回归预测的知识与常用方法概述

1、第九章第九章 回归预测回归预测l什么是回归预测l回归预测的常用方法 一元线性回归 一元非线性回归 二元线性回归 二元非线性回归 多元线性回归 多元非线性回归2021/5/2819.1 回归预测概述（回归预测概述（1）l回归预测以因果关系为前提，应用统计方法寻找一个适当的回归模型，对未来市场的变化进行预测。l回归分析具有比较严密的理论基础和成熟的计算分析方法；回归预测是回归分析在预测中的具体运用。l在回归预测中，预测对象称为因变量，相关的分析对象称为自变量。l回归分析根据自变量的多少分为一元回归分析、二元回归分析与多元回归分析，但有时候二元回归分析被并入到多元回归分析之中；回归分析根据回归关系可

2、分为线性回归分析与非线性回归分析。2021/5/2829.1 回归预测概述（回归预测概述（2）l回归分析的基本步骤如下： 第一步：判断变量之间是否存在有相关关系 第二步：确定因变量与自变量 第三步：建立回归预测模型 第四步：对回归预测模型进行评价 第五步：利用回归模型进行预测，分析评价预测值2021/5/2839.2 一元线性回归预测一元线性回归预测l一元线性回归预测是在一个因变量与一个自变量之间进行的线性相关关系的回归预测。l一元线性回归的基本步骤如下： 第一步：绘制散点图，观察自变量与因变量之间的相互关系； 第二步：估计参数，建立一元线性回归预测模型； 第三步：对预测模型进行检验； 第四步

3、：计算与确定置信区间。2021/5/284l一元线性回归预测的基本模型如下：xbyaxxxyxxyxxnyxxynbbxay 222)(其中2021/5/285l相关系数检验 相关系数是描述两个变量之间线性关系能密切程度的数量指标。相关系数r的取值范围是-1，1。若r=1则说明完全正相关，若r=-1则说明完全负相关；r=0说明不相关；r的值在（0，1）之间则正相关，在（-1，0）之间则为负相关。lt检验 t检验是利用t统计量来检验回归参数a和b是否具有统计意义。2021/5/286l相关系数的计算公式是：l另一个来自于方差分析的相关系数的计算公式是：222222)(1)(11)()()( yn

4、yxnxyxnxyryyxxyyxxr或者写成22)()(1yyyyr2021/5/287lt检验使用的统计量计算公式是：不成立。线性相关成立。反之则 当有取其中)2(050)()2()(222ntt.xxnyySSbtbb2021/5/288l由于预测值与实际值之间存在有不确定的偏差，因而需要确定预测值的有效区间，即置信区间。l一元线性回归预测的置信区间有下述表达式确定：为给定值。其中， :置信区间0220222)()(112)()()()2()()2(xxxxxnnyyySySntyySnty2021/5/289l例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行回归预测。数据序号xyx2

5、y2xy11.54.82.2523.047.2021.85.73.2432.4910.2632.47.05.7649.0016.8043.08.39.0068.8924.9053.510.912.25118.8138.1563.912.415.21153.7648.3674.413.119.36171.6157.6484.813.623.04184.9665.2895.015.325.00234.0976.50合计30.391.1115.111036.65345.092021/5/2810l9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。21.9.2721.9.27Monday, September

6、 27, 2021l10、低头要有勇气，抬头要有低气。16:03:1916:03:1916:039/27/2021 4:03:19 PMl11、人总是珍惜为得到。21.9.2716:03:1916:03Sep-2127-Sep-21l12、人乱于心，不宽余请。16:03:1916:03:1916:03Monday, September 27, 2021l13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。21.9.2721.9.2716:03:1916:03:19September 27, 2021l14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年9月27日星期一下午4时3分19秒16:03:1921.9.27

7、l15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。2021年9月下午4时3分21.9.2716:03September 27, 2021l16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年9月27日星期一16时03分19秒16:03:1927 September 2021l17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午4时3分19秒下午4时3分16:03:1921.9.2711l9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。21.9.2721.9.27Monday, September 27, 2021l10、低头要有勇气，抬头要有低气。16:03:1916:03:1916:039/27/2021 4:03

8、:19 PMl11、人总是珍惜为得到。21.9.2716:03:1916:03Sep-2127-Sep-21l12、人乱于心，不宽余请。16:03:1916:03:1916:03Monday, September 27, 2021l13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。21.9.2721.9.2716:03:1916:03:19September 27, 2021l14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年9月27日星期一下午4时3分19秒16:03:1921.9.27l15、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。2021年9月下午4时3分21.9.2716:03September 27, 2

9、021l16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年9月27日星期一16时03分19秒16:03:1927 September 2021l17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午4时3分19秒下午4时3分16:03:1921.9.2712l根据前表可知：xbxayxbyaxxnyxxynb9303. 22579. 02579. 093 .309303. 291 .919303. 23 .3011.11591 .913 .3009.3459)(222 所以有2021/5/2813l相关系数检验。 根据前表数据以及相关系数计算公式可知本例为显著线性相关。)7(666.0)7()29()2(

10、9911.01.919165.10363.309111.1151.913.309109.345)(1)(1105.005.005.0222222rrrrnrynyxnxyxnxyr即有查表得2021/5/2814lt检验。t检验的分析计算表如下：数据序号xy11.54.84.65-1.870.153.500.0221.85.75.53-1.570.172.460.0332.47.07.29-0.97-0.290.940.0843.08.39.05-0.37-0.750.140.5653.510.910.510.130.390.020.1563.912.411.680.530.720.280.5

11、274.413.113.151.03-0.051.060.0084.813.614.321.43-0.722.040.5295.015.314.911.630.392.660.15合计13.12.03yxx yy2)(xx 2)(yy2021/5/2815l根据上表数据以及t统计量的计算公式有：线性相关成立。 即有取)7(692.19365. 2)7()2(050692.191488. 09303. 21488. 01 .13)29(03. 2)()2()(025. 0025. 0222tttnt.SbtxxnyySbb2021/5/2816l计算确定置信区间。计算得到置信区间为10.42,1

12、3.54，具体计算过程如下：54.136612. 0365. 298.11)() 2(42.106612. 0365. 298.11)() 2(6612. 01 .13)37. 34(9112903. 2)()(112)()(22022202ySntyySntyxxxxxnnyyyS 4)(令2021/5/28179.3 一元非线性回归预测一元非线性回归预测l一元非线性回归预测的基本步骤l一元非线性回归预测的主要模型 指数曲线模型 双曲线模型 对数曲线模型 S型曲线模型l案例研究2021/5/2818l一元非线性回归预测的基本步骤如下： 第一步：确定非线性回归模型的类型。 第二步：通过变换将非

13、线性方程转化为线性方程。 第三步：用最小二乘法建立回归方程。 第四步：进行逆变换，将线性方程转换为需要的非线 性方程。2021/5/2819l设有指数曲线如下：bxayaayybxaeayaeybxbx则有： 设两边取对数：ln,lnlnlnlnln2021/5/2820l设有双曲线方程如下：xbayxxyyxbay则有： 设1,1112021/5/2821l设有对数曲线方程如下：xbayxxbay则有：logx 设log2021/5/2822l设有S形曲线方程如下：xbayexyybeayxx则有： 设,112021/5/2823l根据下表资料预测2021年变量值。观察年份199419951

14、99619971998199920002001时序(x)12345678观察值(y)3.04.25.78.311.516.022.431.02021/5/2824l根据上表可绘制出时间序列的散点图如下：观察值时间序列散点图051015202530350246810时序观察值系列12021/5/2825l所以在本例中，预测模型的类型应该是指数曲线。即有：bxayaayybxaeayaeybxbx则有： 设两边取对数：ln,lnlnlnlnln2021/5/2826l由最小二乘法有：xeyxyxbnyaaxxnyxyxnb335. 0761. 0222335. 0761. 0761. 083633

15、5. 081485.18ln335. 03620481485.18367378.958)( 即有：所以有：2021/5/28279.4 多元线性回归预测多元线性回归预测l二元一次线性回归预测l多元线性回归方程的矩阵解法2021/5/2828l二元一次线性回归的预测模型是：l二元一次线性回归的正规方程是：2211XbXbaY22112222222211111221122111)()()()()()(XbXbYaYYXXXXbXXXXbYYXXXXXXbXXbiiiiiiiiii2021/5/2829l例：根据下表进行二元一次线性回归预测。时序12345678910合计51655764168273

16、681382490111151410819531.834.340.545.343.547.747.149.158.571.2469495663667796991131622251006228.01158.7640.962.5611.560.640.044.84134.56590.491172.422662.561989.161413.81197.2556.9621.162.56153.763769.9615476.427242.4779.16561.96240.6455.3680.24-3.68-0.3227.28712.243022.925475.84582.253307.51142.422

17、0283.9-5.20.9179.33427.814349.227488.615860.611707.56711.64757.51970.629.9-7.21010.618143.773458.2133443YiX1iX2211)(XXi222)(XXi)(2211XXXXii)(11YYXXii)(22XXYYii2021/5/2830l将有关数据代入到正规方程，得到：2122112221212103259. 3282288. 908.7908.796 .10103259. 39 .46282288. 95 .81903259. 38 .54754 .2724242.11728 .54756

18、 .2748842.1172133443282288. 98 .54754 .2724242.11728 .54751334434 .272426 .274881334434 .272428 .54756 .274888 .547542.1172XXYXbXbYabbbbbb解方程有：2021/5/2831l设有多元一次线性方程组如下所示：nmnmmmmnnnnnnXbXbXbXbbYXbXbXbXbbYXbXbXbXbbYXbXbXbXbbY.332211023232221210213132121110133221102021/5/2832l所以有：mnmmnnnmnmnmmnnmxxxxx

19、xxxxXbbbBYYYbbbxxxxxxxxxYYY21222211211121212121222211211121111111 Y令2021/5/2833l所以有：XXXXadjXXYXXXBXBXXXYXXXXBXYXXBYTTTTTTTTTTT)()()()()(1111其中2021/5/2834l例：若有如下资料，请求回归方程。时序因变量(y)自变量(x1)自变量(x2)11021212223178104132451568610347145781233916910101810112021/5/2835l本例计算过程如下：480398603983365060501011101221121112110221