第四节高斯(Gauss)求积公式

1、数值分析数值分析 前面介绍的前面介绍的 n+1个节点的个节点的 Newton -Cotes求积公式，求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。的精度。 n是偶数时，是偶数时，代数精度为代数精度为n+1， n是奇数时，是奇数时，代数精度为代数精度为n 。 我们知道我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于确度不低于n 。设想：设想：能不能在区间能不能在区间a,b上适当选择上适当选择n+1个节点个

2、节点 x 0 x1,x2,xn ,使插值求积公式使插值求积公式的代数精的代数精度高于度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。第四节第四节 高斯高斯(Gauss)(Gauss)求积公式求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析0()( ) ( )()nbkkakI fx f x dxA f x 考虑更一般形式的数值积分问题考虑更一般形式的数值积分问题定义：定义：若求积公式若求积公式 对一切对一切不高于不高于m次的多项式次的多项式p(x)都等号成立，

3、即都等号成立，即R(p)=0;=0;而对而对于某个于某个m+1+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为代数精度为m. .0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x 一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析数值分析数值分析数值分析定理定理1：设节点设节点x0, x1,xna,b，则求积公式，则求积公式 的的代数精度最高为代数精度最高为2n+1次。次。0( )( )()nbkkakx f x dxA f x 分别取分别取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并让其成为代入公式，并让其成

4、为等式，得：等式，得： A0 + A1 + + An =ab1dx.= b-ax0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 .x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)( )1,x 取取特特殊殊情情形形证证明明：数值分析数值分析数值分析数值分析 事实上事实上,取取 2n+2次多项式次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求积公式代入求积公式,这里这里 x0, x1,xn是节点，是节点，有有0( ) ( )0()0nbkkakx g x dxA g x 左左，右右左

5、左 右右,故等式不成立故等式不成立,求积公式求积公式的的代数精度最高为代数精度最高为2n+1次。次。 证毕证毕. 上式共有上式共有 r +1个个 等式，等式，2n+2个待定系数个待定系数(变元变元),要想如要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是这样导出求积公式的代数精度至少是2 n+1,下面下面证明代数精度只能是证明代数精度只能是2n+1. 数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义: 使求积公式使求积公式达到最高代数精度达到最高代数精度2n+1的求积公式称为的求积公式称为Gu

6、ass求积公式。求积公式。Guass求积公式的节点求积公式的节点xk称为称为Guass点点,系数系数Ak称为称为Guass系数系数.0( )( )()nbkkakx f x dxA f x 因为因为Guass求积公式也是求积公式也是插值型插值型求积公式求积公式,故有故有结论结论: n+1个节点的个节点的插值型插值型求积公式的代数精度求积公式的代数精度 d 满足满足： n d 2n+1。数值分析数值分析数值分析数值分析111221( )()()(1)f x dxc f xc f x 例：例：选择系数与节点，使求积公式（选择系数与节点，使求积公式（1） 成为成为Gauss公式。公式。解：解：n=1

7、, 由定义，若求积公式具有由定义，若求积公式具有3次代数精度，则次代数精度，则 其是其是Gauss公式。公式。 为此，分别取为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让代入公式，并让 其成为等式，得其成为等式，得c1 + c2=2c1 x1+ c2 x2=0c1 x12+ c2 x22 =2/3c1 x13+ c2 x23 =0求解得：求解得：12121,33,33ccxx 1133( )()()33f x dxff 所求所求Gauss公式为：公式为：(1) 用待定系数法构造高斯求积公式用待定系数法构造高斯求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析 设设Pn(x)，n=0,1,2

8、,为正交多项式序列，为正交多项式序列， Pn(x)具有如下性质：具有如下性质：1）对每一个）对每一个n ,Pn(x)是是 n 次多项式。次多项式。 n=0,1,2）( )( )( )0,()bijax P x Px dxij (正交性正交性)( )( )( )0,1bnax P x Px dxn 3）对任意一个次数）对任意一个次数n-1的多项式的多项式P(x)，有，有4）Pn(x)在在(a,b)内有内有n个互异零点。个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析定理定理2 设设x0,x1, ,xn 是是n+1次正交多项式次正交多

9、项式Pn+1(x)的的n+1 个零点个零点,则插值型求积公式则插值型求积公式是是Guass型求积公式。型求积公式。证明：证明：只要证明只要证明求积公式的代数精确度为求积公式的代数精确度为2n+1,即即对对任意一个次数任意一个次数2n+1的多项式的多项式求积公式求积公式都精确成立。都精确成立。00( ) ( )(),( )nnbbikkkaakikii kxxx f x dxA f xAxdxxx 设设 f(x)为任意一个次数为任意一个次数2n+1的多项式，则有的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足，满足 f(xk)=r(xk)这里，这里， Pn+1(x)是是 n+1次

10、次正交多项式，正交多项式， q(x)、r(x)均是均是次数次数n的多项式。的多项式。1( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )bbbnaaax f x dxx q x Px dxx r x dx 数值分析数值分析数值分析数值分析由性质由性质3）及）及(4)式，有式，有11( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )0( ) ( )()bbbnaaanbkkakx f x dxx q x Px dxx r x dxx r x dxA f x 由于由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于于n，故有，故有00( ) ( )()()(4)nn

11、bkkkkakkx r x dxA r xA f x 即即对对 f(x)为任意一个次数为任意一个次数2n+1的多项式的多项式求积公式求积公式都都精确成立精确成立。 证毕证毕数值分析数值分析数值分析数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：的基本步骤：高高斯斯点点），作作为为积积分分点点次次正正交交多多项项式式的的零零点点以以(,1. 110nxxxn niiinxfxlxfLagrangexfxxx010)()()()(,.2插插值值多多项项式式作作对对用用高高斯斯点点代入积分式代入积分式)()()() )()()()()(00inibaibaniiiba

12、xfdxxlxdxxfxlxdxxfx 因此，求积系数为因此，求积系数为 baiinidxxlxA), 1 , 0()()( 数值分析数值分析数值分析数值分析1211( ),.xf x dx 对对于于积积分分 （）试试构构造造两两点点高高斯斯求求积积公公式式例例 21 11xx 首首先先在在， 上上构构造造带带权权（ ）的的解解：正正交交多多项项式式0120110( ),( ),( ).( )1( )()( )xxxxxxxx 0)1()1()(),()(),(11211200001 dxxxdxxxxxxx 52)(22 xx 同同理理求求出出20122(),55xxx 的的 零零 点点 为

13、为数值分析数值分析数值分析数值分析20122( ),55xxx 以以的的零零点点作作为为高高斯斯点点。其其成成为为等等式式。依依次次代代入入上上式式两两端端，令令将将形形如如次次代代数数精精度度，求求积积公公式式应应有有两两点点高高斯斯公公式式xxfxfAxfAdxxfxn, 1)()()()()1(3, 11111002 )52()52()1()1(1011210112AAxdxxAAdxx 3410 AA联联立立解解出出 )52()52(34)()1(112ffdxxfx为为得得到到两两点点高高斯斯求求积积公公式式数值分析数值分析数值分析数值分析常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式1.Ga

14、uss - Legendre 求积公式求积公式 (1)其中其中高斯点为高斯点为Legendre多项式的零点多项式的零点 110()()nkkkfx dxAfx Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询都有表可以查询.数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析110( )()nkkkf x dxA f x 110,( )2 (0)nf x dxf 111( )( 0.5773502692)(0.5773502692)nf x dxff 112( )0.555555556 ( 0.7745966692)0.888888889 (0)0.555555556 (

15、0.7745966692)nf x dxfff 数值分析数值分析数值分析数值分析11:1.5xdx 运运用用三三点点高高斯斯- -勒勒让让德德求求积积公公式式与与辛辛卜卜生生求求积积公公式式计计算算积积分分例例111.50.555556( 0.7254032.274596)0.888889 1.52.39970:9xdx 由由三三点点高高斯斯- -勒勒让让德德求求积积公公式式有有解解1111.5( 0.54 1.52.5)2.3957423xdx 由由三三点点辛辛卜卜生生求求积积公公式式有有111.52.399529xdx 该该积积分分的的准准确确值值数值分析数值分析数值分析数值分析一般区间的

16、一般区间的Gauss - LegendreGauss - Legendre 求积公式求积公式 如果积分区间是如果积分区间是a,b，用线性变换，用线性变换 11( )()222bababaabf x dxftdt 这样就可以用这样就可以用Gauss - LegendreGauss - Legendre求积公式计算一求积公式计算一般区间的积分般区间的积分.将积分区间从将积分区间从a,b变成变成-1,1,由定积分的换元积由定积分的换元积分法有分法有22baabxt 数值分析数值分析数值分析数值分析11( )( 0.577)(0.577)GaussLegendreF t dtFF 由由两两点点求求积积

17、公公式式100101100110( )1,( )()()f x dxnGaussLegendreGaussxxA Af x dxA f xA f xGauss 对对积积分分， 试试利利用用的的两两点点求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。例例即即确确定定和和使使为为型型求求积积公公式式。1110111111()()(1),2222111( )( (1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtF t dt 先先作作变变量量代代换换于于是是解解：1101111111( )( (1)( (1 0.577)( (1 0.577)222222f x dxft dtff 得得数值

18、分析数值分析数值分析数值分析111012301231( )( )( )( )( )( )F t dtGaussLegendreF t dtA F tA F tA F tA F t 对对积积分分用用四四点点求求积积公公式式10012301231001122330( )3,( )()()()()f x dxnGaussLegendreGaussxxxxA A A Af x dxA f xA f xA f xA f xGauss 对对积积分分， 试试利利用用的的四四点点求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。即即确确定定和和使使为为型型求求例例积积公公式式。1110111111()()(1),

19、2222111( )( (1)( )222xabba ttdxdtf x dxft dtF t dt 先作变量代换先作变量代换于是于是解：解：数值分析数值分析数值分析数值分析,(0,1,2,3)iitAi 可查表得到 和可查表得到 和原积分原积分110101230123012012331( )( )21( )( )( )( )21111( (1)( (1)( (1)22221( (1)211(1)0,1,2,322iiiif x dxF t dtA F tA F tA F tA F tA ftA ftA ftA ftxtAAi 即有即有数值分析数值分析数值分析数值分析10( )0.173927

20、 (0.069432)0.326073 (0.330009)0.326073 (0.669991)0.173927 (0.930518)f x dxffff 于于是是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitAxA 列表如下：列表如下：11(1)0,1,2,322iiiixtAAi数值分析数值分析数值分析数值分析例例 利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算解解:

21、 令令x=1/2 (1+t), 则则用用高斯高斯-Legendre求积公式计算求积公式计算.取取n=4 积分精确值为积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的由此可见，高斯公式精确度是很高的.101dxx 110113dxdtIxt 0.69314719I 数值分析数值分析数值分析数值分析例例:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较各种做法比较如下：各种做法比较如下：1、用、用Newton-Cotes公式公式当当n=1时，即用梯形公式，时，即用梯形公式，I0.9270354当当n=2时时, 即用即用Simpson公式公式, I

22、0.9461359当当n=3时时, I 0.9461090当当n=4时时, I 0.9460830当当n=5时时, I 0.946083010sinxIdxx I准准=0.9460831=0.9460831数值分析数值分析数值分析数值分析 10sin(0)2( )(7 )(1)20.94569086xhdxff hfhfx 2:用复化梯形公式用复化梯形公式 令令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式：用复化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 10sin(0) 4( )(7 )2(2 )(6 )(1)30.9460833xdxxhff hfhfhfhf I准准=0.9460831数值分析

23、数值分析数值分析数值分析4、用用Romberg公式公式K Tn Sn Cn Rn0 0.9207355 1 0.9397933 0.94614592 0.9445135 0.9460869 0.94008303 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I准准=0.9460831数值分析数值分析数值分析数值分析1sin(0.77459071)20.55555560.77459071I 5、用、用Gauss公式公式解：解：令令x=(t+1)/2, 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.

24、0(21sin I1sin20.888888901 1sin(0.77459071)20.55555560.94608310.77459071 11sin(1)/ 21tIdtt I准准=0.9460831（2）用）用3个节点的个节点的Gauss公式公式（1）用）用2个节点的个节点的Gauss公式公式数值分析数值分析数值分析数值分析算法比较算法比较n此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831.n由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知：n对对Newton-cotes公式，当公式，当n=1时只有时只有1位有效位有效数字，当数字，当n=2时有时有3位有效数字，当位有效数字，当n=5时有时

25、有7位有效数字。位有效数字。n对复化梯形公式有对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜位有效数字，对复化辛卜生公式有生公式有6位有效数字。位有效数字。n用复合梯形公式，对积分区间用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了二分了11次用次用2049个个函数值，才可得到函数值，才可得到7位准确数字。位准确数字。n用用Romberg公式对区间二分公式对区间二分3次，用了次，用了9个个函函数值，得到同样的结果。数值，得到同样的结果。n用用Gauss公式仅用了公式仅用了3个个函数值，就得到结果。函数值，就得到结果。数值分析数值分析数值分析数值分析2.Gauss-Chebyshev2.Gauss-Chebys

26、hev公式公式1120( )()1niiif xdxA f xx (0)(0,1,)121cos(0,1, )2(1)iix innChebychevixinn 其其中中是是阶阶多多项项式式的的零零点点(0,1, )1iAinn 求求积积系系数数是是 21( ),1,11xxx 权权常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析3.Gauss-Laguerre3.Gauss-Laguerre公式公式00()()nxiiiefx dxA fx 000000( )( )( )( )()()( )xxxnxiiiif x dxf x dxee f x dxeF x dxA F

27、xF xe f x 求求某某一一个个无无穷穷区区间间，上上的的积积分分, ,其其中中( (1 1) ) 95,( ),0,.xxex 积积分分点点和和求求积积系系数数查查表表权权()00 ,)(0)( ), ,)0,)( )()()xaxa tataaaef x dxxatxatGaussLaguerreef x dxef at dteef at dt 对对区区间间上上的的积积分分，通通过过变变量量代代换换将将变变为为，再再用用求求积积公公式式计计算算(2)(2)积积分分数值分析数值分析数值分析数值分析4.Gauss-Hermite4.Gauss-Hermite公式公式20( )()(0,1,

28、 )96nxiiiiief x dxA f xxA in 同同前前，求求积积分分其其中中，积积分分点点 和和求求积积系系数数可可查查表表数值分析数值分析数值分析数值分析 (22)0(22)211011( ),( ) ( )()( )( )( )( )(22)!( , ),( )()()3)nnbkkaknbnannfxa bx f x dxA f xfR fx wx dxna b wxxxxxxx （）若若在在上上连连续续，则则高高斯斯求求积积公公式式的的截截断断误误差差为为：其其中中定定理理 ：0121212121,( )21( ),()()(0,1, )()()(0,1, )nnniini

29、innxxxf xHermitenHxHxf xinHxfxin 因因为为 阶阶高高斯斯求求积积公公式式有有次次代代数数精精度度，因因此此，用用点点对对作作插插值值，得得到到次次插插值值多多项项式式并并且且满满足足：证证明明：二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析数值分析数值分析数值分析已知已知HermiteHermite插值误差是插值误差是(22)2210(22)2210( )( )( )()(22)!( )( ) ( )( )( )( )()(22)!nnniinnbbbniaaaiff xHxxxnfx f x dxx Hx dxxxxd

30、xn 因为对因为对2n+12n+1次多项式求积公式准确成立，即次多项式求积公式准确成立，即 niiiniinibanxfAxHAdxxHx001212)()()()( 代入上式代入上式 baniinniiibadxxxxnfxfAdxxfx02)22(0)()()!22()()()()( 即有即有 babaniinniiidxxxxnfxfAdxxfxfR02)22(0)()()!22()()()()()( 数值分析数值分析数值分析数值分析以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正( ) ( )0biiaAx l x dx 即即：022220( ) ( )()( )( )( )2,( ) ( )()bnkkkaiibnik ikikax f x dxA f xf xlxlxnx lx dxA lxA 在在高高斯斯求求积积公公式式中中，取取，为为次次多多项项式式，求求积积公公式式等等式式成成立立2( ) ( )( )( )0bbiiiaaAx lx dxx lx dx 0( )1,( )bnkkaf xx dxA 取取有