多元函数积分学5

1、8.5 第一类曲线积分第一类曲线积分 ( (对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分) )一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM M的近似值的近似值M的精确值的精确值取近似取近似非匀质之质量？非匀质之质量？线密度线密度弧弧长长二、第一类曲线积分的概念二、第一类曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiin

2、sfsfisinLMMMLLyxfxoyL并并作作和和作作乘乘积积点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的

3、最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 1). 存在条件：存在条件：.),(,)(),(存存在在对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分时时上上连连续续光光滑滑曲曲线线弧弧分分段段在在当当 LdsyxfLyxf2). 推广推广曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 说明：说明：)(,)().321LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若 .),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfds

4、yxf.),(),().4 LdsyxfLyxf曲曲线线积积分分记记为为上上对对弧弧长长的的在在闭闭曲曲线线函函数数2. 性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL BAABdsyxfdsyxf),(),()4(线线走走向向无无关关。对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分与与曲曲三、对弧长曲线积分的计算方法定理定理)()()()(),(),(, 0)()(,)(),()(),(),(,),(2222 dtt

5、tttfdsyxfttttttytxLLyxfL则则有有且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限的的。是是定定义义在在曲曲线线即即而而是是相相互互有有关关。不不彼彼此此独独立立中中Lyxfyxyxf),(,),(. 2特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba dtttttfdsyxfL )()()(),(),(22推广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()

6、()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 四、几何与物理意义,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 例例1).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sinc

7、os dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab xyo例例2)20(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka dkaka222sincos 20I Lndsyx)(22 20222222)cos()sin()sincos(dttatatatan解解 2012dtan122 na 例例4.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsILxy42 解解dyyyI222)2(1 . 0 解解 102)1(1)1()(dxxxxdsyxL 102)1(dxxx2 11xdxL xdxxdxLL 21 解解 1021022)(1)(1dxxxdxxx 10102241xdxdxxx)12655(121 xyo