第八章截面的几何性质

1、第八章第八章 平面图形的几何性质平面图形的几何性质8-1 8-1 重心与形心重心与形心8-2 8-2 静矩静矩8-3 8-3 惯性矩、极惯性矩、惯性积及惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积及惯性半径8-4 8-4 形心主惯性轴和主惯性矩的概念形心主惯性轴和主惯性矩的概念 8-1 8-1 重心与形心重心与形心平面图形的几何性质平面图形的几何性质物体重力的作用线始终通过一个确定的点，物体重力的作用线始终通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点这个点就是物体重力的作用点, , 称为称为物体的物体的重心重心 。 重心的概念重心的概念 GxGxiicGyGyiicGzGziic 1.一般物体重心的坐标公

2、式一般物体重心的坐标公式 2. 2.均质物体重心的坐标公式均质物体重心的坐标公式VG iiVG表示单位体积的重力，表示单位体积的重力，为体积，则为体积，则ciiV xxV ciiV yyV ciiV zzV 均质物体的均质物体的重心重心就是其就是其几何中心几何中心，称为，称为形心。形心。对均质物体来说对均质物体来说重心重心和和形心是重合的。形心是重合的。 8-1 8-1 重心与形心重心与形心 CzydAzCzyCyO 3. 3.均质均质薄板薄板重心重心（形心）（形心）的坐标公式的坐标公式 8-1 8-1 重心与形心重心与形心AyAyiicAzAziicl简单图形的形心坐标简单图形的形心坐标l组

3、合平面图形的形心坐标组合平面图形的形心坐标 分割法分割法 负面积法负面积法 4. 4. 平面图形的形心计算平面图形的形心计算 8-1 8-1 重心与形心重心与形心利用对称法利用对称法 1122c12iiAyA yA yyAAA c0z 【例【例8-1】 试求图示试求图示T形截面的形心坐标。形截面的形心坐标。【解】【解】将平面图形分割为两个矩形，每个矩形的面将平面图形分割为两个矩形，每个矩形的面 积及形心坐标为积及形心坐标为 502001A01z1501y502002A02z252y 200 50 150200 50 25200 50200 5087.5 mm A1A2C1C2C21RA01z1

4、0y 22rA22Rz 02y0cy1 122c12iiA zA zA zzAAA 【解】将平面图形分割为两个圆【解】将平面图形分割为两个圆, ,每个圆的面积及形每个圆的面积及形 心坐标为心坐标为 【例【例8-2】 试求图示阴影部分平面图形的形心坐标试求图示阴影部分平面图形的形心坐标.阴影部分平面图形的形心坐标为阴影部分平面图形的形心坐标为2222222022()RRrr RRrRr 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三部分，以三部分，以 图形的铅垂对称轴为图形的铅垂对称轴为y轴，过轴，过II、 III的的 形心且与形心且与y轴垂直的轴线取为轴垂直的轴线取为z轴轴 ，则，则【

5、例【例8-3】求图示图形的形心】求图示图形的形心.150yCzOz1y120010yC300IIIIII10iii(200 10) (5150)2 (10 300) 0200 102 (10 300)38.8mmCCA yyA 由于对称知：由于对称知： zC=0 8-1 8-1 重心与形心重心与形心zyc 1.静矩定义静矩定义zAyASydASzdA zCyCSyASzA 8-2 8-2 静静 矩矩平面图形的几何性质平面图形的几何性质单位：单位：m3或或mm3静矩为代数量，可为静矩为代数量，可为正正负负零零zcycSA ySA z CzydAzCzyCyOA静矩与形静矩与形心的关系心的关系2.

6、简单图形的静矩简单图形的静矩 当坐标轴通过平面图形的形当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，图形心时，其静矩为零；反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴一定对某轴的静矩为零，则该轴一定通过图形的形心。通过图形的形心。zyiciiciSAzSAz 3.组合平面图形静矩与形心组合平面图形静矩与形心 组合图形对某轴的静矩等组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静于各简单图形对同一轴静矩的代数和。矩的代数和。zyc 8-2 8-2 静静 矩矩ziCiCiiyiCiCiiSA yyAASA zzAA 331mm 105 .1327050A332mm 109030300A36332211mm 1

7、02.36 1510901651013.5 ccciizyAyAyAS yc1=165 mm ， yc2=15 mm【例【例8-4】 计算图示计算图示T形截面对形截面对Z轴的静矩。轴的静矩。 【解】将【解】将T形截面分为两个矩形，其面积分别为形截面分为两个矩形，其面积分别为截面对截面对Z轴的静矩轴的静矩8-3 8-3 极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径zydAzyr rOA1.极惯性矩极惯性矩2.惯性矩惯性矩22zAyAIy dAIz dA ApdAI2r为图形对一点的为图形对一点的极惯性矩极惯性矩；3.惯性积惯性积为图形对为图形对z、y一对正交轴的一对正交轴

8、的惯性积；惯性积；zyAIzydA 分别为图形对分别为图形对z、y轴的轴的惯性矩；惯性矩；说明说明：惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯性矩的关系：222pyzAAIdA( zy )dA IIr r 一、定义一、定义 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正、负、零，惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正、负、零， 单位：单位：m4、cm4、mm4； 若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为交轴的惯性积为零零；8-3 8-3 极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径AiIAiIy2y2zzAIiAIiy

9、yzz 4惯性半径惯性半径或单位为单位为m或或mm。说明说明：型钢的惯性矩可直接由型钢表查得。型钢的惯性矩可直接由型钢表查得。123zbhI 123hbIy矩形矩形 644zDIIy圆形圆形64)(44zdDIIy环形环形5简单图形对形心轴的惯性矩简单图形对形心轴的惯性矩8-3 8-3 极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径b/2b/2yh/2h/2CzzycDzycDd2zzc2cyyIIa AIIb A 1惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式8-3 8-3 极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径OzyCdAzCyCabyzzC

10、yCA b和和a是图形的形心是图形的形心C在在Ozy坐标系中的坐标，所以它们是坐标系中的坐标，所以它们是 有正负的。有正负的。 zC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴 的惯性矩最小；的惯性矩最小；注意：注意：二、平行移轴公式及组合截面惯性矩的计算二、平行移轴公式及组合截面惯性矩的计算8-3 8-3 极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径极惯性矩、惯性矩、惯性积及惯性半径2zzc2cyyIIa AIIb A 1惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式二、平行移轴公式及组合截面惯性矩的计算二、平行移轴公式及组合截面惯性矩的计算 组合图形对某轴的惯

11、性组合图形对某轴的惯性矩，等于组成组合图形的矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴的惯各简单图形对同一轴的惯性矩之和。性矩之和。530530zy2c2c()()zziz iiiyyiy iiiIIIa AIIIa A 2组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩cc3017085200301853017020030139 mmiiiA yyA 【解】【解】（1）求截面相对底边的形心坐标）求截面相对底边的形心坐标（2）求截面对形心轴的惯性矩）求截面对形心轴的惯性矩2cz c332264()30 17020030 30 170 5420030 461212 40.3 10 mmziiiIIa A 【例【例

12、8-5】 计算图示计算图示T形截面对形心形截面对形心z轴的惯性矩轴的惯性矩Izc 200yczcC3017030IIIzz2z1c2yc1y【解解】组合截面形心组合截面形心C 在两对称轴的交点。由型钢表查得在两对称轴的交点。由型钢表查得 每根槽钢的形心每根槽钢的形心C1或或C2到腹板边缘的距离为到腹板边缘的距离为19.5 mm , 每根槽钢截面积为每根槽钢截面积为: 32123 283 10 mmAA. 【例【例8-6】 试计算图示由两根试计算图示由两根20槽钢组成的截面槽钢组成的截面 对形心轴对形心轴z、y 的惯性矩。的惯性矩。641z2z19 137 10 mmII. 1264121 43

13、6 10 mmyyII. 每根槽钢对本身形心轴的惯性矩为每根槽钢对本身形心轴的惯性矩为: 66641z2z19137 1019137 10383 10 mmzIII. 1212111623642250 21 4361019 53 283102 15.8710 mmyyyyyIIII( IaA ).(.). 【例【例8-6】32123 283 10 mmAA. 641z2z19 137 10 mmII. 1264121 436 10 mmyyII. 【解】【解】形心形心主惯性矩主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩主惯性轴主惯性轴(主轴主轴)：惯性积等于零的一对正交轴；惯性积等

14、于零的一对正交轴； 形心主轴形心主轴：通过截面形心的主轴。：通过截面形心的主轴。 截面的对称轴就是形心主轴。截面的对称轴就是形心主轴。 8-4 8-4 形心主轴和形心主惯性矩的概念形心主轴和形心主惯性矩的概念 凡通过截面形心，且包含有一根对称轴的一对相互凡通过截面形心，且包含有一根对称轴的一对相互垂直的坐标轴一定是形心主轴。垂直的坐标轴一定是形心主轴。 b/2b/2yh/2h/2Cz530530zy例例8 7 求图示求图示T型截面对形心轴的惯性矩。型截面对形心轴的惯性矩。530530303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面对形心轴的惯性矩形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：

15、先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：取参考坐标系如图，则： iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即截面的形心轴。即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：再求截面对形心轴的惯性矩：433ymm115601230512530IC 12122211222241122()()() ()34530mmCCCCCzzzzCzCIIa AIa AIyyAIyyA 由由平平行行移移轴轴定定理理得得：yCzyCzC例例8-7 解解：平行：平行z轴取一窄长条，其面积为轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则，则3222212h/zAh/bhIy d Ay (bd y ) 123hbIy又因为又因为x、y轴皆为对称轴，故轴皆为对称轴，故Izy=0。同理可得同理可得例例8 8 求图示矩形对通过其形心且与边求图示矩形对通过其形心且与边 平行的平行的z、y轴的惯性矩轴的惯性矩Iz、Iy和惯性积和惯性积Izy。dyb/2b/2yyh/2h/2CdAz 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到注意到I=Iz+Iy