乘法公式提高知识讲解

1、乘法公式（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、 完全平方公式进行计算 . 了解公式的几何意义， 能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂乘法公式知识要点】要点一、平方差公式平方差公式： (a b)(ab) a2b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释： 在这里， a,b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式. 但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果

2、是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 常见的变式有以下类型：（ 1）位置变化：如 (ab)( b a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（ 2）系数变化：如 (3x 5 y)(3 x 5y)（ 3）指数变化：如 (m3 n2 )( m3 n2 )（ 4）符号变化：如 ( a b)( a b)（ 5）增项变化：如(mnp)( m np)（ 6）增因式变化：如( ab)(ab)( a2b2 )( a4b4 )要点二、完全平方公式完全平方公式：ab2a22abb2(ab) 2a 22abb 2两数和 ( 差 ) 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释： 公式特点：左边

3、是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2 倍. 以下是常见的变形：a2b2a2a22abb2abbab2b2a4ab要点三、添括号法则添括号时， 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 .要点诠释： 添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确 .要点四、补充公式(x p)( xq)x2( p q)xpq ； ( ab)(a2 mabb2 )a3b3 ；(a b)3a33a2b3ab2b3； (abc)2a2b2c22ab 2ac 2bc .【典型例题】类型一

4、、平方差公式的应用1、计算 (2 1)( 221)(241)( 281)( 2161 )(2321)1【思路点拨】 本题直接计算比较复杂， 但观察可以发现2 1 与 2 1，22 1与 221，241与 241等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2 1），即可利用平方差公式逐步计算 .【答案与解析】解：原式 (2 1)(2 1)(221)( 241)(281)(2161 )(232 1) 1( 22 1)(221)(24 1)( 281)( 2161 )(2321)1 264 11 264 【总结升华】 对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察， 看是否有规律， 然后去解决，会事半

5、功倍，提高解题能力举一反三：【高清课堂 乘法公式 例 1（ 7）（ 8）】【变式1】计算：(1)( x 3)( x29)( x3)(2)( a b )(a b )( a2b2 )( a4b4 )【答案】解： (1)原式 (x 3)(x 3)( x29 )(x29 )( x29 ) x481 (2)原式 (a b )(a b )(a2b2 )(a 4b4 ) (a2b2)(a2b2)(a4b4) ( a4b4 )(a4b4 ) a8b8 【变式2】（2015?内江）（ 1）填空：（ a b）（ a+b） =；22） =；（ a b）（ a +ab+b3223（ a b）（ a +a b+ab +

6、b ） =（2）猜想：（ a b）（ an 1+an 2b+ab n 2+bn 1） =（其中 n 为正整数，且n2）（3）利用（ 2）猜想的结论计算：29 28+27 +23 22 +2【答案】解：（ 1）（ a b）（ a+b） =a2 b2；2232222333（a b）（ a +ab+b） =a +a b+ab a b ab b =ab ；（a b）（ a3+a2b+ab2+b3） =a4+a3b+a2b2+ab3 a3b a2 b2 ab3 b4=a4 b4 ；故答案为： a2 b2， a3 b3， a4 b4；（ 2）由（ 1）的规律可得：nn原式 =a b ，故答案为： an b

7、n；（ 3） 29 28+27 +2 3 22+2=（ 2 1）（ 28+26+24+22+2）=3422、（ 2016 春 ?户县期末）先化简，再求值已知 | m 1|+ （ n+ ） 2=0，求（ m2n+1）（ 1 m2n）的值【思路点拨】 先根据非负数的性质，求出 m，n 的值，再根据平方差公式求代数式的和即可【答案与解析】解： | m 1|+ （ n+） 2=0，m 1=0 ， n+=0， m=1 ， n= ，（ m2n+1）（ 1 m2n）4 2=m n 1=1 1=【总结升华】 本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化举一反三

8、：(x3)(x3)x( x2)1,【变式】解不等式组：5)(2x5)4x(1x).(2 x【答案】(x3)(x3)x( x2)1,解：5)(2x5)4x(1x).(2x由得 x29x22x1 ， 2x10 ， x5 由得 52(2 x) 24x4x2 ， 254x24x 4x2 ，4x25 ， x6.25 不等式组的解集为x 6.25类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（ 1）(a2b3) 2；（ 2） (a2b3c)( a2b3c)【思路点拨】（ 1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将a2b3 化成a(2 b3) ，看成a 与 (2b3) 和的平方再

9、应用公式； （ 2）是两个三项式相乘，其中 a 与 a 完全相同， 2b ， 3c 与2b ，3c 分别互为相反数， 与平方差公式特征一致，可适当添加括号， 使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”【答案与解析】解：（ 1）原式 a(2b3)2a22a(2b3)(2b3)2a24ab6a4b212b9a24b24ab6a12b9 （ 2）原式 a(2b3c) a(2b3c)a2(2 b3c) 2a24b212bc9c2 【总结升华】 配成公式中的“a ”“ b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)abca bc ； (2)2xy1y 12x；

10、(3)xyz2(4)2a 3b112a3b；【答案】解： (1)a b c a b c a (b c )a ( b c ) a2b2a2b22bc c2c a2b22bcc2 (2)2xy1y12x 2x (y 1)2x (y 1) 2x2y 12y22 y 14x2 4x2y22y1(3)x yz2xy2x22 xyzz2zy x22xy y22xz 2 yz z2 (4)2a3b112a3b2a3b21 (2 a3b)2 2(2 a3b)12 (2 a)22 2a 3b3b 24a6b1 4a212ab 9b24a6b14、已知 ABC的三边长 a 、 b 、 c 满足 a2b2c2ab bc ac0 ，试判断 ABC的形状【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系【答案与解析】解：a2b2c2abbcac0 ，2a22b22c22ab2bc2ac0 ，即 (a22ab b2 )(b22bcc2 )(a22acc2 )0 即 (a b) 2(b c)2( a c) 20 a b 0 ， b c0 ， a c0 ，即 abc ， ABC为