数学论文关于光滑曲线的距离定理

1、关于光滑曲线的距离定理（孝感学院数学与统计学院 湖北 孝感 432000）摘要：本文就条件最值问题进行讨论，提出拉格朗日乘数法的一个不严密之处。然后将问题过渡到点到曲线（面）以及曲线（面）到曲线（面）存在最短距离问题，给出一类这种问题的两个充分条件，最后建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理，通过它们获得求距离的一种新方法。关键词： 条件最值、光滑曲线、公共法线theorem on the smooth curves of the distanceabstract：this article discussed the issue of conditions of most value, pro

2、posed a lagrange multiplier method does not close the office. then the problem to point to the transition curve (surface) and the curve (surface) to the curve (surface) there is the shortest distance problem, we obtain two sufficient conditions for this problem, and finally establish a smooth curve

3、from the two nature of the theorem, they were seeking through a new method of distance.keywords：conditions of most value、smooth curve、 normal public.1 引例：问题的提出在目前被广泛采用的一些数学分析教材中，对涉及到求一个点到曲线（面）的距离，或曲线（面）到曲线（面）的距离时，通常是采用拉格朗日乘数法，把它转化为求无条件极值的问题下例便是许多教科书中普遍采用的一个例子：例11,2 抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离对于这类条

4、件最值的问题，从理论上讲，必须先判断所求问题一定存在最大值或最小值，然后通过求条件极值及与边界值、不可导点的值比较来得到条件最值3如文1在对例1的解答中指出：例1中问题的实质就是要求函数在条件及下的最大、最小值问题因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值例1中最值的存在性是依据“有界闭集上的连续函数一定存在最大值与最小值”这一定理，但对于无界的集合就不一定具有这一特性，条件最值的存在性须另证明，对具体问题要作具体分析例21,2 求函数（）在条件（）下的最小值在文2及4中用拉格朗日乘数法求出稳定点后指出：由于函数没有最大值，所以稳定点就是使函数达到最小值的点例35 求椭圆曲面到平面的最

5、短距离在文5所作的解答中也是未加任何说明，就直接指出它们之间存在最短距离笔者认为以上说法值得商榷，关于最小值的存在性的仅凭其没有最大值而做出的判断缺乏理论根据，特别容易引起初学者的理解偏差其中例1与例2是属于同一类型的问题，它们都是点到曲线（曲面）的最短距离问题，例2中问题的实质就是求维实空间中坐标原点到超平面（）的距离平方的最小值而例3是曲线（面）到曲线（面）之间的最短距离问题，那么是不是任意两条光滑曲线之间都存在最短距离呢？下面的反例说明该结论不真反例双曲线（）与直线之间不存在最短距离因为双曲线上的任何点与直线上的任何点之间的距离一定大于，而且对任何正数，一定存在双曲线上的点与直线上的点，

6、使得它们之间的距离满足：为方便应用，本文首先给出一类点到曲线（面）以及曲线（面）到曲线（面）存在最短距离的两个充分条件在此基础上给出本文的主要结果 建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理，通过它们获得求距离的一种新方法2 最小距离的存在性条件定义1 6 设维实空间中任意两点，规定距离定义2 6 设、是中两个非空点集，它们的距离定义为定义3 设、是中两个非空点集，如果存在，使得称点集、之间存在最短距离定理1设平面曲线由方程给出，并且它满足隐函数定理条件则平面上任一定点与该曲线之间存在最短距离证明记平面曲线构成的点集为，即，根据距离的定义，结合下确界的性质，故对于正数，存在使 （） （1）由上式知

7、上的平面点集有界，所以必存在收敛的子列若记，则由子列收敛，记，知两子数列、也收敛设，由及的连续性，令，则，故根据（1）及距离的三角不等式，有 （2）注意到，对（2）两边令，得 （3）故存在曲线上的点，使得定理2设两条平面曲线与分别由方程与给出，并且它们都满足隐函数定理条件，并且至少有一条曲线构成的点集有界。则曲线与之间存在最短距离证明为方便计，我们以与分别表示由这两条曲线所构成的点集，根据距离与确界的定义，则有不妨设有界，记函数，下面先证明函数在上连续，为此考虑中任意两点、，根据的定义，对，存在，使得即，由的任意性，可知同理可证，说明，此即，由此推知函数在上连续，但是一个有界闭集，故在上存在最

8、小值，故存在，使得再根据定理1，又存在，使，因此有通过定理1与定理2，可以很清楚的理解例1、例2、例3中最短距离的存在性，而且不难把相应结论推广到空间曲线与曲面上去限于篇幅，这里从略3 主要结果 上面讨论了一类点到曲线以及曲线到曲线之间存在最短距离的两个充分条件，下面将建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理为此，我们先考察两个简单结论：结论1设两个圆、不相交，如果、，使，则的延长线必经过两圆的圆心（参见图1、图2）（图1） （图2）结论2设直线与圆不相交，如果、，使，则一定垂直于直线，且的延长线必经过圆心从以上两个具体结论上看，都是圆或直线的法线这个结论可以推广到一般的光滑曲线上去，即定理3设

9、平面上不相交的两条光滑曲线与之间存在最短距离如果有、，使，则一定是与的公共法线推论1 设是平面上一条光滑曲线，定点不在上如果有，使，则一定是在点的法线定理4 设空间上不相交的两条光滑曲面与之间存在最短距离如果有、，使，则一定是与的公共法线推论2 设是空间中一个光滑曲面，定点不在上如果有，使，则一定是在点的法线4 应用 下面我们给出定理3、定理4及推论1的一些应用，通过一些例子说明该方法有别于传统的拉格朗日乘数法，它既是新颖的，又具有一定的简明性例3 求椭圆曲面到平面的最短距离解：令 上一点的法向量为 的法向量为 由定理4当，即，时 两曲面得到公共法线。 解得或 则法线方程为或 解得对应上的点或

10、 比较两种情况得最短距离为。例4 求曲线到直线的最短距离。 解：令， 两条曲线的法线分别为， 由定理3： 解得或 于是最短距离为点或到直线的距离 比较得最短距离为例5 已知，且求的最小值（2010年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试卷选作题）解：题目求的是原点到平面的距离的平方平面的法向量为（2， 3 ，3）由推论1可知过原点的法线距离最小 则设平面上的该点为 又由 解得 此时取得最小值。参考文献1 华东师范大学数学系编. 数学分析（下册）m. 北京: 高等教育出版社, 20012 陈传璋, 金福临等. 数学分析（下册）m. 北京: 高等教育出版社, 20003 谢惠民, 恽自求等. 数学分析习题课讲义（下册） m. 北京: 高等教育出版社, 20044 吴良森, 毛羽辉等. 数学分析学习指导书（下册） m. 北京: 高等教育出版社, 20045 许绍溥,姜东平等. 数学分析教程（上册）m. 南京: 南京大学出版社, 19906 程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础m. 北京: 高等教育出版社, 20037陈荣群 黄勇，二次型在求条件极值中的应用j。福建教育学院学报，2008年第