全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

1、2007 年全国高中数学联赛天津赛区预赛（含详细答案）年全国高中数学联赛天津赛区预赛（含详细答案）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 6 分，共分，共 36 分）分）1方程的实数解的个数为（）6)5)(2()4)(1(33xxxxa0 b1 c2 d大于 22正 2007 边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角pp形，则锐角三角形的个数为（）a0 b1 c大于 d与分割的方法有关3已知关于参数（）的二次函数（）的a0aaaaxaaxy414131222rx最小值是关于的函数，则的最小值为（）a)(af)(afa2 b c d以上结果都不对64137414已知为正

2、整数，实数满足，若的最大值ba,ba yx,)(4byaxyxyx 为 40，则满足条件的数对的数目为（）),(baa1 b3 c5 d75定义区间，的长度均为，其中已知实数，),(dc),dc,(dc,dccd cd ba 则满足的构成的区间的长度之和为（）111bxaxxa1 b c d2ba ba 6过四面体的顶点作半径为 1 的球，该球与四面体的外接球相切于点，且abcddabcdd与平面相切若，则四面体abc32ad45cadbad60bac的外接球的半径为（）abcdra2 b c3 d2232二、填空题（每小题二、填空题（每小题 9 分，共分，共 54 分）分）7若关于的方程组有

3、解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为yx,10122yxbyax),(ba_8方程的所有正整数解为_2007322 yx9若是边长为 1 的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，dabcbcabcacd1r，若，则满足条件的点有两个，分别设，则之间的距离为2r5321 rrd21,dd21,dd_10方程的不同非零整数解的个数1)9(9)4(4) 1(132)9)(4)(1()9)(4)(1(33333333xxxxxxxxxxxx为_11设集合，其中是五个,54321aaaaaa ,2524232221aaaaab 54321,aaaaa不同的正整数，若中所有元54321aaaaa

4、,41aaba1041 aaba素的和为 246，则满足条件的集合的个数为_a12在平面直角坐标系中定义两点，之间的交通距离为),(11yxp),(22yxq若到点，的交通距离相等，其中实数|),(2121yyxxqpd),(yxc)3 , 1 (a)9 , 6(b满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为_yx,100 x100 yc三、论述题（每小题三、论述题（每小题 20 分，共分，共 60 分）分）13已知的外心为，为的外接圆上且在内部的任意一点，abco90apobcabc以为直径的圆分别与，交于点，分别与或其延长线交于点oaabaced,oeod,pcpb,，求证三点共线gf,gfa

5、,14已知数列（）满足，对于所有正整数，有na0n00a11an，求使得成立的最小正整数1120072nnnaaana|2008n15排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣nn小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少） ，每名教师尽可能多选学生对于学生所有可能的排序，求的最小值n参考答案一、选择题（每小题一、选择题（每小题 6 分，共分，共 36 分）分）1方程的实数解的个数为（ ） 。3314256xxxx 大于 0a 1b 2c d2答答

6、选。a设，则，因此3314 ,25axxbxx336,6abab，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式221abab353ab , a b235603tt，无解，所以选。3203 a2正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是2007pp三角形，则锐角三角形的个数为（ ） 。 大于 与分割的方法有关 0a 1b c1 d答答 选。b只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，所以只有一个，选。2007ob3已知关于参数的二次函数的最0a a 222111344yaxa xaaxra小值是关于的函数，则的最小值为（ ） 。a f a f a 以上结果都不对 2a 13764

7、b 14c d答答 选。a当时，的最小值为，其中。因为对称轴为212axa y 211144f aaa01a，所以当时的最小值为，选。118a 1a f a2a4已知为正整数，实数满足，若的最, a bab, x y4xyxaybxy大值为，则满足条件的数对的数目为（ ） 。40, a b 。 1a 3b 5c 7d答答 选。c 因为，所以，2222uvuv44 2xyxaybxayb于是有，因此。由于232320 xyxyab164 162xyab，得，其中的最大值当，164 16240ab10abxy1402xba时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。1402yabab, a b

8、5c5定义区间的长度均为，其中。已知实数， ,c dc dc dc ddcdcab则满足的构成的区间的长度之和为（ ） 。111xaxbx 1a b ab c ab 2d答答 选。d原不等式等价于。21xabxaxb当或时，原不等式等价于。设xaxb220 xabxabab，则。设 22f xxabxabab 0,0f abaf bab的两个根分别为，则满足的构成的区间为，区间的 0f x 1212,x xxx 0f x x2, a x长度为。2xa当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。bxa 0f x x1, b x1xb由韦达定理，所以满足条件的构成的区间的长度之和为122xxa

9、bx，所以选。2122xaxbababd6过四面体的顶点作半径为 的球，该球与四面体的外接球相切于点，abcdd1abcdd且与平面相切。若，则四面体abc2 3,45 ,60adbadcadbac 的外接球的半径为（ ） 。abcdr 2a 2 2b 3c 2 3d答答 选。c过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，垂足为，dabchdeabedfacf则，且有。由于，则,heab hfaccos456aeafad aehafh，因此为半径为 的球30hae2 2cos30aeah 222dhadahdh1的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有abcdodh，解得。22222 2r

10、r3r 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 9 分，共分，共 54 分）分）7若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数, x y221,10axbyxy, a b目为 。答答 。32因为的整数解为2210 xy， 1,3 , 3,1 , 1, 3 ,3,1 ,1,3 , 3, 1 ,1, 3 ,3, 1 所以这八个点两两所连的不过原点的直线有条，过这八个点的切线有条，每条直线确定了248唯一的有序数对，所以有序数对的数目为。, a b, a b328方程的所有正整数解为 。2232007xy答答 。42,9xy因为，所以。设，类似的可得 20,1 mod3 ,20070 mod

11、3a 0 mod3x 13xx。设，则原方程化为，即。0 mod3y 13yy22113223xy11223x1114x因为，所以。又因为，所以为偶数，于是2231 mod311 mod3x 2233 mod41x，经验证，所以。12,4,8,10,14x 1114,3xy42,9xy或由，得，又因为为奇数，所以经验证。1223 113y118y1y113,14yx9若是边长为 的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别d1abcbcabdacd为，若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离12,r r1235rrd12,d d12,d d为 。答答 。65设，由余弦定理得。一方面，另一方

12、面，bdx21adxx1322abdsx ，解得。同理可得211112abdsxxxr213116rxxx。从而有。当时，有223216rxxx21233216rrxx12x 12rr最大值，且最大值为，所以。由于，所以3121233162rr1235rr。设两个根分别为，则。2190100 xx12,x x2121212645xxxxx x10方程的不同非零整数解33333333149214911493149xxxxxxxxxxxx的个数为 。答答 。4利用，原方程3322ababaabb333333331492149111101493149xxxxxxxxxxxx 等价于。32224949

13、0149149xxxxxxxxxxx方程两端同除，整理后得。再同除，得x42982883850 x xxxx。222316240 xx即，从而有22676550 xxxx。715110 xxxx经验证均是原方程的根，所以原方程共有个整数根。12347,1,5,11xxxx 411设集合，其中是五个222221234512345,aa a a a abaaaaa12345,a a a a a不同的正整数，若中所有元素的和123451414,10aaaaaaba aaaab为，则满足条件的集合的个数为 。246a答答 。2因为，所以。由于中有，因此中有。若，则，211aa141,9aab9a333

14、a 22a 于是，无正整数解。若，由于，所以，于是255146aa23a 51011a225aa。又因为，当时，；当时，因此223355152aaaa34a 510a 36a 511a 34a 满足条件的共有个，分别为。a21,3,4,9,11 , 1,3,6,9,1012在平面直角坐标系中定义两点之间的交通距离为1122,p x yq xy。若到点的交通距离相等，其中实数1212,d p qxxyy,c x y1,3 ,6,9ab满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为 。, x y010,010 xyc答答 。521由条件得。1369xyxy当时，无解；1,9xy当时，无解；16,9xy当

15、时，无解；6,9xy当时，线段长为 。1,39xy8.5y 1当时，线段长为。16,39xy9.5xy5 2当时，线段长为。6,39xy3.5y 4当时，无解。1,3xy当时，无解。16,3xy当时，无解。6,3xy综上所述，点的轨迹构成的线段的长之和为。c1 5 24521三、论述题（每小题三、论述题（每小题 20 分，共分，共 60 分）分）13已知的外心为，为的外接圆上且在内部的任意abco90a pobcabc一点，以为直径的圆分别与交于点， 分别与或其延长线交oa,ab ac,d e,od oe,pb pc于点，求证三点共线。,f g,a f g证明证明 连，与交于点，由于，因此是等

16、腰三角形，所以agbpfoeaegac,，于是可得gacgca 2 bacbocbpcbacgcapba ，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是pbabag fabodadfab有，即三点共线。ff ,a f g14已知数列满足，对于所有正整数，有 0nan 010,1aan，求使得成立的最小正整数。1122007nnnaaa2008nan解法一解法一 设，的特征方程为，特征根2008m 1122007nnnaaa2220070为，结合，得。由二项式定理得1m010,1aa 1112nnnammm。 2200112kknnkkknnnkkac mc mm当为奇数时，；n3113222n

17、nnnnnnnnacc mcmc m当为偶数时，。n42133122nnnnnnnnnacc mcmcm于是，即，所以满足条件的最小正整数为。1nnm am c2008 n2008解法二解法二 下面都是在模意义下的,则,即,因此2008na112nnnaaa11nnnnaaaa数列在模意义下具有等差数列的特点。又因为，所以。于是有 na2008010,1aanan，因此满足条件的最小正整数为。2008 n200815排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个10nn兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加

18、或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的） ，每名教师尽可能多选学生，对于学生所有可能的排序，求的最小值。n解解 的最小值为。n4若，不妨假设这名学生生日的月份分别为，当学生按生日排序为3n 101,2,10时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名，由于这两名学生生日4,3,2,1,7,6,5,9,8,10的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。下面先证明：对于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数12,ma a