利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

1、例1. （ 2009清华大学自主招生）如图 1-1，已知椭圆2 2冷爲=1（ab 0），过椭圆左顶点 A（_a,0）的直线l与椭圆a2b2交于Q，与y轴交于R，过原点与I平行的直线与椭圆交于P。求证：AQ , 2OP, AR成等比数列。证明：把xoy平面上所有点横坐标不变， 纵坐标变为原来的 旦倍,b得到x o y平面，于是椭圆x2a2=1（a b 0）还原成圆2x2y=a $，如图 1-2 o因为 OP / AR，所以 OP 二 AR，即(xP, yP) = ( xA, yR),所以(xP,ayP) = (-XAEyR),即 OPAR，所以 OP/AR bb于是AQ,-. 2OP,AR成等比

2、数列2：=|AQ | | AR| = 2 |OP |2u .1 k2 |xQ a| 1 - k2 |xA | = 2(、1 k2 |xP |)2：=|XQ a| |XA |=2|XP |22：=| AQ | | AR |=2|O P | m2匚1n2，于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆,通常研究三类问题.研究横坐标（或纵坐标）之间的关系.在压缩变换.下，xoy平面上点P与原来xoy平面上对应点 P的横坐标相同，即Xp 二 Xp.利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题张晓东（桐乡市高级中学浙江桐乡314500）椭圆是到两定点 Fi, F2距离之和等于定值 2a（2a |片

3、F? |）的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）距离之比等于常数e（0 :：: e ：:1）的点的轨迹，是到两定点斜率之积为常数K（K ：0,K 1）的点的轨迹.而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷的解题并看到问题的 本质.定义压缩变换.:x o y平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的n （m . 0, n . 0,m = n）m得到xoy平面.2 22显然在压缩变换下，x o y平面上的圆C :x y m 就压缩为xoy平面上的椭圆R设 |OR|=d，由圆幕定理 |QR| AR丄d? _a2,、,QQI I QIII II II IIII IQQ又

4、 d2 a= |A R |2=|A Q | |A R | |Q R | | A R |= | A Q | | A R | d-a2 ,所以| AQ | | AR |=2a2，即成立。评注：把椭圆还原成圆后并可利用圆幕定理。例2. (2012全国高中数学联赛贵州省预赛)如图 2-1,2 2已知A,B是椭圆 笃 屯 =1(a .b .0)的左右顶点，P,Q是a b椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP与QB、PB与AQ分别交于点M , N。(1)求证：MN _ AB ；(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F?，求直线MN的方程。2-1解：把椭圆所在平面 xOy上所有点横坐标不变，纵坐标2 222 - 1(a

5、ba b变为原来的a得到x Oy平面，于是椭圆b(1)MN _ AB = XM = XN 二 M显然, 因为AB是直径,所以 N P _A M ，M Q _A N，所以B是厶A M N的垂心，所以 MN _AB。设M N与x轴交于R，并设弧AQ为弧度，弧BP为一：弧度,于是.PM B -八，OPF2 ja2x =c又 P,B, R,M 四点共圆，所以 PRB =/pM B，.11I. IIIIIII II所以 O P F2 r/p RB，所以 O P F2 ? O R P，2所以 |OP NOF2 | |OR | 所以 |ORFa ， ca2所以直线MN的方程为x，所以直线MN的方程为c评注：

6、把椭圆还原成圆后可利用圆中的角的关系证明相似。二研究直线的斜率.PAOFQN在压缩变换.下，xoy平面上直线的斜率 k变为原来xoy平面上对应直线斜率 k的-倍，即k n k.m例3. （2011年全国联赛）如图3-1,作斜率为1的直线I与32 2椭圆C:釘厂1交于A,B两点，且P（32-2）在直线l的左上方.（1）证明： PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若 /APB =60 ，求 PAB 的面积.图3-1解：作PQ _x轴交椭圆于另一点 Q ,连结OQ .把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍,2 2得到xoy平面，如图 3-2 .于是椭圆C : - 1还原成圆364

7、 2 2C : x y =36。(1)点Q的坐标为（3、2,-3、.2），直线AB的斜率为-3=1,3所以kOQ kAB = -1，所以OQ _ AB，由垂径定理知点 Q平OQA xB分弧IIIIIIIIIIA B，所以P Q平分ZA P B，因为P Q _ x轴，所以P A3-2与PB斜率互为相反数.所以xoy平面上直线 PA与PB的斜率也互为相反数， 即PQ平分.APB ,所以 PAB的内切圆的圆心在定直线 x =3瘁2上.（2）易得 PAB的面积为117 349评注：把椭圆还原成圆后可利用垂径定理。例4. （2013全国高中数学联赛湖北省预赛）x2椭圆- y2 =1内一定点（不在坐标轴上

8、） 4与椭圆交于A,C和B,D，若AB/CD。（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）过点P作AB的平行线，与椭圆交于 分线段EF。证明：把xy平面上所有点横坐标不变，,x2得到x o y平面，如图4-2 .于是椭圆x纵坐标变为原来的2倍,.2,2y2 =1还原成圆x y=4。(1)连结 AD,BC,因为 AB/CD，所以 AB/CD,所以A D =B C，即A B C D为等腰梯形所以 A P =B P ,又 A O =B O ,所以直线OP垂直平分弦 AB,_2y一 ?因为 P(x0,2y。)，所以 kpX0所以kAB = -，所以kAB紅。4y2yo (2)直线O P垂直弦A B， E

9、F / AB ,所以O P垂直弦E F，所以点P平分线段E F ,所以点P平分线段EF。评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中平行弦所夹弧相等。2 2例5. (2012卓越联盟)如图 5-1，设椭圆-a243点E(0,1)，且与椭圆交于 C,D两点。(1)求椭圆方程；(2)若直线l与x轴交于G，且GC ，求k的值;(3)设A是椭圆的下顶点，kAC,kAD分别为直线 AC,AD的斜率。图5-1证明：对任意k，恒有kAC KAD二-2。2 2解：(1)易得椭圆方程为y 1 ；64(2)把xoy平面上所有点横坐标变为原来的-，纵坐标不变，得32 2到x oy平面，如图5-2 .于是椭圆 -1还原成圆x64

10、取GE的中点M，因为GC =DE，所以M平分弦CD，IIIIIIIIII所以 O M _C D,又 MGO= MO G ,1ByK. I f jiL a jrPGO/Q JjC x1A图5-2.2.24。设I的斜率为k，所以kMG =-k，所以k (-k ) =-1，J6得k - -1，所以k = 3(3) kAC XAD =-2kAC kAD =-3,IIIIIIII设圆与y轴的交点为B ,连结B C ,B D，直线A C交x轴于P ,直线AD交x轴于QkAC=-tan MA B C_ AC-IBCA D kAC 二tan D Q x 二 tan A B D ,ACB DA C A D所以

11、kAC kAD =-3； ； =3AC ADB C B D1| AC|21 2IB C I| AD I sin . CAD |BD| sin. CBDC AD =3； 3 ,此式显然成立。S CBDIBE |评注：把椭圆还原成圆后可利用圆中的直角把斜率进行转化，从而把斜率乘积化为三角形面积之比。三.在压缩变换.下，xoy平面上封闭图形的面积 S是原来xoy平面对应封闭图形面积 S的-倍，即 S 二S.mm例6. (2013全国高中数学联赛山东省预赛)已知椭圆分别过椭圆的焦点F2，求该平行四边形面积的最大值2 、，2 乞.y_-1内接平行四边形的一组对边解：把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标

12、变为原来的2倍，得到xoy平面，如图6.于32 2是椭圆1还原成圆43ABCD面积的最于是椭圆=a2，如图7.:倍，得到X。y平面,(2)设A,B,C为曲线E上三点，且满足 OA OB OC =0 ,求厶ABC的面积。解：(1)易得曲线E的方程为(2)把xoy平面上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2 2 2 2 冷為=1还原成圆X ya b1I-+因为OA OB 00，所以 ABC的重心是原点 O ,I I II相应的， ABC的重心是原点O ,由垂径定理得 ABC是正三角形，所以 ABC得面积为33a2，4所以 ABC的面积为3-ab。4评注：把椭圆还原成圆后便可发现以原点为重心的三角形就是圆内接正三角形。2 (2C : x y 4，先求x o y平面上相应平行四边形大值。显然ABCD面积等于4个三角形OAB的面积S ,f fIIIIII作A B边上的高O N，设|O N |=dS =d .4 d2 * * S ( 0 :d2 乞1)显然当d =1时，S取最大值, 3 , 所以ABC