定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

1、定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法（一）、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我 们有如下结论1、 若f X是奇函数（即f X f x），那么对于任意的常数a,在闭区间aa,a 上, f x dx 0。a2、若f x是偶函数（即f x f x），那么对于任意的常数a，在闭区间 a,aaa上 f x dx 2 f x dx。a03、 若f x为奇函数时，f x在 a, a的全体原函数均为偶函数；当f x为偶函x数时，f X只有唯一原函数为奇函数即f t dt 0x事实上：设 f X dx f t dt C，其中C为任意常数。0

2、x当f x为奇函数时， f t dt为偶函数，任意常数C也是偶函数f x的全体0x原函数 ftdt C为偶函数;0x当fx为偶函数时，ftdt为奇函数，任意常数C 0时为偶函数xf t dt0C既为非奇函数又为非偶函数,f x的原函数只有唯一的一个原函x数即0 f t dt是奇函数4、若f x是以T为周期的函数（即f T x f x），且在闭区间0,T上连续可ea TT积，那么 f x dx f x dxa0x5、若f x是以T为周期的函数（即f T x f x），那么 f t dt以T为周期 7 0的充要条件是T f t dt 0事实上： f t dt f t dt f t dt f t d

3、t f t dt ,由此可得00x00x TxT0 f tdt 0f tdt 0f tdt。（二）、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的 性质进行计算即可，但要注意积分区间。2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶 函数和的形式，则分开积分会简化计算。3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设p x f x f x ， q x f x f x，则f x 肥空，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。2（三）、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最

4、主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函 数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周 期函数定积分的问题。二、典型例题例1设f x f在 a,a上连续可积，证明:（1）若f为奇函数则af x dxa0（2）若f为偶函数，则x dxa2 f x dx o0证明：（1）因为f x, ax，而 f x dxa0f x dxaf x dxa门 f x dx0a0 fx dxa0 f xdaX 0f x dx对前-项中令aaaatx，贝Ufx dxf t dtfx dxf x dx0000aaa所以 f x dxfx dxf x dx0 .a00(2)因为f x fa0ax

5、而f x dxaaf x dxf x dx0a0a0a0a0a0x dx，对前一项中令Xt相似的f x dxf x dxt dta0 f xdx，所以aaf x dx 2a0x dx .为周期，证a Tf x dxTf x dxx dx。证明：由afx dxf x dxaf x0dxf xTdx，在上式右端取后一个积分中,令xT,a Tt则有fx dxaf T t dtaf t dt0f x dx，T00a，a T0T0T成立即有f:x dxf x dxf x dxfx dxf xdx，aa0a0TTTTTx dx对于T再证 f0x dx2 Tf x dx ,因为 f0x dx2 f x dx

6、0T ft f x dx0T0Ta Ta222T2aTT2x dxT dtT f x所以有t T dt0T2dx,x dxT20dxTT2dxT飞T2f x dx。例3求定积分解：被积函数为偶函数,例4求定积分Ix4x2cosx dx 。x4x2cos x dxx4 x2 cosx dxsin x2 sin115sin xdx，其中n为自然数。解：注意到sinx是偶函数且以 为周期，因此利用性质可以简化计算sin xdx nsin xdxsinx dx 2n 20sin xdx 2n ；sinxdx 2n.例53计算:sinn xcosm xdx （自然数n或m为奇数）2 解：由周期函数积分性

7、质得Inm0 nm .sin xcos xdx nm .sin xcos xdx当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故In,m 0当m为奇数时（设m 2k 1,k0,1,2）时sinn x 1 sin2x dsinx Rsinx其中Ru为u的某个多项式(不含常数项)因此In,m 03例6求定积分.34 x x sin x i dx 。4 x 2 d si nt1解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故.3.4 x x sin x , dx 04 x2125例7求定积分匸2鬥烽dx。2 x2 dx22.4 x2252 x cosx .dx，2 24 x2因为5x cosx24 x2是奇函数，而

8、24 x2是偶函数，所以2I=2dx0 24 x22=2 0 24 x2dx6求定积分I= x043 arctan x 3 dx6 4x 3 arctan03 dx3t4arctantdt因为4f x x arctanx 疋奇日主函数所以I 0例9求定积分1=xsin x2 dx。0 1 cosx0 1 sint解：令x则dx dt，因为x0,，所以tcost21 sinLcost ,2 詁 sint2 t2 _21羊dtsin t23 cost ,0 1 sint2 t2arctan sint 0例10求定积分，=：n(xV2； x2分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶

9、函数的性和一个偶质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f(x)=山丄x函数u(x)=駅之和。解:1 ln(x1,1 x2) x21dx =1 ln (x .1 x2) x23dx +1pdx1x23=0 21 x20Fdx3=21o(13)dxarcta 门卓0J3111求定积分匸212(：1 4x21 xcos in )dx 。1 x分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到1 xf x cosln为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而1 xx2在鳥上积分恰好是以原点为圆心半径为1的上半圆周面积,21s=-2(1)2=-2 81解：匸 21 (. 1

10、4x22cosin11与dxx1午 1 4x2 dx2121 cosin2dx1 x1V124x2dx4 x2dx = 22例12设f在 a,a0上连续，证明x dxao【fx dx ,1一dx并由此计算4才1 sinx解：若记p x f x,显而易见p x为偶函数,q x为奇函数，而且fa1 af x dxp x dxa2 a利用上述公式可得沁.所以有2aaq x dx p x dxa0a0【fx dx1 1 1 2 24dx 4 dx 42dx 2 4 sec xdx 2tanx/241 sinx0 1 sinx 1 sinx0 cosx02例 13 求定积分 I= 2x ln(1 ex

11、)dx。分析：此题的积分区间2,2关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想我们可以将x 为奇函到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道u x数，而w x!f x2x为偶函数解：u xxxln 12exxln 1 exln2I xln 12ex dx22【xln 1 ex2dx22xln 12dxSdx220 20例14求定积分I1 2, 8x dx -23nn 0xsin xdx 其中 n N分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。令 n x t 则 dx dtnIn 0

12、xsin xdxnn t sin0t dtnt sin t dt0sin t dtxsi nxdx nn0sin xdx移向得：2I n n2sin xdx n20sin xdx 2n2所以In n2例15求定积分x sin x dx2x sin xdx 2o xsin xdxsin xdxJxsi nxdx sinxdx 2xcosx sinx。22例16求定积分Idx_0 22722- dx0 a sin x b cos x解：注意到被积函数是以为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算23.2 xsin2 x cos2 xdx2322x cos xdx 22 sinxcos2 xd

13、x02 空sin20x1 sin2 xdx2222 ?sin224xdx 2 2sin xdx008例18证f x是以T为周期的周期函数,则nTf x dx0Tn f x dx0。证明：.rnTn 1 k 1 Tk1 TT因为f x dx0f x dxkT故只需证明kTkTf x dxf x dx0k 0dx,dx0 2 2 2 20 a sin x b cos x三dx dx2 a2 sin2 x b2 cos2 x2 2 d tanx20 b722 dxa tan x2 2d ta nx厶02ab 1 ata nxb2a3 0arcta n tanx (2abb0ab例17求定积分2 x3

14、2sin2 x cos2 xdx。解：注意到是对称区间,函数可以应用定积分的奇偶性来计算由题设可知fx f x kT现令x t kT ,当x kT时，t 0 ；rrk 1TTT,当 x k 1 T 时，t T 且 dx dtf x dx ft kT dt f t dt 所以有kT00nTn 1 TTx dxf x dx n f x dx0 0 0k 0例19设f x是以 为周期的周期函数，证明2sin x0x f x dx2x0f xdx。分析：2sin x0x f x dx2x0f x dx等价于sin x0x f xdx2所以2sin xx f x dx2x0f x dxsinx x f

15、xdx =x0sin x f x2dx即sin u uf u dux0sin xf x dx由题设f x n f x 可令 u x证明：2sin x x f x dx02 2sin x0x f x dxsin xx f x dxsin x0x fx dxsin u u 1f u du令u x，则2sin uu f u dusin xxf xdxxsin xf x dx2000sin xx f x dxsin x0x f x dx0xsin xfx dxf x dx0 2x例20设函数s xcost dt(1)当n为正整数，且时，证明2n s x 2 n 1 ；求lim x x证明：(1)因为c

16、osx，所以xcosxdx 0积分值相等:cosxdxcos x dxcosxdx，又因为具有周期，在长度的积分区间上cosxdx，从而cosxdx n ocosxdxn 2 cosxdx cosxdx n 11 2n0 -2n 1同理可得到cosx dx 2n 10由(1)有 2ns x2 n 1当n去极限 由夹福定理得(2)由(l)有当去极限，由夹逼定理得 得,n 1xns x2limxx例21设函数f x在，上连续，X而且 F xx 2t f t dt 00证明：(1)若f x为偶函数，则F x也是偶函数；若f x单调不减，则F x单调不减(1)证明：令tu，贝Uxu du x 2u f

17、 u du F x0xxF xx 2t f t dt x 2u0 0故F x为偶函数。(2)由于被积函数连续，所以F x可导，且xxxxf xxf tdt2tf t dtof t dt x 2x f xoot dt xf xf x dt 0 ,因此F x在上单调不减例22设f x在x上连续，以T为周期，令F x o f t dt，求证:x是以T为周期的(1) F x 一定能表成：F x kx x，其中k为某常数,周期函数；1 x1 T lim f t dtf x dx ；x x 0T 0若有fx 0 x ,，n为自然数，则当nT x n 1T时，有TxTn f x dx f t dt n 1

18、f x dx。000证明：(1)即确定常数k，使得 x F x kx以T为周期，由于T因此，取1 Tk ?0ftdt，x Fx kx，则x是以T为周期的周期函数。此时F x1 TT 0f t dt xxxft dtX T-f t dtx.且x在,上连续并以T为周期，于是0T 0x在x在 0,T有界在,也有界。因此x一 T“ T1111limft dtf t dtlimxf t dtx x0T 0xxT 0因f x 0，所以当nTxn1T时，TnTxn1 TTn f tdtft dtf t dtf tdtn1 f t dt00o0o例23设f x是上的连续函数，试运用周期函数性质证明000acosx bsin x dx2 2 f . a2 b2 sinxdx。2证明：因为acosxbsin x a2 b2 sin x2f acosx bsin x dx-.a2b2 sin x，其中 tan :，令x t， dxf . a2 b2 sin t dtf、a2 b2 sin td2 f .a222b sin t dt22 t，则 2a2 b2 sint dt0f .a2b2sint dt，所以左端b2 sin x dx