高考数学(5年高考3年模拟B精品课件浙江专用103抛物线及其性质

1、高考数学（浙江专用）10.3抛物线及其性质A组自主命题浙江卷题组考点一抛物线的定义和标准方程（2016浙江,9,4分）若抛物线yMx的点M至憔点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析 设Mgy。）,由抛物线方程知焦点F（l,0）.根据抛物线的定义W|MF|=Xo+l=lO,.-.Xo=9,即点 M到y轴的距离为9.考点二抛物线的几何性质1. （2015浙江,5,5分）如图，设抛物线yMx的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点AB,C,其中点AB在抛物线上，点C在y轴上，则ZiBCF与AACF的面积之比是（）|BF |+1 I AF |+1| BF F +1D| AF |2+1答案

2、A 过AB点分别作ytt的垂线，垂足分别为MN,则AM=|AF|-1JBN|=|BF|-1.可知护S ACF*.|CB|CF |sinZBCF cb|_ | BN| BF |一1 灼冼|-|CA|-|CF 1-sinZBCF :AM | AF |-1，2. (2016浙江文,19,15分)如图，设抛物线y=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点Ajljy轴的距离等 于|AF卜1.(1) 求p的值；(2) 若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x 轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析由题意可得抛物线上点aS憔点F的距离等于点ASiJ直线x=i

3、的距离，由抛物线的定 义得弓=1,即p=2.(2)由得抛物线方程为y=4x,F(l,0)X设A(F,2t),t工O,tfl.因为AF不垂直于潇由，可设直线AF:x=sy+l(s$O),由丫 =4x，消去x得*4sy4=0, x= sy+1故y”所以,b，T 又直线AB的斜率为磊,故直线FN的斜率为蛊 从而得直线FN:y=(xl),直线BN:y=2.2tt所叫玄十设M(m,O),由AMN三点共线得72tt2 -m2t + - t2 F+3 t 一口所以mvO或m2.经检验,m2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(oo,0)U(2,+8).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)

4、知抛物线的方程，可设A点坐标及直线AF的 方程，与抛物线方程联立可得B点坐标，进而得直线FN的方程与直线BN的方程，联立可得N点坐 标，最后利用AMN三点共线可得匕，最终求出结果.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解 析几何的基本思想方法和综合解题能力.3. (2014浙江文,22,14分)已知AABP的三个顶点都在抛物线C:x=4y上,F为抛物线C的焦点，点M 为 AB 的中 ,PF=3FM.(1)若|讳|=3,求点M的坐标;求AABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(O,1),准线方程为y=l. 设P(Xo,y。),由抛物线定义知|PF|=y

5、0+l,得到yo=2, 所以P(2辰2)或P(2屈2).由PF=3FM,分别得M-牛,；或必 牛,；O,lrO,得丄 mW 电.33又因为|闷=4/ +心鞭+111,点F(O,1)到直线AB的距离为d=-L，Vl+ k_所以 Saabp=4Saabf=8|iii- 11 Jk? +m=-y= J3n? -5n? +m+l. 记f(m)=3n?-5m2+m4-1m0)的准线经过双曲线迅于=1的一个焦点，则p=答案2返解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-y(p0),故直线x=耳过双曲线xW=l的左焦点(Qo),从而号=近，得P=2忑.2考点二抛物线的几何性质1. （2016课标全国丨

6、，10,5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于AB两点，交C的准线于D,E两 点.已知|AB|=40,|DE|=2石，则C的焦点到准线的距离为（）A.2B.4C.6D.8答案B不妨设Cgp如皿,2则屮瞬冷，由题意可知|O牛|OD|,得住）+8= 闿+5懈得p=4.故选B.2. (2018北京文,10,5分)已知直线1过点(1,0)且垂直于x轴.若1被抛物线yMax截得的线段长为4, 则抛物线的焦点坐标为.3. (2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线二各=l(a0,b0)的右支与焦点为F的 抛物线x2=2py(p0)交于AB两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲

7、线的渐近线方程为.答案尸芈x解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识，考查运算求解能力和方程的思想方法. 设 A(xi,yi),B(x2,y2).fx2=2py,因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4x =yi+耳+y?+,即yi+y?二p.由 x2 y2 消去得ay-2pb2y+a2b2=0,所以y】+y尸啤.由可得J当，故双曲线的渐近线方程为y=芈x.- aa 774. (2017北京理,18,14分)已知抛物线C:yMpx过点P(l,l).过点(0丄作直线1与抛物线C交于不同 的两点MN,过点M作x轴的垂线分别与直线O P,ON交于点AB,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦

8、点坐标和准线方程；求证:A为线段EM的中点.解析木题考查抛物线方程及性质，直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y=2pxa点得p气.所以抛物线c的方程为y=x. 抛物线c的焦点坐标为(丄,0,准线方程为尸：.(4丿4由题意，设直线啲方程为尸kx+g(k#=O),l与抛物线C的交点为M(x】,yJ,N(X2,yJ.由 y = kx+-,得 4&2+(4匕4)*+1=0.y2 = x则 x】+x2=LzxiX2=.k24k2因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=%点A的坐标为(x】,x)直线ON的方程为尸里兀x, 点B的坐标为(卸型、因为力+ 注2久=%冯+力耳一2“电(a +

9、 * + (+ * _ 2 Xj XjX?1 l_k(2k-2)x2+-(x, + ?q)_(2k-2)xp-+p-所以y】+注=2&.故A为线段EM的中点.方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联 立方程，再根据根与系数关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时，若要设成尸kx+m的形式，注意先讨论斜率是否存在;若要设成尸収 +口的形式，注意先讨论斜率是不是0.C组教师专用题组考点一抛物线的定义和标准方程(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,(-a)2=2px|

10、,(、即1,上=1+Q考点二抛物线的几何性质(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与屛由的交点为P,与C的5交点为 Q,fi|QF|=4|PQ|.求C的方程；过F的直线1与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线1与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求1的方程.设 A(XBy1),B(x2,y2),J!lJy1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2nr4-l,2m),|AB|=Vm2 +1 |yi-y2|=4(m2+l).又1啲斜率为皿 所以1啲方程为尸丄y+2m+3.m将上式代入于=4笛并整理Wy+y-4（2

11、nr+3）=0.m设 M(x3,y3),N(xy4),KlJy3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).m故MN的中点为Ef2_ + 2m2 + 3-、mm沖=4（血+1）屁+1. （I。分）2 nrI2=1IW,4即 4(1*+1)2+(2m+由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=1|MN|,从而丄|ABf+QE242丫+( 2Y=4(m2+l)2(2m2+l).-+ Zm丿 in化简得1用1=0,解得口尸1或n尸.1.所求直线1的方程为xyl=0或x+yl=0. （12分）评析 木题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、四点共圆等基础

12、知识. 考查解析几何的基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力对于第（2）问将直线1方程 设为x=m尸l（m工0）,这样可以避免讨论斜率不存在的情形，使问题简单化.7三年模拟AA组20162018年高考模拟基础题组考点一抛物线的定义和标准方程1. (2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线V=4ax的焦点坐标为() A.(a,0)或(a,0)B.(a,0)C.(-a,0)D.(|a|,0)答案B当a0时拋物线的焦点为(a,0),当a0) 一点A(l,a倒焦点的距离为2,则该抛物线的准线方程为;a= 答案 x=-l;2解析由焦半径公式知1+号=2,所以p=2,故准线方程为 由点A在

13、抛物线上知a=2p=4,从而玄=2.4. (2018浙江名校协作体期初，已知F是抛物线C：y=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y 轴于点N.若FM=y MN，贝I| FN |=.答案5解析 由题意知F(1,0),M(x,y),N(0,n),由FM =*編,得尸寸,尸扌.由于=4乙得d2=24,则|品|=JT + n2 =5.5. (2018浙江名校协作体,21)已知抛物线CxMpyCp。),且抛物线C在点P(l,f(l)处的切线斜率 为直线1与抛物线交于不同的两点AB,且直线AP垂直于直线BP.(1)求证:直线1过定点，并求出定点坐标；直线EP交y轴于点M直线AP交x轴于点N,求氓叫的

14、最大值.|MP|NP|解析 证明:y=,y=-x.2p P当x=l时，得丄=,. p=2. p 2抛物线的方程为=4y. (2分)t2_ t2_J.TAP 丄=-L- tit2+|(ti+t2)+ =0(*), (4 分)24直线AB的方程为ytf=(x2tj,即 2y=(ti+t2)x-2tit2, (6 分)将(*)式代入直线AB的方程得(t】+tj(x+1)+112A*令x+l=0,lZ2y=0,解得直线AB过定点_1 122盲2y=0,V （8 分）(2)设直线BM的方程为y扌=k(x-l),不妨设k0,联立” 4一町x2-4kx+4k-l=0/1=16k2-16k+40,x2 = 4

15、y,根据根与系数的关系得&+xp=4k, &=4k1,由于AP丄BP,同理可得Xa=-1-1, (10分)kA |AP|BP|=又 Tx+l,禺!=0,4-Xa|- 7k2+1 |Xb-Xp|=11 1|盼刘士兰，(12分)4. | AP | BP | = 4(l + k2)(2k-l)(k + 2) x _ = 16(2k-l)(k+2)=16( | MP | NP |k51+k224(4k2)=l +)(弘-l)(k + 2)k2k2k2k2 k斗+50W50,ZHBP的最大值为50. (15分) I MP | NP |考点二抛物线的几何性质1. （2018浙江镇海中学期中,6）已知抛物线

16、于=4x的焦点为F,O为原点，若M是抛物线上的动点，则 |OM|帀示的最大值为（）& 來 2/32品A-T B. 丁 C D 答案C设心,则辭寻誓令十斗贝牆=吟=丽不1 e（o,i,1 =|时，即尸2时，篇取到最大值羊，故选C.2. （2018浙江镇海中学5月模拟,16）已知抛物线yM兀焦点记为F,过点F作直线1交抛物线于AB 两点，则|AF| 為的最小值为.I BF I答案2忑2解析由焦点弦的性质知命+盅=】，即孟=2-島，所以|AF卜盒=阴+命2Q2,当且仅当|AF|=/2时取等号.3. (2018浙江嘛州高三期末质检,21)如图，已知抛物线？=%点A(1,1),B(4,2)拋物线上的点P

17、(x,y) (yl),直线AP与x轴相交于点(2，记厶PAB,AQAB的面积分别是(1) 若AP丄PB,求点P的纵坐标；(2) 求S5S2的最小值.解析(1)因为kAP=-y=-A-r=-,kBp=-= -x-1 y- -1 y+l x-4 y -4y-2由AP丄EP,得爲匾= .1： =1,即于产=0,得士 + 产.2y+l y-2(2)解法一:设直线AP:y-l=k(x-l)JlljQ| 1-i o j, 由 yl,知 0 k点 B 到直线 AP 的距离 d4k+2 + l k| = 3|k + l| = 3(k + l)Jl? +1 Jk，+1+124,解法二:设P(*,t)(tl),则

18、也=丄，所以直线 AQ:y-l= (x-l),P!ljQ(-tO). t+1t+1又直线 AB:x+y-2=0,|AB|=3 近.则点P到直线AB的距离山=卍+ = 2| = t+t-2,点q到直线AB的距离d = kt-2| = t + 2?V2 4172/2所以&5、=#佔|5也）=芈Jt2+t-2 5t + 10 =l(t-2)2-24.2故当t=2时,S5S2有最小值24.4. (2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),21)点A(xo,y)備工0)在抛物线尸疋上运动，设A点处的切 线为1,过点A作啲垂线交抛物线于另一点B,直线AB与拜由的交点为E,O是原点.(1) 若OAE是等腰三角

19、形，求A点坐标；(2) 当琉为何值时,OAB的面积最小.解析 QI 1 O AOAB-*ki=2xo,故直线AB的方程是y=-+y+y0,丐o,|+yo j.若OE=OA则冷+ y0 =xo +此即打农此方程无解;若oe=ea则+订卞+訥疙0,不合题意;若OA=EA贝用 +=+土,即 y。气,岭翔将y=-+|+yo代入抛物线方程得+4-Vo=o.S,tOAB= y * |OE|- |XA-|=y （片 + 旳+ 4 气（艸）I 令|Xo|=t,则Sm詔22Xo 24号+啓丄+2xo =上2（1+阿 2,2Xq8|xJ尸33斗1 + & +和8“令 s.mB0,得 F 空二，24.当x2=2/J

20、7-3时oAB的面积最小.245. (2016浙江宁波二模,19)在“2016”的Logo设计中，有这样一个图案：、其由线段1、抛物 线弧E及圆C三部分组成.对其进行代数化的分析，如图建系发现:圆C的方程为(x-4)2+y=16抛 物线弧E:y2px(p0,yM0,0WxW8),若圆心C恰为抛物线y-2px的焦点，线段1所在的直线恰为 抛物线b=2px的准线.(1) 求p的值及线段1所在的直线方程；理由.(2) P为圆C上的任意一点，过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点,问是否存在这样的点P,使 得弦AB在1上的投影的氏度与圆C的直径之比为4 : 3?若存在，求出P点坐标;若不存在,请说明y

21、/解析 由题意易得p=&直线方程为x=4. (5分)假设存在这样的点P,设P(Xo,yo)(OWxoW8), 则切线方程为(xo4)(x4)+y。尸16, (7分) 将其与抛物线方程丁=16諏立，显然Xo=A4,yoO. 整理得西二f于+%尸徐=0, (9分)16设弦AB在1上的投影为MN.由题意可 W|MN|=|yA-yB|=莎_32解得Xo=l（Xo=16舍去）.此时P(1，V7),WyA=|(/7 +2),yB=| (V7-2), (11 分)因为抛物线弧的右上端点坐标为(8,872), 且扌(刀+2)8,故此时的P不满足条件，即这样的P点不存在.(15分)B组2016-2018年高考模

22、拟综合题组（时间：60分钟 分值：88分）一、选择题1.（2018浙江宁波模拟,8）设抛物线yMx的焦点为F,过点P（5,0）的直线与抛物线相交于AB两点, 与抛物线的准线相交于C,若|BF|=5,则ABCF与ZACF的面积的比|空=、ACFA. |B.633C.害D.3129答案 D 设直线AB:x=my+5,代入抛物线于=4只可知,yMmy20=0,所以yAyB=-20.（不妨设yA00)上，该抛物线的焦点为F,过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为E,则ZEAF的平分线所在的直线方程为()A.2x+y 12=0B.x+2y-l 2=0C.2x-y-4=0D.x2yM=0答案 D 由题意知，所

23、求直线即为在点型的切线4y=4x斗，即x2yb4=0,故选D.3. (2017浙江“超级全能生”联考(3月),4)设抛物线的顶点在原点，其焦点在x轴上，若抛物线上 的点与焦点F的距离为2,贝=()A.4E.4或4C. -2D.2或2答案D依题意，可设抛物线方程为y2=-2px(p0),从而有1+号=2,得p=2.所以抛物线方程为y2 又点在抛物线上，所以于=4,所以玄=2,故选D.二、填空题4. (2018浙江台州第一次调考(4月),12)抛物线Cy=8x的焦点F的坐标为，若点P(馆,m)在抛物线C上,则线段PF的长度为.答案(2,0);/3+2解析 显然，焦点F的坐标为(2,0);由焦半径公

24、式知|PF|=/3+2.5. ( 2018浙江镇海中学阶段性测试,16)已知M(a,4)为抛物线y=2px(p0)一点,F为抛物线的焦 点,N为y轴上的动点，当sin,MNF的值最大时,AMNF的面积为5,则p的值为.答案2或8 解析 设N(0,n),当sinZMNF的值最大时，有ZMNF=，从而有NM -NF =0,得 yap+n2-4n=0,又2ap=16,：ap=8, /.n2-4n+4=0,HPn=2, /.当N的坐标为(0,2)时,sinZMNF 的值最 大.过点M作y轴的垂线,垂足为M,则梯形OFMM*的面积为10,10=# a +打4又ap=8,得p=2或&6. (2017浙江名

25、校(镇海中学)交流卷二,13)设抛物线yMx的焦点为F,P,R为抛物线上的点，若|PF|=4,则点P的坐标是;若直线RF与抛物线的另一交点为QJLA RQO(O为坐标原点)的重心在直线尸彳x,则直线RF的斜率是答案(3+2/3);2 或 1解析 由&+1=4,得冷=3,所以yp=VIJ=2苗，故P点坐标为(3,23 )显然直线RF的斜率存在且不为0,设直线RF:y=k(x-l)(k= 0).将其代入才=4%消去得ky2-4y-4k=0, 、4设斑&,刃),(2区,力),所以力+丫2=了 ,yiy2=-4,k因此 x1+x2=|(yf + y；)=-(y1 + y2)2 2沖=右+2,所以ARQ

26、。的重心坐标为弭 + 2、纠,又重心在直线尸刍d匕故兰=2丄U + 2,即心3k+2131 k ) 3k 丿331c 3 3 , k 丿=0,所以k=l或2.三、解答题7. （2018浙江温州二模（3月）,21,15分）如图,斜率为k的直线交抛物线xMy于AB两点,已知点B的 横坐标比点Afi勺横坐标大4,直线v=kx+l交线段AB于点&交抛物线于点P,Q.若点 册 横坐标等于0,求|PQ|的值；求|PRJ-|QRJ的最大值.解析设 P(x1,y1),Q(x2,y2).(1)由题意知 A(0,0),B(4,4), k= 1. (2 分)由(y = T+1,得疋+4&4=0,lx =4 则|PQ

27、|=Vl+k2 |xi-x2|=& (6分)设AB的方程y=kx+b,代入丈=4丫,得x2-4kx-4b=0.&%= J16k +16b =4, /. lc=l-b. (9 分)y= kx+b, y = _kx+l,(10 分)由-kx+ 1得丈+4&.4=0,K=4y,Xi4-x2=-4k,xr x2=-4,(11 分)则|PR| |QR|=-( 1 +k2)(x1-)(x2-)=-( 1x2-xR(x1+x2) 625144,(13 分)当k=士半时,(|PR|QR)唤彳(15 分)&(2018浙江嘉兴教学测试(4月),21,15分)如图，点P(l,l)为抛物线产址一定点，斜率为斗的直 线

28、与抛物线交于AB两点.(1)求弦AB的中点M的纵坐标；点Q是线段PE上任意一点(异于端点)，过Q作PAfi勺平行线交抛物线于E,F两点，求证:|QE|-|QF| -|QP|-|QB| 为定值.解析 由 yt Xa，作差，可得（yA+yB）（yA-yB）=XA-,二一-=为二 +，（*） （3 分）Ya+Yb Xa牝 2 所以+丫8=2,沪迸匹=1. （5分） 证明:设Q（xo,yo）,直线EF :xxof（yyo）,联立方程组（罕观一讯、一从y-tiy+tiyo-O, ly = x所以 yE+yF=ti,yE-yF=tiyo-Xo, （8 分）IQE|QF|=/7刃yEy|加宅朋|=（1 弋）|yj %,同理,|QP|QB|=（l+t；）|y；Xo|. （11 分）（13 分）由（1）屮（*）可 n,ti=-=yA+yp,t2=- =yB+yp, EF kpAkpB所以 ti+t2=（yA+yB）+2yp=-2+2=0, BP t!=-t2= tf=t;,所以 IQEHQFHQPHQBI,即|Q E|-|QFHQP|-|QB|=O. （15 分）9.