Chap2 Hydrostatics

1、主要内容:(1)液体平衡规律 p分布的计算 (2)作用于物面上静水总压力计算 1本章重点： 1、静水压强的两个特性及有关基本概念。 2、重力作用下静水压强基本公式和物理意 义。 3、静水压强的表示和计算。 4、静水压强分布图和平面上的流体总压力的计算。 5、压力体的构成和绘制以及圆柱面上静水总压力的计算。22.1 2.1 静水压强及其特性静水压强及其特性2.1.1 静水压强的定义静水压强的定义 平均静水压强 它反映了受压面A上 静水压强的平均值。 点压强APpAlim0APp32.1.2 静水压强的特性静水压强的特性 注意：静止液体不能受剪，几乎不能受拉静止液体不能受剪，几乎不能受拉或： 静水

2、压强沿受压面的内法线方向。(1)静水压强的方垂直指向作用面。4pnp切向应力=0总应力法向压强只能受压NN液体内界面N-N上的应力：外法向n5（）（）静止液体静止液体中作用于同中作用于同一点一点各个方向各个方向的静水压强都的静水压强都相等。相等。6pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强作用在ABD和上的静压强图 微元四面体受力分析7表面力：表面力：n 1x = 21y 21z 2nnnnnXXXXXYYYYYZZpAPpApAy zPpApAx zPpApAxd 方向 压强 作用面积 面积力 ZZZPpA8质量力质量力：方向xyz单位质

3、量力X YZ总质量力FBx =mXFBx =mY FBx =mZ=6mx y z 微元体质量9力平衡力平衡：000XYZFFF以以x方向为例方向为例：0FBPP cos( , )F0 xxnxFn x cos( , )1 y06xxxnnFpApAn xXxz 101cos( , )2nxAn xAy z 03XnppX x xnpp=xyznppppp( , , )pp x y z（2-12-1）1yz0li mx（ 四 面 体 缩为 一 点 ）说明p与方向无关，只可能是位置的函数其它方向同理其它方向同理，故有：112.2 2.2 液体平衡微分方程液体平衡微分方程2.2.1 液体平衡液体平衡

4、微分方程微分方程的的推导推导回忆：（回忆：（a）静力学（）静力学（b）数学力学中导数学力学中导 出微分方程的出微分方程的微元法：微元法：（b） （1）取）取微元微元（脱离体）（脱离体） （2）受力分析）受力分析 （3）列）列平衡方程平衡方程 （4 4）整理）整理 （5 5）取极限）取极限（a）0F12232323211(, , )26()pppp xx y zpxxxxxxppxRxx 取平行六面体液体微元取平行六面体液体微元,以以形心点形心点作为作为参考点参考点六个平面中心点上的静压强可按六个平面中心点上的静压强可按可按上述泰勒（可按上述泰勒（G.I.Taylor）级数展开）级数展开。( ,

5、 , )pp x y z满足所需要的各阶连续性满足所需要的各阶连续性(x,y,z) (x+x,y,z)13ppxx14xyzOxyz平行六面体液体微元上的力平行六面体液体微元上的力单位质量力单位质量力：XYZX,Y,ZM(x,y,z)单位面积表面力单位面积表面力：（只标只标x面的值面的值）形心M处的压强为p+x 2pxp-x 2pxpp150 xF xF 1()21- () 2Xx y zppx pxppxy zx xFpx y zx X- ,xyzo 取取极极限限0px y zx X- 0pxX- 10pxX-或写成：01ypY01zpZ同理得：ijkxyz 为Hamilton算子10fp矢

6、量式：矢量式：（2-3）（2-2）1755年欧拉（Euler）（a）（b）（c）16zzpyypxxppddddd( ddd )pX xY yZ z)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp（2-2）(a)dx+(b) dy +(c) dz（2-7）172.2.2 2.2.2 有势质量力条件下平衡方程的积分有势质量力条件下平衡方程的积分质量力有势质量力有势存在质量力势函数U ,UUUXYZxyzBUUUfUijkxyz使：或（2-6）UUUdUdxdydzxyz（2-5）dUXdxYdyZdz180ZdzYdyXdx（2-7）=Constantdd()pU积分pUC 2.2.3 2.2.3

7、 等压面等压面等压面方程压强相等的面：dp=0，或p=Constant或0Bfdl 19d( ddd )pX xY yZ z（2-7）连续液体平衡状态下等压面的特性： 有势质量力，等压面就是等势面。 等压面与质量力垂直。 等压面不能相交 重力作用下静止液体等压面是水平面 两种互不相混的静止液体的界面是等压面202.3 2.3 重力作用下静水压强的分布规律重力作用下静水压强的分布规律质量力只有重力质量力只有重力00XYZg ，=- gdpdz+=0gpd z（）=cpzg2.3.1水静力学基本方程水静力学基本方程（2-10）(1)水静力学水静力学 基本方程有基本方程有 三三 种形式种形式2112

8、12ppzzgg1 21z2z2gp1gp00zhp0z0MS对液体中任意两点对液体中任意两点1、20ppgh（2-9）00ppzzgg对液面点液面点S和任一内点内点M: z0-z=h(2)静水奇象静水奇象(3) Pascal原理原理22absappp2.3.3 2.3.3 压强的计量压强的计量absappp1. 1. 计量基准计量基准(2)(2)绝对压强绝对压强pabsabs：以完全真空时的绝对以完全真空时的绝对 零压强为基准，总有零压强为基准，总有pabsabs 0 0随高程及大气变化随高程及大气变化 标准大气压标准大气压 1atm=101.325kPa 1atm=101.325kPa 水

9、力学：水力学：一般用一般用工程大气压工程大气压 1atm=98kPa 1atm=98kPa (3)(3)相对压强相对压强p：以大气压强为基准以大气压强为基准(1)(1)大气压强大气压强pa a ：(4)(4)真空与真空值真空与真空值pv ：当当p p0 0，或，或pabsabs pa a时有真空，其大小：时有真空，其大小： pv= pa a pabsabs（=-p=-p 0 0） 23真空 绝对压强相对压强（表压）绝对压强绝对压强、相对压强和真空的关系图压强计量基准图示压强计量基准图示24解解0apghp0098 14.71583.385absaabsappppghkPa例例 已知：如图，已知

10、：如图，h h=1.5m=1.5m。求求0abs0pp和h h0pap水水NNapN-N为为等压面等压面，压强为，压强为考虑相对压强：相对压强： 0ap 0-pgh0-=1000 9.8 1.514.715 Papghk 考虑绝对压强：绝对压强： abs98kpaap容器内有真空，液面真空值为：容器内有真空，液面真空值为：014.715vpghkPa251. 1. 压强计量方法及单位压强计量方法及单位(1)(1) 以应力单位计量：以应力单位计量：PaPa，kPa,MpakPa,Mpa(2)(2) 以大气压计量：以大气压计量：1atm=98kPa1atm=98kPa00014.715 Pa/98

11、=-0.15 1-0.150.85 =0.15absvpkatmpatmpatm 前例：(3)(3) 以以液柱液柱高计量：高计量： p/pp/pa a= =x （atmatm）p ph hp=p=ghgh，p/p/g=h g=h 00/-1.5 /8.5 abspgmpgm前例：2H O0 h=/=1.5vvpgm真空高度：p0h00zApa26不同不同液柱液柱h h不同不同hpg22H OH O=10maabsphg2Hg3Hg98100N/=736 m133280/aabspmhcgN m=?aabsOilOilphg00/-11.03c /0.625 HgabsHgpgmpgm前例：0h

12、=/=11.03cvHgvHgpgm真空高度：27例：如右图例：如右图已知已知 p p0 0=98kN/m=98kN/m2 2，h=1mh=1m，求求 p p，及，及p pabsabsp0=pahabs098 1 9.8 1107.8 pappghk 解解2abs107.8989.8/apppkN m例：如右下图例：如右下图已知已知， p p0 0=50kN/m=50kN/m2 2，h=1mh=1m求求 p p，及，及p pabsabs、P Pv vp0h解解abs050 1 9.8 159.8 pappghk abs59.89838.2 Paapppk pavabs9859.838.2 Pa

13、apppk282.3.4 2.3.4 水静力学基本方程的意义水静力学基本方程的意义=cpzg =cpzg几何意义几何意义物理意义物理意义=mgzzmg=pmghhgmg单位重液体单位重液体的位置势能的位置势能单位重液体单位重液体的压强势能的压强势能 单位重单位重液体总势能液体总势能+高度高度位置高度位置高度位置水头位置水头压强高度压强高度压力水头压力水头 测压测压管水头管水头292.3.52.3.5压强测量的水力学手段压强测量的水力学手段 测压管测压管 U U型管测压计型管测压计 差压计差压计 微压计微压计30pgh如图可测水中大于大气压的相对压强1、测压管0papAh 2、 U 形管测压计3

14、1ap0pAAp12p1h2h1A12p2appghppghh1、h2 pAhp p012a0ppp，A21mpghgh例例2-2 p0=- pghp0pap12pphhMpM= gh- pghpNN空气空气空气空气N-N是等压面323、差压计例例2-3 已知已知 z 、hp、 、 pABhphzN0N0 p 求求 pA-pB解解方法1:等压面两侧分列方程pA方法2:起点推演到终点pA-pB = g-z+( p/ -1) hpzAzB(pA-pB )/ g= -zA+zB +( p/ -1) hp(zA+pA/ g)+(zB+pB/ g)= ( p/ -1)hp33- pghp+ gzA -

15、gh=pB21A123B3zA=hp+h+z例例已知已知 h1=600mm，h2=250mm， h3=200 mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000/m3，2=800/m3，3=13598/m3求求 pA-pB pA+g1h1-3h2+2h3 -3h4 -1(h5-h4)=pBpA-pB= 1g(h5-h4)+3gh4 +3gh2-2gh3-1gh1= 67876（Pa）解解344 微压计 测量较小压强或压强差的仪器。2phapl读数 A倾 斜 式 微 压 计原理图 sinlh3536例例双杯双液微压计已知 1=l000kg/m3，2 =13600kg/m3，100mm，形管的

16、直径d=10mm，读数h=30mm，求： p1-p2 解解 水平面12为等压面 两边密度为1的液体容量相等，所以D2h2=d2h ghhhhgpghp21212111)(hgDdgpp1222211220.0113600 9.80611000 9.8060.030.13709.6(pa)372.4* 重力和惯性力作重力和惯性力作用下液体的相对平衡用下液体的相对平衡(1)(1)等角速旋转等角速旋转液体的相对平衡液体的相对平衡xyz(x,y,z)rxyrxxyy(x,y)x 2y 2Hz022XxYyZg 单位质量力单位质量力gdzydyxdxdp2238 积分得积分得cgzrcgzyxp2222

17、2222121（2-23）设定设定r=0r=0时时z=zz=z0 0；此处；此处p=pp=p0 0，得得c=pc=p0 0+ + g gz z0 0 2200g ()2rppzzg222rzCg等压面等压面: :p= Constantp= Constant液面上液面上p=pp=p0 02202rzzg（2-25）（2-26）39cos,0,sinXaYZag（2 2）直线等加速容器中液体的相对平衡）直线等加速容器中液体的相对平衡 cos sindpadxag dz cossinpaxag zC设定设定x=0 x=0，z=0z=0；此处；此处p=p0得：得： C= C= p00 cossinpp

18、axag z400sincoscgazaxcossindzatgdxga等压面等压面:p= Constant:p= Constant这是一族平行平面，这是一族平行平面，它们对水平面的倾角它们对水平面的倾角液面上液面上p=pp=p0 0sincosagaxzs =0=00axgz c等压面：+sazxg液面：00s0s=hgappgxzpg zzpg（）412.5.1 解析法解析法hcCyCyOxM(x,y)dAhdPPysindghdAgdAPPysinsinyAAAdgdAgdAPDDCyDy2.5 液体作用在平面上的液体作用在平面上的静水总压力静水总压力1 大小大小微元力 构成( 平行平行

19、 )力系力系dPPPAd 力系合成：力系合成：yyCAdAA 为平面对为平面对Ox轴的面积矩轴的面积矩PsinyccgAgh AP 2-29cp A（）合力矩定理：合力矩定理：2PyyPyysinsinyPDAAAdgdAgdA 面积对面积对x轴的惯性矩轴的惯性矩2xy=IAdAyyycDccIA其中其中Ic表示面积对通过其形心点且与表示面积对通过其形心点且与Ox轴平行的轴线的惯性矩。轴平行的轴线的惯性矩。2 方向方向3 作用点作用点D（对称平面）（对称平面）2xyccIIA平行移轴：44AhByl=h/SinxbCDyc=l/2yDP例2-6:矩形挡水板已知=30o,h=3m,b=5m,l=

20、6m求：P 解 1 大小大小Pcp A= g hcbl =9.81.530=441kN2 方向如图方向如图3 作用点作用点yyycDccIA3212=+=4m232bhlllbl45AhByl=h/Sin2.5.2 图解法图解法 1 压强分布图压强分布图 gh借前例解释借前例解释注意注意:静水压强的特性静水压强的特性（1） 方向方向 2 图算图算P（2） 大小大小Pcp A= g h/2 blDPyDCpC= gh/2 hC=h/21=g=2bh l b=VP=压强分布图的体积Vb gh（3） 作用点作用点D2y =3llD2l/3DyD=压强分布图的形心坐标压强分布图的形心坐标=单宽单宽总压

21、力总压力46 上述上述 图算法图算法结论结论 适用于适用于 任意任意 形状平面上形状平面上静水总压力的计算静水总压力的计算（1）静水总压力的大小静水总压力的大小=压强分压强分布图的体积布图的体积（2）静水总压力的作用点静水总压力的作用点=压强压强分布图的形心分布图的形心首要问题：正确绘制压强分布图首要问题：正确绘制压强分布图注意注意:静水压强的重要特性静水压强的重要特性 压强分布示意图47 静水压强分布示意图48静水压强分布图实例静水压强分布图实例49ABpaPa+gh画出下列画出下列AB或或ABC面上的静水压强分布图面上的静水压强分布图0ppgh相对相对压强分布图ABghBABCABAB50

22、画出下列容器左侧壁面上的压强分布图51522.6 液体作用在曲面上的液体作用在曲面上的静水总压力静水总压力考虑宽为考虑宽为b的柱面的柱面ABzxyABb沿沿y方向取面元方向取面元 bdSdSdA=bdSdA2.6 .1 总压力计算方法总压力计算方法53zxdA=bdSozpdPdSdxdzdPxdPzdPxdPzz+xdPidPkdP b SdPd +dSidz kdxAB对对圆柱面圆柱面AB，微元力，微元力 构成平面汇交力系构成平面汇交力系dPPPAd zP+xAAi dPk dP z=+xiPkP=xxAAPdPgbdsCzoszz=zAAPdPg dAc=xp A=Ag dV= gV=A

23、xdz AgdAxdAzABdVdPzVPzPxPD1 大小大小22zP+xPP2 方向方向tg=Pz/Px3 作用点作用点 D压力体体积压力体体积54zxyb压力体体积压力体体积V的形成的形成VPz液体作用在曲面上的静水总压力的计算步骤：液体作用在曲面上的静水总压力的计算步骤： (1)将总压力正交分解为水平分力Px和垂直分力Pz。 (2)水平分力按曲面在铅垂面的投影平面计算 (3)确定（由3界面界面围成的）压力体体积。 (4)垂直分力的计算 ，方向由虚、实压力体确定。 (5)正交合成总压力 (6)总压力方向的确定。 (7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点。xcxAghPzPgV22zxPPPzxPP /tg55由下述界面所围成：由下述界面所围成：（1）受压）受压曲面曲面本身本身（2）自由液面或）自由液面或液面液面的延长面的延长面（3）