六年下册奥数试题-质数与合数全国通用含答案

1、第 3 讲 质数与合数知识网络1质数与合数（ 1）一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它 就叫做质数（也叫做素数）。（ 2）一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就 叫做合数。例如：4、6、8、10、12、14,都是合数。在 100 以内有 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 47、 53、 59、 61、67、 71、 73、 79、 83、 89、 97共 25 个质数。2质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数,那么就是说这个质数是这个数的质

2、因数。（ 2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如，把42分解质因数，即是 42=2 X 3X 7。其中2、3、7叫做42的质因数。又如，50=2X 5X 5，2、5都叫做50的质因数。重点难点要注意以下几条：（1）1 既不是质数,也不是合数。（2）关于质数1 ）质数有无限多个。2）最小的质数是 2。3）在质数中只有 2是偶数,其余的质数全是奇数。4） 每个质数只有两个约数：1 和它本身。（3）关于合数1 ）合数有无限多个。2）最小的合数是 4。3） 每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如,8 的约数除 1 和 8外,还有 2、 4,所以 8 是合数。学法指导

3、（1） 对比一下几种判别质数与合数的方法,可以看出例1 方法的优越性。判别 269, 用2至268中所有的数试除,要除 267个数；用 2至268中的质数试除,要除 41 个数；而 用本题的方法,只要除 6 个数。（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数,来判断这个数是质数还是合数的方 法,有弊病。如果一个数是质数,在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的 约数。那么,试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。(3) 用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的 质数范围，使试除的数的量进一步减少。例1判断269、437两个数是合数

4、还是质数。思路剖析对于一个不太大的数 N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数丄一，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除 N，那么N是质数； 如果这些质数中有一个能器N，那么N是合数。解答因为二。17以内的质数有2、3、5、7、11、13。根据能被某些数整除 的数的特征，个位数是9,所以269不能被2、5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。 经逐一判断或试除知，这 6个质数都不能整除 269,所以269是质数。因为437广=441。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。容易判断437不能被2、3、5、7、11整除，用13、17、

5、19试除437,得到437十19=23，所以437是合数。例2判断数1111112111111是质数还是合数？思路剖析按照例1的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别 的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。解答根据整数的意义，这个 13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111 X( 1000000+1 )=1111111X 1000001由上式可知111111和1000001都能整除1111112111111所以1111112111111是合数。例3数a是质数

6、，且a+10、a+14也都是质数，数a是多少？思路剖析任何自然数除以3的余数只有3种情况：余1、余2、余0 (即能被3整除)。因为10除以3余1, 14除以3余2。所以a不能是被3除余1的数，否则a+14能被3 整除，就不是质数了。a也不能是被3除余2的数，否则a+10能被3整除，也不是质数。因此a只能是能被3整除的数，a本身又是质数，因此 a只能是3。解答由上述分析可知数 a 只能是 3。点津本题分析中有这样一条规律：如果两个数除以 3 的余数相加的和能被 3 整除，那么这 两个数的和也能被 3 整除。例 4 三个质数的和是 80，这三个质数的积最大是多少？思路剖析由于三个数的和是偶数，所以

7、这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有 2 是偶数， 所以三个数中一定有 2。另两个质数的和是 78，要使乘积尽可能大， 那么这两个质数的差值应尽可能小。 显然， 和是 78 的两个质数中，以 41与 37 的差最小，即这两个数的积最大。解答三个质数的积是 2 X 37 X 41=3034例5找出 1100这 100个自然数中所有的质数。思路剖析要找出 1100 这100 个自然数中所有的质数，可以依次把这 100个自然数的每一个数 的约数求出来，找出其中只有两个约数的数。不过这种方法显得笨拙，可以用淘汰法，也 就是首先把比 2 大的所有 2 的倍数全部划去，然后在余下的数当中划去所有比 3

8、大且是 3 的倍数的自然数，接下来再把余下的数当中比 5 大且是 5 的倍数的自然数全部划去，如此 进行下去，即可得到 100以内的所有质数。解答100以内的所有质数为： 2、3、5、7、1 1、13、17、19、23、29、31 、37、41、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97。点津想一想，在上面筛去 100 以内的合数的过程中，为什么最后筛去的是大于 7 的倍数， 而不再筛去大于 11的倍数，筛去大于 13的倍数呢？事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中，由于100=10 X 10,所以100以内所有合数只有大于 10的因数，必然就有一个小于 10的因数。也

9、就是说， 100以内的任何一个合数 一定能被 10以内的质数整除,而 10以内的质数只有 2、3、5、7这4个,所以最后筛去大 于 7 的倍数就可以了。例 6判断 391、123456789 是质数还是合数。思路剖析在自然数中,除了 1 以外的数,若不是质数,则必是合数,二者必居其一。要判断一 个数是质数还是合数,根据合数的定义,只要找到一个既不是1 又不是这个数的本身的约数即可。一般方法只要把2、3、5、7、这些质数按由小到大的次序，逐一去除所要判断的那个数；如果有某个质数恰好是它的约数，则所给的自然数为合数；如果这样的质数不 存在，则所给的自然数为质数。解答将质数2、3、5、7、11、这些

10、质数逐一去除 391，发现391能被17整除，所以391 是合数。将质数2、3、5、7、11、这些质数逐一去除 123456789,发现123456789是3的倍 数，所以123456789是合数。另外，根据能被 3整除的数的特征，也可以证明 123456789 是3的倍数，故123456789是合数。例7判断439、943这两个数是合数还是质数。解答因为 20 =400 4劳,2卩=4414夯所以找到了大于 439且接近439的平方数二。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、15、17、19。根据整除的特征， 很容易判断出439不能被2、3、5、7、11整除；用13、17、 19试除4

11、39，均不能整除。所以 439是质数。因为弓2 三 900 943所以找到了大于 943且接近943的平方数二亠。31以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、共十个。很容易推断出2、3、5、7、11均不能整除943;再用13、17、19、23、29试除943，发现943能被23整除。所以943是合数。例8m为一个质数，且 m+16、m+20也均是质数，求 m是多少？思路剖析我们知道，任何自然数被 3除只有三种情况：即被 3整除，被3除后余1和被3除后 余2,故，我们作如下讨论：(1) m不能是被3除余1的数，因为若 m被3除1,则m+20就能被3整除，就不是 质数了。(

12、2) m也不能是被3整除余2的数，因为若m被3整除余2,则m+16就能被3整除, 则不是质数，所以 m只可能是被3整除的数，且又要求为质数，因此m=3。解答设q为m被3除的商，若 m=3q+1，则3整除(m+20)若 m=3q+2，贝U 3 整除 m+16所以m=3q，且m为质数，所以 m取3。答：m为3。例9有人说：“任何7个连续自然数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话 是错的。解答解法一：题目要求我们具体找出7个连续的合数。中间夹着7个连续合数的两个质数，其差一定大于 7,所以只要找到差大于 7的两个相邻质数即可。质数89与97相邻，它们的差97-89=8 乙 所以89与97之间的

13、七个连续自然数 90、 91、92、93、94、95、96全是合数，没有质数。可见“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。解法二：任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的， 并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全 是合数。任取7个连续的自然数，比如 2、3、4、5、6、7、8, 840是它们的一个公倍数，给 2、 3、4、5、6、7、8 每一个都加上 840 得到 842、843、844、845、846、847、848，这 7 个连 续自然数分别有约数 2、3、4、5、6、7、8,可见它们都是合数， 没有一个是质数，因

14、此 “任 何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。发散思维训练1. 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？2. 975 X 935 X 972 X(),要使这个连乘积的最末4个数字都是0,在括号内最小应填 什么数？3. 把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？4 .用I、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并 且只能用1次，那么这九个数字最多能组成几个质数。5有三张卡片，在它们上面各写着一个数字7、8、9，从中抽出一张、二张、三张,接任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数写出来。

15、6两个质数的和是 50,求这两个质数乘积的最大值是多少。5的倍数的乘积。7. 2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的参考答案发散思维训练1解：如果这连续的九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最多有 4 个质数（如： 1 至 9 中有 4 个质数 2、3、5、 7）。如果这连续的九个自然数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个。这 5个奇数中必只有一个数其个位数是5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另 4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。2解：要使连乘积最末 4个数字都是

16、 0，连乘积应是 10000 的倍数，即要连乘积的因数中含 4 个 2，4个 5，因为2X 2X 2X 2X 5X 5X 5X 5=10000975=5 X 5X 39 , 935=5 X 187, 972=2 X 2X 243;其中已有两个 2和三个5，因此，只需 要再乘上两个 2 和一个 5，即 2X 2X 5=20 就可以了。故在括号内最小应填20。3解：首先假设可以拆成五个不同质数之和（分成六个或六个以上质数之和不可能）：33 是奇数，因此五个质数中不能有 2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3、5、7、11、13的和是 39，超过 33，所以分成五个是不可能的。假设 33 可以分

17、成四个质数之和， 33 是奇数，因此四个数中一定有一个偶数 2，即其余 三个的和是 31 ，显然可以找出其余三个分别是：3、5、23; 3、11、17; 7、11、13; 5、7、19。在这些三个数的乘积中最大的是7X 11 X 13=1001。假设33可分成三个质数和，只可能是 3、13、17; 3、11、19; 3、7、23; 5、l、17。乘积均小于2X 7 X 11X 13,33若分成为两个质数之和，只可能是2和31,乘积仅为62 , 故应将 33写成四个数 2、7、11、13的和时，它们的积最大。答：这几个质数分别是 2、7、11、13。4解：每个数字都要用到且只能用 1 次,同时又

18、要组成的质数最多。 我们在组成质数时, 尽可 能地将合数 4、6、8、9 和最小自然数 1 组成两位数,同时数字 8 和 9 可以组成质数 89,另 外,一位质数不能是 2、3、5、7 四个,不然数字 l、4、 6、8、9 无法组成两位质数,那么 当一位质数为 3个时,两位质数也为 3个（例如： 2、5、7、43、61、89或 2、3、5、47、 61、89）。答：这九个数字最多可组成 6 个质数。5解：数字卡片 9倒过来变成 6,而 7+8+9=24, 6+7+8=21 ,可知抽三张卡片时,无论按什么 顺序排列的三位数都能被 3整除,所以它们都不是质数。从中任取 =张卡片,按不同的顺序排列的两位数中有97、67、79、89 是质数;从中任意抽取一张卡片得到的一位数中只有 7是质数。所以,所求的质数有 7、97、79、89、67五个。6解：把50表示为两个质数的和，共有四种形式：50=47+3=43+7=37+13=31+19因为 31 X 19=589 37 X 13=481 43 X 7=301 47 X 3=141所以所求的最大值是 589。7解：因为二二 -1 -,它是有三个5的乘积的倍数，只需使另外三个数中要含有 4个因数2,因此，根据题目要求，三个数中必须含