxFdyFdxFdzFdyFdz例：求矢量场例：求矢量场 的矢量线方程。的矢量线方程。xeyeFyx解：矢量场应满足的微分方程为：解：矢量场应满足的微分方程为：zyxFdzFdyFdx xdyydx2222121 0Cyxydyxdx 两边积分即222Cyx是积分常数C矢量线为圆矢量线为圆rFxy0二、二、 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何如何定量定量描述矢量场的大小？描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 1 1、面元矢量、面元矢量

28、面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量； 在空间曲面在空间曲面 S 取任意面元取任意面元dS，取一个与，取一个与面元相垂直的单位矢量面元相垂直的单位矢量 ，则面元矢量可，则面元矢量可表示为：表示为：FSdnedSeSdnne面元矢量面元矢量 取向取向u开开曲面曲面 ：当围绕曲面的边界有取向后，面元正方向规定为，与边界：当围绕曲面的边界有取向后，面元正方向规定为，与边界闭合曲线成右手螺旋关系；闭合曲线成右手螺旋关系；u 闭合曲面：闭合曲面的外法线方向为正方向。闭合曲面：闭合曲面的外法线方向为正方向。nene2 2 、通量：、通量：vsnesq q取垂直水流面取垂直水流面S S，流速，流速，单

29、位时，单位时间流过的体积为定值间流过的体积为定值取斜面取斜面SS，与，与S S面夹角面夹角，计算，计算流量时须将流量时须将S(S(方向为方向为 ) )投影到投影到S S面面( (方向为方向为 ) )，两者夹角为，两者夹角为，此时流量为此时流量为svnenesvsvq qcosq qcosFdSSdF 流过任意曲面上一个流过任意曲面上一个面元面元 的通量的通量FSdq q cosFdSSdFdFSd矢量矢量 穿过面元矢量的通量为标量穿过面元矢量的通量为标量, ,其正、负与面其正、负与面元的元的 取向有关。取向有关。neq 穿过整个曲面穿过整个曲面 S 的通量为穿过各个面元的通量之和：的通量为穿过

30、各个面元的通量之和： 若若S为开表面，则穿过曲面为开表面，则穿过曲面 S的通量为：的通量为： SSnSSdSFdSeFSdFdq q cos 若若S为闭合面，则穿出为闭合面，则穿出 S的通量为：的通量为：SnSSdSeFSdFd F500通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。

31、曲面内产生矢量场的源的关系。闭合曲面通量的物理意义闭合曲面通量的物理意义正通量源负通量源或无源负源正源,穿过闭合面的通量只说明整个闭合面的源的情况，穿过闭合面的通量只说明整个闭合面的源的情况，而不能说明闭合面内每一点的性质，它没有反映面内而不能说明闭合面内每一点的性质，它没有反映面内源在每点处的分布特性。为了研究一个点附近的通源在每点处的分布特性。为了研究一个点附近的通量，我们可以把闭合面缩小，使包含这点在内的体积量，我们可以把闭合面缩小，使包含这点在内的体积。取如下极限：。取如下极限：0V F三、矢量场的散度三、矢量场的散度VSdFSV0limFdiv 散度记作记作1、散度的定义、散度的定义

32、v 散度的意义：表示场中任意一点散度的意义：表示场中任意一点M处，处，通量对体积的变化率通量对体积的变化率，也称为也称为 “ “通量源密度通量源密度”。2、散度的物理意义、散度的物理意义 1) 1) 矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量； 2) 2) 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数； 通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。 散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。 3) 3) 表征该点单位体积内源的强度。表征该点单位体积内源的强

33、度。( ( 无源无源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 负负源源) )( )0divF r 讨论：在矢量场中讨论：在矢量场中 1 1）若）若 ，则该矢量场称为有源场，则该矢量场称为有源场， 为源密度为源密度； 2 2）若）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。处处成立，则该矢量场称为无源场。( ) 0divF r 0rFdiv 3、散度的计算、散度的计算1) 在直角坐标系下：在直角坐标系下：()yxzFFFdivFrxyz()( )xyzxxyyzzeeexyzF rF eF eF e 哈密顿算符哈密顿算符 zFyFxFFFeFeFezeyexezyxzzyyxx

34、zyxrFdiv2) 在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：3) 在球面坐标系下：在球面坐标系下：11()sinreeerrrqqq zFFFFz 11zeeez 1 q qq qq qq q q qFrFrFrrrFrsin1sinsin112255四、四、 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，体积中矢量场的散度的体积分，即即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论散度定理是

35、闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。中有着广泛的应用。VSVFSFdd例：球面例：球面 上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 , zeyexeFzyx求求.SSdF解：根据散度定理解：根据散度定理SVSdFdVF3zFyFxF F F zyx的散度为而.4343333RRdVdVFSdF VVS 2222Rzyx此处球心在原点，球坐标系下求解简便此处球心在原点，球坐标系下求解简便例：已知矢量场例：已知矢量场 ，求由内向外穿过圆锥面，求由内向外穿过圆锥面 与平面与平面 所围曲面的通量。所围曲面的通量。zeyexerzyx222zyxHz yxozH解：解：21

36、SSSSdrSdrSdr 1S2S因在圆锥面因在圆锥面 上上 处处有处处有 垂直于垂直于2Sr,Sd02SSdr 1113SSSHHdxdyzdxdySdr 故dxdyedSeSdzz由于矢量由于矢量 的散度反映了的散度反映了 在该点通量源强度，在该点通量源强度，因此定义散度不为零的矢量场为因此定义散度不为零的矢量场为“有源场有源场”或或“有散有散场场”，而在各点处的散度为零的矢量场为，而在各点处的散度为零的矢量场为“无源场无源场”或或“管形场管形场”。即。即FF)(0)(0无源场管形场有源场有散场FF591.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 一、一、 矢量场的环流与旋涡源矢量

37、场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。60q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场无旋场，又称为又称为保守场保守场。1 1、环流的概念、环流的概念 矢量场沿闭合路径矢量场沿闭合路径C

38、的环流定义为该矢的环流定义为该矢量对闭合路经量对闭合路经C 的曲线积分，即的曲线积分，即q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋有旋矢量场矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋。电流是磁场的旋涡源。涡源。ClzyxFd),(反映矢量场漩涡源分布情况。反映矢量场漩涡源分布情况。FF线线l d61 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环

39、流与电流的关系。 磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 例：求矢量例：求矢量 （c c是常数）沿曲线是常数）沿曲线 的环量。的环量。cexeyeFzyx0)2(222zRyx、RC解：由于在曲线解：由于在曲线 c 上上 z = 0,则则 dz = 0.CCxdyydxldF )(q)cos2(sin20 q qq qRdR q qq q20)sin()cos2(RdR22R qsinRyqcos2 Rxqqqqq202022cos)cos2(sindRRdRqqqq20222cos2)cos(sindRRqq

40、202cos2dRR63二、矢量的旋度二、矢量的旋度 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。 1 1、环流面密度、环流面密度 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限neCSlFSd1lim0称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的

41、的环流面密度环流面密度。特点特点：其值与点其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。neneSCMFne64v 讨论：讨论：neFFS 与 的边界的边界 C 保持一致，保持一致，CldFmax取最大值取最大值l d FFl dM 与 有一夹角 ，则FneCldFmaxne F Cl dF0v 当当 时，即有旋矢量场时，即有旋矢量场 与面元与面元 的法向分量的法向分量 垂直时，环流密度有最大值，此即被称为垂直时，环流密度有最大值，此即被称为 的旋度。的旋度。neFFSneF与 不在同一平面上FSl dF652 2、旋度的定义：、旋度的定义：矢量矢量 的环流密度的最大值的环流密度的最大值。记作Fr

42、otFFrotne方向上的投影在面元矢量是 e Frot FrotnnnCSeFFlFSrotrotd1limn0max0d1limrotCSlFSnFFrotn 是环流面密度取最大值的面元正法线单位矢量是环流面密度取最大值的面元正法线单位矢量n66、 是一个矢量，是空间坐标的函数；是一个矢量，是空间坐标的函数；、其大小是矢量、其大小是矢量 在该点处的最大环流面密度；在该点处的最大环流面密度；、其方向是当面元、其方向是当面元的取向使环流密度最大时该面元的取向使环流密度最大时该面元的方向的方向Sv 讨论：讨论：FrotFn总之，总之，表示了表示了在该点处旋涡源的密度。若某区域各点在该点处旋涡源的

43、密度。若某区域各点处的处的 均等于零，则称均等于零，则称 为为“无旋场无旋场”或或“保守场保守场”。FrotFFrotF67 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系3 3、旋度的计算式旋度的计算式yFxFexFzFezFyFeFrotxyzzxyyzxzyxzyxFFFzyxeeeFzzFFFzeeeF 1 q q q qq q q qq qq qFrrFFrerererFrrsinsinsin1268例：求矢量场例：求矢量场 在在点点 M（1，0，1）处的旋度及沿）处的旋度及沿)()()(xyzezxyeyzxeFzyxzyxeeel362方向的环流密度。方向的环流密度

44、。解：矢量场解：矢量场 的旋度的旋度F)()()(xyzzxyyzxzyxeeeFzyx)()()(xyezxeyzezyx在点在点 M（1，0，1）处的旋度）处的旋度zyxMeeeF269方向的单位矢量 l)362(3621222zyxleeellezyxeee737672在点在点 M（1，0，1）处沿）处沿 方向的环流密度方向的环流密度7177327672lMeFl70旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零0CCfCf)(FfFfFf)(GFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u71矢量分析中的两个重

45、要恒等式：矢量分析中的两个重要恒等式：旋度的散度恒等于零。证明：证明：0)()(FFrotdiv)()()()(yFxFexFzFezFyFezeyexexyzzxyyzxzyx0)()()(yFxFzxFzFyzFyFxxyzxyz 旋度与散度的定义都与坐标系无关。0)(F 72 逆命题也成立，即如果已知一矢量场的散度恒等于零，则逆命题也成立，即如果已知一矢量场的散度恒等于零，则它可以表示成另外一个矢量场的旋度。正是根据这一定理，它可以表示成另外一个矢量场的旋度。正是根据这一定理，我们才由恒定磁场的磁感强度引出矢量磁位的概念。我们才由恒定磁场的磁感强度引出矢量磁位的概念。 由该等式可知，由任

46、何矢量场的旋度所构成的新的矢量场由该等式可知，由任何矢量场的旋度所构成的新的矢量场都是管形场（无散场），而管形场可以表示成一个矢量场函都是管形场（无散场），而管形场可以表示成一个矢量场函数的旋度。数的旋度。应用：应用：FB B 0若73梯度的旋度恒等于零。梯度的旋度恒等于零。证明：证明：0)(ugradurot)()(zueyuexuezeyexezyxzyx0)()()(xuyyuxezuxxuzeyuzzuyezyx 旋度与散度的定义都与坐标系无关。旋度与散度的定义都与坐标系无关。0u 74 逆定理也成立，即如果已知矢量场的旋度等于零，则该矢量场逆定理也成立，即如果已知矢量场的旋度等于零，

47、则该矢量场可以表示成一个标量场的梯度。正是根据这一定理我们才引出了可以表示成一个标量场的梯度。正是根据这一定理我们才引出了静电场的电位函数。静电场的电位函数。 我们已知，旋度为零的矢量场称为保守场，所以任何标量场梯我们已知，旋度为零的矢量场称为保守场，所以任何标量场梯度构成的矢量场都是保守场，而保守场可以表示成一个标量场的度构成的矢量场都是保守场，而保守场可以表示成一个标量场的梯度。梯度。应用：应用：0 E 0 E75三、三、 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线积分与定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分曲面的剖分方向相反大小方向相反大小