高二导数讲义

1、学习必备欢迎下载导数【学问归纳】1、导数的概念函数 y=fx,假如自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量y =f （ x 0 +x ） f （ x 0 ），比值y 叫做函数 y=f（ x ）在 x0 到 x0 +x 之间的平均变化率， 即y = f x0xf x0 ；假如当x0x yxx时，有极限，我们就说函数y=fx在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做f （ x）在点 x 0 处的导数，记作xx0f （ x 0 ）或 y|x；即 f （ x） = limy = limf x0xf x0 ；0x0xx0x说明：（ 1）函数 f （ x）在点 x点 x 0 处不行导，

2、或说无导数；0 处可导，是指x0 时，y 有极限；假如xy 不存在极限，就说函数在x（ 2） x是自变量 x 在 x 0 处的转变量，x0 时，而y 是函数值的转变量，可以是零；由导数的定义可知，求函数y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量y =f （ x 0 +x ） f （x 0 ）；（ 2）求平均变化率y = f x x0xf x0 ；x（ 3）取极限，得导数f x2、导数的几何意义0 =limy ；x0x/函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ， f （ x 0 ）处的切线的斜率；也就是说，曲线 y=f

3、 （ x）在点 p（ x 0 ，f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）；相应地，切线方程为y y 0 =f（ x 0 ）（ x x 0 ）；3、几种常见函数的导数: c0;x e x ;xnnxn 1;xx sinxcos x ; cos xsin x ;ln xe a 1aln a ;l o g x1 log e;aa.xx4、两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ，即： uvu v .法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个函数乘以其次个函数的导数，即：uvu vuv .

4、如 c 为常数 ,cu c ucu 0cu cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：cu cu .法就 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方： u = u vuv （ v0）；vv 2形如 y=f x 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解求导回代；法就：y | x = y | u u | x5、单调区间： 一般地，设函数 yf x 在某个区间可导，假如 f假如 f x x0，就0 ，就f xf x为增函数； 为减函数；假如在某区间内恒有6、极点与极值：f x0 ，就f x为常数；曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的

5、导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7、最值 ：一般地，在区间 a ，b 上连续的函数 f x 在a ， b 上必有最大值与最小值；求函数. x 在a ， b 内的极值；求函数. x 在区间端点的值. a 、.b ；将函数.x 的各极值与. a 、.b 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值；【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间（如单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f x0 得到两个根；其次步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立

6、问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种： 变更主元 （即关于某字母的一次函数）-题型特点 （已知谁的范畴就把谁作为主元）；其次种： 分别变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值题型特点f xg x 恒成立h xf xg x0 恒成立；2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴及函数与x 轴即方程根的个数问题；（ 1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即f x0或f x0 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分别变量时要特殊留意是否需分类争论（看是否在0 的同侧），假如是同侧就不必分类争论

7、；如在0 的两侧，就必需分类争论，要留意两边同处以一个负数时不等号的方向要转变呀！有时分别变量解不出来，就必需用另外的方法；其次种：利用子区间（即子集思想）；第一求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0 的关系和对称轴相对区间的位置；特殊说明： 做题时肯定要看清晰“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清晰两句话的区分；（ 2）函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”仍是“先减后增再减” ；

8、其次步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和微小值与0 的关系； 第三步：解不等式（组）即可；3、函数的切线问题；问题 1：在点处的切线，易求；问题 2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；其次步：写切线（一般用点斜式）；第三步：依据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判定三次方程根的个数；【导数定义的应用】经典题型分类解析例 1、求抛物线yx 2 上的点到直线xy20 的最短距离 .1、（福建）已知对任意实数x ，有 f xf x， gxg x ，且 x0 时，f x0， g x0 ，就 x0 时（）a f x0， g x0b f x0，

9、 g x0c f x0， g x0d f x0， g x02、已知 p（ 1，1），q（2，4）是曲线 y方程是.x2 上的两点，就与直线pq 平行的曲线 yx2 的切线23、已知函数f xx3ax2bxc在x2 处取得极值，并且它的图象与直线y3 x3 在点（ 1，0）处相切，就函数f x 的表达式为 m.【利用导数争论函数的图像】例 1、（安徽高考）设 a b, 函数 y xa 2 xb 的图像可能是（）1、设f x 是函数f x的导函数，将yf x 和 yfx 的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的是；yyyyoxoxoxox图 1图 2图 3图 4【利用导数解决函数的单调性及极值问

10、题】例 1、当 x0 ，证明不等式x1xln1xx .例 2、（全国高考）已知函数f xx3ax2x1， ar （）争论函数 f x 的单调区间；（）设函数f x 在区间2 ， 1内是减函数，求 a 的取值范畴33【变式 1】（ 全国高考）如函数 fx1 x 331 ax 22a1 x1 在区间1,4上是减函数，在区间 6,上是增函数，求实数 a 的取值范畴【变式 2】（ 浙江高考） 已知函数f x3x12a xaa2 xba, br如函数f x 在区间 1,1 上不单调，求 a 的取值范畴练习1、利用函数的单调性，证明：ln xxex , x0变式 1： 证明： 11x1ln x1x ， x

11、1222变式 2：（理科） 设函数 fx=1+xln1+x. 如关于 x 的方程 fx=x+x+a 在0 ，2 上恰好有两个相异的实根，求实数 a 的取值范畴 .2、已知函数f x1 x33bx22 xa ， x2 是 f x 的一个极值点（）求围f x 的单调递增区间；（）如当 x1, 3 时，f xa223恒成立，求 a 的取值范3、设函数性.f xln xax2 , 如当 x1 时，f x取得极值，求 a 的值，并争论f x 的单调4、设 a 0 ，f xx1ln 2 x2a ln x x0 2（）令f xxf x，争论f x 在 0， 内的单调性并求极值；（）求证：当x1 时，恒有 x

12、lnx2a ln x1 5、设2 x2f x,g xax52aa0 ；（1） 求x1 f x 在 x0,1 上的值域；（2） 如对于任意x10,1 ，总存在x00,1 , 使得gx0 f x1 成立, 求a 的取值范畴；【利用导数的几何意义争论曲线的切线问题】例 1、（江西高考）如存在过点 1,0 的直线与曲线3yx 和yax215 x49 都相切，就 a 等于a 1或 - 2564b 1或 21 4c 7 或- 25464d 7 或74【变式】（ 辽宁高考）设 p 为曲线 c ：yx22x3 上的点，且曲线 c 在点 p 处切线倾斜角的取值范畴为 0，就点 p 横坐标的取值范畴为（）4a1，

13、 1 2b 1，0c 0，1d 1 ，1 2综合实战训练1. 设函数 f x 在定义域内可导， y=f x 的图象如右图所示，就导函数y=f x 的图象可能为 2. 已知曲线 s: y=3xx3 及点 p 2,2 , 就过点 p 可向 s引切线的条数为 a0 b1c2d3003. c 设 s 上的切点 x , y 求导数得斜率，过点p 可求得 : x1x2 20 .004. 函数yx cos xsinx 在下面哪个区间内是增函数（） . a, 3b , 2c 3, 5 d 2,32222325. y =2x 3x +a 的极大值为 6，那么 a 等于 a6b0c5d136. 函数 f x x

14、3x+1 在闭区间 -3 ， 0 上的最大值、最小值分别是 a1 ， 1 b3 ， -17c1 ， 17d9， 197. 设 l 1 为曲线 y1=si nx 在点 0 ， 0 处的切线， l 2 为曲线 y2=cosx 在点,0 处的切线，就l 1 与 l 2 的夹角为2 .32328. 设函数 f x= x +ax +bx 1，如当 x=1 时，有极值为1，就函数g x= x +ax为.+bx 的单调递减区间9（湖北）已知函数yf x 的图象在点m 1， f1 处的切线方程是 y1 x22 ，就f 1f 110（湖南）函数f x12 xx3 在区间 3，3 上的最小值是11 （ 浙 江 ）

15、 曲 线yx32 x24 x2 在 点 1，3 处 的 切 线 方 程 是9 .已 知 函 数f x32xaxb a,br（）如函数f x 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：3a3 ；（）如 x0,1，函数yf x 图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试争论k 1 的充要条件；212 安徽 设函数 f（ x）=-cos x-4 t sinx cos2x +4t 2+t 2-3 t +4, x r, 其中 t 1，将 f x 的最小值记为g t .2 求 g t 的表达式； 诗论 g t 在区间（ -1,1 ）内的单调性并求极值.实战训练 b1（海南）曲线 y1 xe2 在点4， e2

16、处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） 9 e22 4e22e2 e22（海南）曲线yex 在点2， e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） 9 e24 2e2 e2 e 23（江苏） 已知二次函数f xax2bxc 的导数为f x ， f00 ，对于任意实数 x 都有f x0 ，就f 1f 0的最小值为（）53a 3b24（江西） 5如c 2d20x，就以下命题中正确选项（）2a sin x3 xb sin x3 xc sin x4 x 2d sin x4 x25（江西）如 0x22），就以下命题正确选项（2a sin x2 xb sin x2 xc sin x3 xd sin x3 x6（辽宁）已知f x 与gx是定义在 r 上的连续函数，假如f x与 g x 仅当 x0 时的函数值为0，且 f x gx ，那么以下情形不行能显现的是（）a. 0 是f x 的极大值，也是g x 的极大值b. 0 是f x 的微小值，也是g x 的微小值c. 0 是f x 的极大值，但不是gx 的极值d. 0 是f x 的微小值