对面积的曲面积分(28)课件

1、对面积的曲面积分(28)对面积的曲面积分(28)2第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分求质量 m .引例引例: : 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx采用“分割分割, , 近似近似, , 求和求和, , 取极限取极限” 的方法，kkkkS),( 可得nk 10 limm),(kkkzyxo一一. . 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分(28)3定义定义: :设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域上任意取点, “乘积乘积和式极限和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,则称

2、此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面对面积的积的曲面积分曲面积分或第一类曲面积分第一类曲面积分.dSzyxf),(记作记作其中 f (x, y, z) 叫做被积函数被积函数, 叫做积分曲面积分曲面. 据此定义,曲面形构件的质量为dSm ),(zyx曲面面积为dSSdSzyxf),(,记记为为闭闭曲曲面面若若对面积的曲面积分(28)4 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 上连续连续, 则对面对面积的曲面积的曲面积分存在积分存在. 如果 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面,21则有dSzyxf),(1dSzyxf),(2dSzyxf),(对面积对面积的曲面积分与对弧长对弧长的

3、曲线积分有类似的性质.dSzyxgzyxf),(),(（k 为常数)dSzyxfkdSzyxfk),(),(dSzyxgSdzyxf),(),(对面积的曲面积分(28)5zyxoyxD定理定理: 设光滑曲面 由方程 z = z (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为,yxDf (x, y, z) 在 上连续 ,存在, 且有Sdzyxf),(yxDyxf),(Sdzyxf),(),(yxzydxdyxzyxzyx),(),(122二二. . 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法给出 ,则曲面积分证明证明: : 由定义知Sdzyxf),(kkkkSf),(nk 10lim而kSdy

4、dxyxzyxzyxkyx)(22),(),(1),(kkk对面积的曲面积分(28)6Sdzyxf),(kSdydxyxzyxzyxkyx)(22),(),(1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122ydxdyxzyxzyxfyxDyx),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfkkkkSf),(nk 10lim对面积的曲面积分(28)7计算公式计算公式: :;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:

5、. 1yxzz 若曲面若曲面则则:类似可得类似可得对面积的曲面积分(28)8;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则。为为闭闭曲曲面面，可可分分块块求求之之、若若4),(:. 2zxyy 若若曲曲面面对面积的曲面积分(28)9 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy对面积的曲面积分(28

6、)10 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 对面积的曲面积分(28)11例例 2 2 计算计算dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz对面积的曲面积分(28)12dxdyzzdSyx221 dxdyyx22

7、)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yxxyz对面积的曲面积分(28)13 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 对面积的曲面积分(28)14 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3对面

8、积的曲面积分(28)15解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显然显然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS对面积的曲面积分(28)16讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为左、右两片分为左、右两片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz对面积的曲面积分(28)17 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.对面积的曲面积分(28)18 计计算算dSz

9、yx)(222 , 其其中中 为为内内接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面体体azyx |表表面面. 例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关关于于坐坐标标面面、原原点点均均对对称称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)对面积的曲面积分(28)191 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 对面积的曲面积分(28)20例例5. 5. 计算

10、其中 是介于平面之间的圆柱面.222RyxozxyH解解: :Hzz,0将 分成 、 前前后后dSzyx222122yRx ：前前22yRx ：后后dydzxxdSzy221dydzyRR22后后前前dSzyx2221dydzyRRzRyzD222212对对称称dzyRRzRdyHRR2202212RHarctan 2对面积的曲面积分(28)21zzd例例5. 5. 计算,222zyxdSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222RyxozxyH另解另解: : 取曲面面积元素dzRdS2则HzRzdRI0222RHarctan2Hzz,0对面积的曲面积分(28)22例例6. 6. 计算,)(22d

11、SyxI其中 是球面)(2222zyxzyx解解: : 利用对称性可知dSzdSydSx222dSzdSydSxdSzyxI)(32222dSzyx)(34dSx4dSx448)3(4142ozyxdSdSxx利用重心公式球心：球心：)1 ,1 ,1(半径半径：3对面积的曲面积分(28)23四、小结2 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算. .1 1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; ; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）

12、对面积的曲面积分(28)24219411P习习题题87431625314,),)()(),(),)(对面积的曲面积分(28)25思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中积分的公式中, , 有因子有因子 , , 试说明这个因子的几何意义试说明这个因子的几何意义. .221yxzz 对面积的曲面积分(28)26思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积, ,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数. .z对面积的曲面积分(28)27一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知

13、曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题对面积的曲面积分(28)28二、计算下列对面积的曲面积分二、计算下列对面积的曲面积分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 为平面为平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求抛物面壳三、求抛物面壳)10)(2122 zyxz的质量的质量, ,此壳此壳的面密度的大小为的面密度的大小为z . .四、