二次函数建系问题

1、探究探究 图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面时，拱顶离水面2m，水面宽水面宽4m，水面下降，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？时，水面宽度增加了多少？l解一解一 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴，建立平轴，建立平面直角坐标系，如图所示面直角坐标系，如图所示.y可设这条抛物线的解析可设这条抛物线的解析式为式为:2axy 当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m即抛物线过点即抛物线过点(2,-2)22a2 5 .0a 这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:2x5.0y 当水面下

2、降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-3,这时有这时有:2x5 . 03 6x m62这这时时水水面面宽宽度度为为当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了m)462( 解二解二如图所示如图所示,以水面为以水面为x轴，以抛物线的对称轴为轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系直角坐标系.当拱桥离水面当拱桥离水面2m时时,水面宽水面宽4m即即:抛物线过点抛物线过点(2,0)22a02 5 .0a 这条抛物线所表示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:2x5.0y2 当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-1,这时有这

3、时有:2x5 . 012 6x m62这这时时水水面面宽宽度度为为当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了m)462( 可设这条抛物线的解析可设这条抛物线的解析式为式为:2axy2 此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(0,2)解三解三 如图所示如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中轴，以其中的一个交点的一个交点(如左边的点如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系.可设这条抛物线的解析可设这条抛物线的解析式为式为:2)2x(ay2 抛物线过点抛物线过点(0,0)2)2(a02 5 .0a 这条抛物线所表

4、示的二这条抛物线所表示的二次函数为次函数为:2)2x(5 . 0y2 当水面下降当水面下降1m时时,水面的水面的纵坐标为纵坐标为y=-1,这时有这时有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 当水面下降当水面下降1m时时,水面宽水面宽度增加了度增加了m)462( 此时此时,抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,2)这时水面的宽度为这时水面的宽度为:练练:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽大门底部宽AB=4m,顶部顶部C离地面的高度为离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车现有载满货物的汽车欲通过大门欲通过大门,货物顶部距地面货物

5、顶部距地面2.7m,装货宽度为装货宽度为2.4m.这辆汽这辆汽车能否顺利通过大门车能否顺利通过大门?若能若能,请你通过计算加以说明请你通过计算加以说明;若不能若不能,请简要说明理由请简要说明理由.解：如图，以解：如图，以AB所在的直线为所在的直线为x轴，轴，以以AB的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系直角坐标系.AB=4A(-2,0) B(2,0)OC=4.4 C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为设抛物线所表示的二次函数为4 . 4axy2 抛物线过抛物线过A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 抛物线所表示的二次函数为抛物线所表示的二次函数为4 . 4

6、x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 时，时，当当汽车能顺利经过大门汽车能顺利经过大门.例例某涵洞是抛物线形，它的截面如图某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.926.2.9所示，现测得水面宽所示，现测得水面宽1 16m6m，涵洞顶，涵洞顶点点O O到水面的距离为到水面的距离为2 24m4m，问距水面，问距水面1.51.5米米处水面宽是否超过处水面宽是否超过1 1米米? ?AB做一做做一做如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位ABAB时，水时，水面宽面宽2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就达到

7、警戒线米，就达到警戒线CD,CD,这时水面宽这时水面宽为为1010米。米。（1 1）求抛物线型拱桥的解析式。）求抛物线型拱桥的解析式。（2 2）若洪水到来时，水位以每小时）若洪水到来时，水位以每小时0.20.2米的速度上升，米的速度上升，从警戒线开始，从警戒线开始，在持续多少小时才能达在持续多少小时才能达到拱桥顶？到拱桥顶？（3 3）若正常水位时，有一艘）若正常水位时，有一艘宽宽8 8米，高米，高2.52.5米的小船米的小船能否安全通过这座桥？能否安全通过这座桥？A AB B20m20mCD练一练： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所

8、在处A（0，1. .25），水流路线最高处B（1，2. .25），求该抛物线的解析式。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。 y= (x-1)2 +2.25（0，1.25）A 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高地面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距离为8 8米，当球米，当球出手后水平距离为出手后水平距离为4 4米时到达最大高度米时到达最大高度4 4米，设篮米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 3米。米。209 问此球能否投中？问此球

9、能否投中？3米2098米4米4米048（4，4）920 xy如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标系，直角坐标系，点（点（4，4）是图中这段抛物）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：物线对应的函数为：442xay(0 x8)9200，抛物线经过点4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx时，当篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中 (选做选做)此时对方球员乙此时对方球员乙前来盖帽前来盖帽,已知乙跳起后摸到已知乙跳起后摸到的最大高度为的最大高度为3.19m,他如何他如何做才能盖帽成功做才能盖帽成功?若假设出手

10、的角度和力度都不变若假设出手的角度和力度都不变, ,则如何才能使此球命中则如何才能使此球命中? ?探究（1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点-5510642-2-4-6yx（4，4）（8，3）200,9 在出手角度和力度都不变的情况下在出手角度和力度都不变的情况下, ,小明的出手高度小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈为多少时能将篮球投入篮圈? ?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9208,9-5510642-2-4-6yX（8，3）（5，4）（4，4）200,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝在出手角度、力度及高

11、度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？入篮圈？(，），）例：某跳水运动员进行例：某跳水运动员进行10米跳台训练时，身体（看成一点）在空米跳台训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条中的运动路线是一条抛物线如图所示（图中标出的数据为已知条件），在跳某个件），在跳某个 规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最规范动作时，通常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高处距水面10 m,入水处距池边的距离为入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面，运动员在距水面高度为高度

12、为5 m以前，必须完成规范的翻腾动作，并调整好入水姿势，以前，必须完成规范的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。否则就会出现失误。23（1）求这条抛物线对应）求这条抛物线对应的二次函数解析式的二次函数解析式（2)在某次试跳时，测得运动员在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（在空中的运动路线是（1）中的抛物线且）中的抛物线且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为的水平距离为3 m，问此次跳水会不会失误，问此次跳水会不会失误，通过计算说明理由。通过计算说明理由。253m10m1m跳台支柱水面池边ByAx解解：（：（1）在给定的直角坐标系

13、下，设最高点为）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水，入水点位点位B，抛物线的关系式为：，抛物线的关系式为：y=ax2+bx+c由题意知，由题意知，O、B两点的坐标依次为（两点的坐标依次为（0，0），（），（2，-10）且顶点的纵坐标为）且顶点的纵坐标为23c=04a4ac-b2=234a+2b+c=-10解得：解得：a=-256b=103c=0或或a=-32b=-2c=0抛物线对称轴在抛物线对称轴在 y轴右轴右侧，侧，- 0b2a又又抛物线开口向下，抛物线开口向下，a0,b0a=- b= c=0256103 抛物线关系式为抛物线关系式为y=- x2+ x256103 (2)当运动员在空中

14、距池边的水平距离为当运动员在空中距池边的水平距离为3 m,即即3 -2= 时，时，y=(- ) ( )2+ =-53538525685103 85316此时运动员距水面的高为此时运动员距水面的高为10- =316143因此此次跳水会出现失误因此此次跳水会出现失误2：根据已知函数的表达式解决实际问题：根据已知函数的表达式解决实际问题：一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为：坐标系后，抛物线的表达式为： y= -1/25xy= -1/25x2 2+16+16(1)(1)拱桥的跨度是多少？拱桥的跨度是多少？(2) (2) 拱桥最高点离水面几

15、米？拱桥最高点离水面几米？(3) (3) 一货船高为一货船高为1212米，货船宽至少小于多米，货船宽至少小于多少米时，才能安全通过？少米时，才能安全通过？xyoABC 1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽，已知沿底部宽AB为为4m，高，高OC为为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱；集装箱顶部离地面顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由。该车能通过隧道吗？请说明理由.作业作业:例例 如图如图3 3，某隧道口的横截面是抛物线形，已知，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽路宽ABAB为为6 6米，最高点离地面的距离米，最高点离地面的距离OCOC为为5 5米以米以最高点最高点O O为坐标原点，抛物线的对称轴为为坐标原点，抛物线的对称轴为y y轴，轴，1 1米米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（求（1 1）以这一部分抛物线为图）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出象的函数解析式，并写出x x的取的取值范围；值范围；（2 2）