专题五立体几何.doc

1、专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何一、选择题1以下命题中，不正确的命题个数为()A 0B1C2D3解析： 由向量的和运算知正确a， b， c 为空间一个基底，则a， b， c 为两两不共线的非零向量不妨假设a b x(b c)y( ca)，即 (1 y)a (1 x)b (x y)c 0.1 x 0a、 b、 c 两两不共线，1 y 0，x y 0不存在实数x、 y 使假设成立，故正确中若加入x y z1 则结论正确，故错误答案： B2在正方体ABCD A1B1C1D1 中，给出以下向量表达式：答案： ADBC 是锐角同理可证DCB ，BDC 都是锐角BCD 是锐角三角形答案： B24如图

2、所示，在正方体 ABCD A1B1C1D 1 中 E、 F 分别在A1D、 AC 上，且 A1E3A1D，1AF 3AC，则()A EF 至多与 A D、 AC 之一垂直1B EF 是 A1D 、AC 的公垂线C EF 与 BD1 相交D EF 与 BD1 异面解析： 设 AB 1，以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系则A (1,0,1) ，111D (0,0,0) ，A(1,0,0) ， C(0,1,0)， E 3， 0， 3 ，答案： D5.(2010 山东烟台 )二面角的棱上有A、B 两点，直线AC、BD 分

3、别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知 AB 4， AC 6， BD 8，CD 217，则该二面角的大小为()A.150 B 45C 60D 120答案： C二、填空题答案： 3a 3b 5c7.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， ACB 90， AA1 2， AC BC 1，则异面直线A1B 与 AC 所成角的余弦值是_ ,解析： 以 C 为坐标原点， CA 、CB 、CC1 所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，A1 (1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0) ，C(0,0,0) ，,8.设 M、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点， DE AB 于 E

4、(如图 )现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角A DE B 为 45，此时点A 在平面 BCDE 内的射影恰为点B，则的连线与AE 所在角的大小等于_答案： 90M、 N9.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D 1 中，棱长为a， M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1 MAN2a，则 MN 与平面 BB 1C1C 的位置关系是 _,解析： 分别以 C1 B1、3C D， C C 所在直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系 ,11122 aA1M AN3 a， ,M a，3a，3，22N 3a，3a， a ，答案： 平行三、解答题10.如图，在直四棱柱ABCD A1B1

5、C1D1 中， AB AD2， DC 23， AA13， AD DC， AC BD ， E 为垂足(1) 求证： BD A1C；(2) 求二面角 A1 BD C1 的大小；(3) 求异面直线 AD 与 BC1 所成角的余弦解： (1)在直四棱柱 ABCD A1B1 C1D 1 中， A1A底面 ABCD ， AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影 BD AC， BD A1C.(2) 如图所示，以D 为坐标原点， DA 、 DC 、DD 1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系连结 A1E、 C1E、 A1C1，与 (1)同理可证BD A1E， BD C1E. A1

6、EC1 为二面角A1BD C1 的平面角，由 A1，1(0,23，3，3，0 ，(2,03)， C3)，E 2211(2010 东，山19)如图，在五棱锥 P ABCDE 中，PA平面 ABCDE ，AB CD ，AC ED ， AE BC ， ABC 45，AB 2 2， BC 2AE 4，三角形 PAB 是等腰三角形(1) 求证：平面 PCD平面 PAC ；(2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；(3) 求四棱锥 P ACDE 的体积解： (1)证明：在 ABC 中，因为 ABC 45， BC 4，AB 22，所以 AC 2 AB 2 BC2 2ABBCcos45 8，因此 A

7、C 22.故 BC2 AC 2 AB 2，所以 BAC 90.又 PA平面 ABCDE ， AB CD ，所以 CD PA， CD AC.又 PA、AC ? 平面 PAC，且 PA AC A ，所以 CD 平面 PAC，又 CD ? 平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAC.(2) 解法一： 因为 PAB 是等腰三角形，所以PA AB 22，因此 PBPA2AB 24.又 AB CD.所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点A 到平面 PCD 的距离由于 CD 平面 PAC，在 Rt PAC 中， PA 22， AC 22，所以 PC4.故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD

8、 的距离所以 B 到平面 PCD 的距离为 h 2.设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 ，则 sin h21，又 0，2，所以 .PB426解法二： 由 (1)知 AB 、 AC 、 AP 两两相互垂直，分别以AB 、 AC 、AP 为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 PAB 是等腰三角形， 所以 PAAB 22，又 AC 2 2，因此 A(0,0,0) ， B(22， 0,0)，C(0,2 2， 0)， P(0，0,2 2)，因为 AC ED ， CD AC ，所以四边形 ACDE 是直角梯形因为 AE 2， ABC 45， AE BC，所以 BAE 135

9、，因此 CAE 45，2故 CD AEsin 45 22 2，所以 D( 2，22， 0)2，22， 0,0)因为 CP (0， 22)，CD (设 m= （ x， y， z）是平面PCD 的一个法向量，则mCP 0， mCD 0，解得 x 0，y z，取 y=1 ，得 m= （ 0，1，2，0,22)，1），又 BP (2设 表示向量 BP与平面 PCD 的法向量m 所成的角，因此直线PB 与平面 PCD 所成的角为(3) 因为 AC ED ， CD AC，所以四边形 ACDE 是直角梯形因为 AE 2， ABC 45， AE BC，所以 BAE 135，因此 CAE 45，故 CD AEs

10、in 45 2 222，ED AC AEcos 45 22 222，2所以 S 四边形 ACDE 2 22 23.2PA平面 ABCDE . VP ACDE 13 3 22 22.12 (2010建福 )如图圆柱OO 1 内有一个三棱柱ABC A1B1C1，棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径(1) 证明：平面 A1ACC1平面 B1BCC1；(2) 设 AB AA1.在圆柱 OO 1 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC A1 B1C1 内的概率为p.( )当点 C 在圆周上运动时，求p 的最大值；( )记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为(0 90)当

11、 p 取最大值时，求cos的值解：解法一：(1) 证明： A1A平面 ABC，BC? 平面 ABC， A1A BC. AB 是圆 O 的直径， BCAC .又 AC A1 A A， BC平面 A1ACC1.而 BC? 平面 B1BCC1，所以平面 A1ACC 1平面 B1BCC1.(2)( )设圆柱的底面半径为 r ，则 AB AA12r ，故三棱柱 ABC A1B1C1 的体积 V11 2ACBC2r ACBCr.又 AC2 BC2 AB2 4r 2， ACBC AC2BC22r 2，2当且仅当 AC BC2r 时等号成立从而， V1 2r3.而圆柱的体积V r22r2r3，故 pV12r3

12、1，当且仅当 AC BC2r ，即V32rOC AB 时等号成立所以，1p 的最大值等于 .( )由 ( )可知， p 取最大值时， OC AB.于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz(如图 )，则 C(r,0,0)， B(0， r,0)，B1(0， r ， 2r ) BC平面 A1ACC1， BC (r ， r,0)是平面 A1ACC1 的一个法向量设平面 B1OC 的法向量n (x， y， z)，取 z 1，得平面B1OC 的一个法向量为n (0， 2,1)解法二： (1) 同解法一(2 )( )设圆柱的底面半径为r ，则 AB AA1 2r ，故三棱柱ABC A1B1C1 的体积 V11 2ACBC2r ACBCr.设 BAC(0 90)，则 AC ABcos 2rcos ， BC ABsin 2rsin ，由于ACBC 4r 2sin cos 2r2sin 2 2r2，当且仅当sin 2 1 即 45时等号成立故V1 2r 3.而圆柱的体积V r22r 2r3，故 p V1 2r31，当且仅当 sin 2 1 即 3V2r 45时等号成立所以，