函数的单调性与曲线的凹凸性优秀课件

1、第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性（2）若在 内 , 则 在 上单调减少. ( , )a b( )0fx( )f x , a b（1）若在 内 , 则 在 上单调增加;( , )a b( )0

2、fx( )f x , a bxyo)(xfy xyo)(xfy abAB( ) 0f x定理定理1abBA一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法( )0fx设函数 在 上连续, 在 内可导.( )yf x( , )a b , a b说明：说明： 定理中的闭区间可以换成其它类型的区间.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性若定理定理 1)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()

3、(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,类似地可以证明 的情形. ( )0fx设函数,0)(Ixxf无妨设第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例1 11cos0,yx 判定函数 在 上的单调性0,2 sinyxx因为在 内(0,2 )解解所以函数 在 上的单调增加.0,2 sinyxx解解讨论函数 的单调性.例例21xyex. 1 xey(,0) ,内在, 0 y在 内(0,), 0 y:(,

4、).D 又函数单调减少；函数单调增加.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调 2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间. 3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界点），驻点可能是单调区间的分界点说明：说明： 4）如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高

5、等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 5）函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性因此函数yxO例例3),(,32xxy332xy 0 xy32xy 说明：说明：),(,3xxy在整个定义域内单调增加.此例表明，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点. 当然导数不存在的点不一定都是单调区间的分界点.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 3）用上述这些点把定

6、义域分成若干个互不重叠的子区间； 求函数单调区间的步骤求函数单调区间的步骤: 4）考察 在这些子区间内的符号，并由定( )fx 1）确定函数 的定义域；( )f x 2）在定义域内求出使 的点与 不( )fx( )0fx上述步骤可通过作表辅助完成.存在的点；理1得出单调区间. 注意上述这些点中若有某些点两侧的单调性一致， 则应将两侧合在一起构成一个单调区间.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例431292)(23xxxxf的单调区间.解解 12186)(2xxxf)2)(1(

7、6xx令,0)( xf得1,2.xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21, ) 1,();,2(12xOy1 2据此作下表：确定函数故)(xf的 区间为单调增单调增)(xf的 区间为).2,1 (单调减单调减第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例52133( )(2)f xxx的单调区间.解解 令,0)( xf得43xx)(xf )(xf(, 0)(0,4 3)(4 3, 2),2(4( ,).3(, 0);12331( )(2)(43 ),3fxxx

8、x易得，又 为 不存在的点.0,2xx( )fx据此作下表：确定函数故)(xf的 区间为4(0,).3单调增单调增)(xf的 区间为单调减单调减第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性tanxx 令 ,tan)(xxx则x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即tan0,xx例例6证证2,(0,).x证明在区间（a, b上 的方法：( )( )f xg x证明亦即tanxx2,(0,).xxx2sec1)(说明：说明：( )0.F a 1）设 ，证明(

9、)( )( )F xf xg x2）证 .( )0,( , )F xxa b第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例720 x时, 成立不等式.2sinxx证证,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此且证明令第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高

10、等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点,2)()()2(2121xfxfxxf问题问题:,2)()()2(2121xfxfxxf第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性yOx2x1x221xx 定义

11、定义)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .设函数设 是区间 I 内的点，如果曲0 x线 在经过点 时,00( , ( )x f x( )yf xyOx2x1x221xx yOx拐点曲线的凹凸性改变了, 那么就称点00(,()xf x拐点拐点.为这曲线的第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性xyo)(xfy xyo)(

12、xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y曲线凹凸性的判定理曲线凹凸性的判定理定理定理2(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .)(xf设函数在区间I 上有二阶导数第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性证证,21Ixx两式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf说明 (1) 成立; (2) )()(1fxf0 x)(f )(1

13、x!2)(1f 21)(x0 x0 x0 x)()(2fxf0 x)(f 0 x)(2x0 x!2)(2f 22)(x0 x)(2)()(21fxfxf0 x),(2)()(21fxfxf0 x分别取 可得12,xx x20000( )( )( )( )()()2!ff xf xf xxxxx利用一阶泰勒公式将在点 展开( )fx0 x1202,xxx记第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性判定曲线 在 上的凹凸性.例例80,0,xxyeye(,) xye因为在 内(,) 解解所以

14、函数 在 上是凹的.(,) xye解解讨论函数 的凹凸性.例例93yx23,6yxyx(,0) ,内在0,y在 内(0,)0,y :(,).D 又曲线是凸的；曲线是凹的.yOx3xy 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性xyO例例104xy 的凹凸性.解解 ,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点

15、x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,判断曲线第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例113xy 的拐点. 解解,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .Oxy凹凸 此例表明二阶导数不存在的点也可能是凹凸区说明：说明：求曲线间的分界点，即在曲线上的对应点处可能有拐点.第三章第三章 微分中值定

16、理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 求函数凹凸区间及拐点的步骤求函数凹凸区间及拐点的步骤: 4）考察 在这些子区间内的符号，并由定( )fx 1）确定函数 的定义域；( )f x 2）在定义域内求出使 的点与 不( )fx( )0fx上述步骤可通过作表辅助完成.存在的点；的子区间；理2得出凹凸区间. 注意上述这些点中若有某些点两侧的凹凸性一致，则应将两侧合在一起构成一个凹凸区间.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（

17、上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例1214334xxy的凹凸区间及拐点.,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(320320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0 (),(271132xyO求曲线y xy解解y 1) 求第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第

18、四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性(, 1/5) ( 1/5,0)(0,)解解432(51)9yxx 例例131) 函数的定义与为 . (,) 32(1)yxx的凹凸区间及拐点.213352,33yxx2) 求拐点可疑点坐标令0 y得11,5x 3) 列表判别1/500365250故该曲线在(, 1/5) 上是凸的,是凹的 ,而 ( 0 , 0 ) 不是拐点.( 1/5,)在上凸凹凹且 为二阶不可导的点.20 x 对应31265,025yy361525(,5) 为拐点,点y 下面求求曲线y xy第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学

19、高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上凹凸曲线弧的分界点.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性思考与练习思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示:)(0)(xfxf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在利用第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 .),(21)e1,(21212. 2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (e