2021-2021版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案新人教B版必修3

1、3. 3.1几何概型学习目标1.了解几何概型与古典概型的区别.2理解几何概型的定义及其特点.3会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.预习导引1 21三角形的面积 S= 2ah其中底为a,高为h;圆的面积S=n r2.2.棱锥的体积V=棱柱的体积V= Sh,球的体积3r冗4 4 -v=知识链接1.几何概型的概念 事件A理解为区域 Q的某一子区域 A,如图，A的概率只与子区域 A的几何度量(长度、 面积或体积)成正比，而与 A的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件 A的概率定义为：P(A)=竺，其中，口。表示区域Q的几何度量，口 Q口 A

2、表示子区域 A的几何度量.要点一与长度有关的几何概型例1取一根长为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？解 如下图记“剪得两段绳长都不小于2 m为事件A把绳子五等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生由于中间一段的长度等于绳长的5，所以事件A1发生的概率P(A) = 5.规律方法 1.解答此题的关键是将根本领件的全部及其事件A包含的根本领件转化为相应的长度，进而求解.2.在求解与长度有关的几何概型时， 首先找到试验的全部结果构成的区域 D,这时区域 D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域 d,在找d的过程中，确定边界点是

3、问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.跟踪演练1两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率.解 记“灯与两端距离都大于 2 m为事件A,2 1那么 p(a = 6 = 3.要点二与面积有关的几何概型例2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.20 m30 m解 如下图，区域 是长30 m宽20 m的长方形.图 中阴影局部表示事件 A: “海豚嘴尖离岸边不超过 2 , 问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影局部的概率.由于区域Q的面积为30X 20= 600(m2),阴影局部的

4、面积2为 30X 20-26X 16= 184(m ).18423所以 RA) = 600 = tT0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.规律方法解此类几何概型问题的关键是：(1) 根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题.(2) 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用 公式从而求得随机事件的概率.DFCf1AV1EBAH 2跟踪演练2 (2021 陕西高考)如图，在矩形区域 ABC啲A C两点处各有一个通信基 站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正 常)假设在该矩形区域内随机地选

5、一地点，那么该地点无 信号的概率是()n nn na. 1 - B.亍-1 C 2-y D. 4答案 A2 12X 1nXl X-X2S 图形 debf4n解析 由几何概型知所求的概率P= = 1.S矩形 ABCD2X14要点三与体积有关的几何概型例3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于 1,称其为“平安飞行，求蜜蜂“平安飞行的概率.解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.那么满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公13 1式，可得满足题意的概率为P= 33=

6、 27.规律方法如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出根本领件所占的区域体积及事件A所占的区域体积其概率的计算公式为构成事件A勺区域体积R A)=试验的全部结果构成的区域体积.1跟踪演练3本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于3的概率.31 1解 到A点的距离小于3的点，在以A为球心，半径为3的球内部，而点又必须在正41 31_ nX _ X方体内，那么满足题意的41 31338 nA 点的区域体积为 3 nX 3 X 0. P=33= 2x3 t.1以下关于几何概型的说法错误的选项是A. 几何概型也是古典概型中的一种B.

7、几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C. 几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D. 几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个答案 A解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型.2. 2021 南昌高一检测面积为S的厶ABC D是BC的中点，向 ABC内部投一点，那 么点落在厶ABD内的概率为1 1 1 笃 B. C. 4 d.答案 B解析 向厶ABC内部投一点的结果有无限个， 属于几何概型.设点落在厶ABD内为事件M ABD勺面积 1 那么ABC勺面积=2.3如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一那么阴影区域的面积为482A.3 B. 3 C. 3D .无法

8、计算答案 BS 阴 228解析由几何概型的概率公式知s = 3，所以s阴=3 s正=.4当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为 5秒,绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 1315A B. - C. D.128 16 6答案C解析由题意可知在 80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件事件“看到黄灯的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为3 mL水样放到显微镜下观察，那么5.在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出 发现草履虫的概率是.答案31 000解析 由几何概型知，P= 1000.1几何概型适用于试验结果