用于准直光束的非球面透镜的球差资料

1、杭州1电子科技大学毕业设计（论文）外文文献翻译毕业设计（论文）题目基于ZEMAX勺望远物镜成像质量分析翻译题目用于准直光束的非球面透镜的球差学院理学院专业光信息科学与技术姓名蒋勤健班级12075312学号12074214指导教师赵超樱用于准直光束的非球面透镜的球差1 1 * 1 2 Gabriel Castillo-Sa ntiago. Maximi no Ave nda? o-Alejo, Rufi no D iaz-Uribe, Luis Casta?eda 墨西哥国立自治大学 应用科学和技术开发中心，C.P.07340,Apdo .P ostal 70-186 D.F.,墨西哥国家理工学

2、院机械与电气工程学院，ticom cn, C.P.07340Q.F.，墨西哥*Corresp onding author: maxi mino .ave ndano ccadet.u nam.mx 2014年3月7日接收;2014年6月4日接收； 2014 年 6 月 19 日通过(Doc.ID 211649);2014 年 7 月 23 出版我们提供无论是平凸还是凸平球面镜的球面公式，作为参与折射过程傍轴参数的函数。 这些公式是由非球面透镜产生的焦散方程在泰勒级数中展开产生的，考虑到一个平面波阵面平行传播到光轴并与折射面相交。通过我们的解析公式和商业光学设计软件获得的非球面系 数的比较，显示

3、出良好的一致性。这在减少球差方面是很有用的。？2014美国光学学会OCIS编码：(080.1005)相差扩展；(080.2740)几何光学合计；(080.2468) 一阶光学； (260.6970)全反射。/10.1364/AO.53.0049391、简介众所周知，非球面透镜可以通过减少所需的元件的数目来帮助简化光学系统 的设计。此外，它们可以产生比传统的镜头更清晰的图像。目前非球面元件用于校正广角镜头的畸变。总之，非球面光学表面提供更高的性能，更简洁，更轻的 系统在广泛的应用。但是，它们没有合适的色差；即，它们被设计为一个特定的 波长工作。通常，用于表示一个标

4、准的非球面表面的偶数阶多项式的程度应该对 应于像差的程度。一旦确定了一个圭寸闭的圆锥曲线，在一个最小二乘拟合可以执 行来确定这些非球面的最佳值的地方，是需要校正的1。由于有问题的舍入错误，我们可能得到的数值效率低下。为了减少这些舍入错误，许多由一个非球面 和一个平面构成的单透镜的实际公式已经被分析地提供，而不诉诸于迭代优化软 件2.3。值得注意的是，这些单镜头可以应用在集中器，准直器，冷凝器等。 在这项工作中，我们考虑上述的非球面方程41，最近表示这类表面的新的公式已被定义5,6。另外，焦散面可以被定义为一个波前曲率的主要中心处，也可以定义为是折射或反射射线穿过光学系统的包迹7,8。我们已经看

5、到的焦散面形状可以代表我们称之为图像错误的单色像差。先前的论文9,10，我们专门考虑一个沿光轴传播的平面波，获得焦散面的解析，或者换句话说，焦散面的精确公式，是所有 折射光线的包迹。有两种轴上的单色像差的光学系统：球差(SA)和离焦。离焦量不影响其焦散面形式。以这种方式，我们特定考虑球差，因为众所周知，球 差是关于主光线对称的。这项工作中的贡献是在凸平或平凸非球面透镜的非球面 提供一些简单的解析公式(PLCs)，为了减少横向球差(TSA)和纵向球差(LSA)。 这些公式是从非球面透镜产生的确切焦散面方程的泰勒级数展开得到的10，他们和使用迭代优化软件得到的结果具有良好的一致性。这些公式是单非球

6、面透镜的傍轴参数的特定函数。值得注意的是，我们能够设计的非球面透镜，是有衍 射极限的。2、平凸非球面透镜在本文中，我们定义了 z轴平行于光轴；我们假设yz平面是入射面，其中 包含一个傍轴半径为R的横截面PLC;以及系统的起点是放置在透镜的第一顶 点。我们假设一束光线平行于光轴入射到透镜的左侧，不偏转地穿过透镜平面表 面，并且它们被传播到非球面表面。我们设定 H为入射孔径，t为入射孔径，口 为透镜特定波长的折射率，透镜浸没在折射率为 na（ni na）的介质中，这里我们 假设ShN代表子午面上的非球面方程，如下式：2N% 二C-A2（i.i）h2（i1）,（ 1）1 . 1 -（k 1）c2h2

7、7C =1/R代表轴曲率，k是圆锥常数，A4, A6, .，A2（N+1）代表非球面阶数，N是多项式中非球面的数量，h代表任意入射光线的高度，在方程（1）中的有 效取值- H空h乞H o TSA的数值与焦散曲线下的面积有关；因此，根据 10，当点源置于无限远处时，一个平凸透镜（PCL）的焦散面（zpc,ypc）可写为Z pc(h)= tShN(2) :n； ni、：2/22y“na(na -ni )S-nypc(h)这里，S-N和ShN分别是在-点出的第一阶第二阶导数，并且我们定义:(n： -ni2)S-：因此，从方程（1）我们得到:chS-S-N、2（i 1）A2（i1）h2i1,i AN、

8、2（i1）（2i1）A2（i 1）h2i.i =1方程（2）给出了点轨迹的坐标，这些参数代表了由非球面Zpc, ypc做泰勒级数展l22.1-(k 1)c2h2_c一 1 (k1)c2h23/22i值得注意的是，透镜在子午平面上的折射光线簇的包迹。或者，我们可以把Zpc(h) = f gNh2N, h -1%, I%,N 二ypc(h)=：Z gNh2N41, h 壬-hc,+hc,N 4f是奇异点，定义f二t na /(cna - nJ )，其和有效焦距(EFL)有关:EFL= f -t=f = na/(cna-nJ)，士hc表示临界高度。于是，因光线满足 h”hc ,这些光线发生全反射10

9、。根据我们的参考系，我们得到c 0，于是得到f ： 0 , 如表格1。此外，我们可以从方程(4看出Zpc包含h的偶数阶项，ypc包含奇数 阶项。而且，gN和Gn是傍轴参数c, k, n, n，A2(n+1)，A2n，A4的函数。有关系式: NgN，其中:n是常系数，也取决于傍轴参数，在这样一种方式 下它可被看作只是一个扩展。所以，Gn的第一系数可表示为：2322G =8naAt c (kna m ),G2 二叭-代4人 c3(1 k),2232322 /G3 =16A8C 4c n A4C (k 1) - Ac 4代na (叭(k 1)(7k 3)c5 -176人-2A6C4(11k 9) 1

10、6Ac3(9k 8) 384A4,.我们看到，G是一个包含折射过程的傍轴函数，也是第一非球面系数A4o换句话说，Gn包括所有的取决于A2 (N+1)，A2N， .，A4 (N羽)的非球面，是 傍轴参数。如果我们要求GG2 =. = Gn =0，于是方程(4)就简化成表达式Zpc(h) ” f和ypc ”0，产生一个焦距为f的准完美镜头其精度取决于我们可以提供的非球面系数。它遵循非零系数 Gn必须是一个偏离理想焦点的度量。这些系 数用来确定TSA。这种方法不同于商业软件，主要是因为它不依赖于入口孔，因此，它不依赖于归一化变量h/H。此外，由于非球面的分析地提供，减少了 由舍入的错误引入的问题。为

11、简单起见，在本文中我们对 Gn只写了三个因素，在这样一种方式下，通过求解每一个非球面的方程(5)作为c, k, na,n的函数,A48n；524222|c (k 1) na -(na -ni)16n；Ao7c9 (k 1)4 na(n： n：)4256n8(6)AI211510225匚21c (k 1) n -(na - ni )1O24n：0A14136 1222、6i33c (k 1) na -(na -口)2048n：2AI6429c15(k 1)7n：4(n； n2)732768n；4在这种结构中，所有的非球面都是独立于透镜厚度 t，于是得到:22 2N 1 2N xA23 北氏kna

12、 + ni (c/na )，这里N 一1。因此，方程（6）提供了一个非球面系数作为平凸透镜的特定傍轴参数。值得一提的是，如果我们考虑k=-n：/n2并且代入方程（6）,于是A二A二二A（n 1）=0;最后，将这些值代入方程（1）产生一个预期的圆锥面,与笛卡儿圆锥形吻合，是一个没有球差9的理想镜头（PL），如下式:$ naCh2hpL / 2 2、2 2 .na . na （ni -r）a）c h对于光线追踪，我们考虑一个F/=1的镜头，在PCL和凸平透镜使用下列参数配置：na=1，ni=1.5112,启780nm, R=5112mm, k =-1.023，t=36mm,直径 D=100mm,入

13、口孔径H二一D/2，这些值相应于THORLABS的AL100100-A项目，结果如图J所示：5c7(k 1)3n； -(n； n2)3128n6f ymmxI an乂rf图.1.由可编程控制器及其相关参数产生的折射过程用上述值代替方程（里的c,k,na，n，我们发现平凸透镜的结构如表1 所示。换句话说，通过把上述各傍轴参数代入商业光学软件，比如ZEMAX，并且对镜头进行优化，我们可以得到表2中的球面透镜参数。比较表2和表1中的 非球面系数，我们发现，他们在第一项相符合，但在其他项有略微的差别。最后 一项像差很大，因为软件控制的光线离开镜头了，也就是说，通过数值方法，非 球面表面的斜率发生变化。

14、上面给出的傍轴参数是用来减少平凸透镜的横向球差 的，在接下去的章节中进行分析。表.1PCL通过提供方程的解析公式（6）得到的非球面系数& X 1胪Ab x知乂 Q1tAjaxlO30% x倍Aia x 1 砂1,176631-3,114701714475742-4,42930311,7678675表.2PCL通过商业光学设计软件得到非球面系数Ai1(Afi K 10,1As x 诃*A10 M 1O1TA- k 10?3AHx KJ*3A6 X 1 呻1.1795179-2.9409532S.776394-260339255.914064-7.56428114106t2fi74我们定义Shi包

15、括圆锥部分和第一非球面系数 A，Shi包括圆锥部分加上两个非球面系数A4和A6，等等。把他们放入方程（1）。在多项式ShN中增加非球面 系数的N阶数，我们看到更高阶数的多项式的结果比低阶数的多项式减少了横 向球差，而更接近于理想凸曲面。此外，如图 2所示，他们是交替的从右到左分 布在理想透镜周围。换句话说，从理想透镜的&氏中减去ShN，我们用得到的ASh代入高阶多项式后与低阶多项式相比有更小的差异，如图3N7所示。虽然多项式有几个交点，在镜头的边界处有一个高阶的非球面系数。 如果 我们要求h hc，在这个范围内，该系列提供了一个好的球面镜的形状，这会降低横向球差。总之，在方程(4)中，Zpcf

16、，ypc0，总是一个渐进的系列11,12，当透镜十分快，F/ ;或者换句话说，1/( F/)比率很大，收敛慢那么很容 易产生很多非球面透镜的形状。由于缓慢的收敛，我们需要注意的是，通过减少 非球面透镜的入射孔径，可以把多项式简化于非球面与理想透镜之间。如图生所示，我们可以清楚地看到通过增加非球面的数量， 横向球差是如何 减少的。图.2.理想透镜与不同的非球面多项式比较结果3.0A%AS,-1-7图4 (a) TSA只考虑A4； (b) TSA考虑A, 和A8； (c) TSA考虑前四个非球面(d) TSA考虑A4到A2613个非球面。我们可以清楚地看到，TSA是通过增加非 球面的数量减少。Pe

17、rfeclxLens 、Ay -inAS厂3.平凸非球面透镜传统意义上，在凸平透镜结构里面设计非球面透镜是很常见的， 因为这会比 在平凸透镜结构里产生更少的横向球差。 由非球面透镜产生的焦散公式，考虑一 束光线平行于光轴传播后与图面相交，根据文献 10+ 丄 Q3/2A2(n2 + n)-n2门Zcpn：(n2 - n2)(n2 上)0；QINycp = h na上)(n2-n ；)3点：鼠2 , 2x 3 na (ni na 上)ShN(8)下标cp就是凸平结构，ShN，ShN分别代表方程（3）中的第一，第二阶数。我们定义Q, a和r如下式:Q =n；n上2 -(n： -n；)2shN，A

18、=yh2 +(n： n；应，2 2 -=(ni na )(t - ShN )ShN .150- _Zi-:x：蓼:：47 =t- r- -=Z-iWavcfruni图.5.由一个凸平非球面透镜产生折射的过程，及其相关参数值得一提的是，方程（8）给出了坐标点的轨迹，即用参数代表当点光源置于无限远处，由在子午平面的非球面透镜产生的所有折射光线的包迹，如图5所示。由上所述，我们可以把方程（8）里的Zpc,ypc展开成泰勒级数h，这里我们假设h ： R ,于是得到:Zcp(h)二FmNh2N,ycp(h)八丁 Mnn (9)N 4N二其中F代表与后焦距(BFL )有关的奇异点.,后焦距公式F -1 =

19、 naR/( 口 -)-/厲=EFL - gt/ n。在这些参数中，c 0，于是 F 0。我们从方程(9)可以看出，Zpc包含h的偶数阶项，ypc包含h的奇数阶项。于 是，mN和Mn是关于参数c,k, na,n的方程，有关系式m” =人皿”，这里的-n 是常熟。为简单起见，我们只考虑一阶展开，Mn的前两项即233422222Mi=8A4 na n -c ct( ni-na)(n n a)- ni n Jk 霭 n2 询霭 _n i ,M 2 =16cAenn -16n2n5A4c3(1 k) 4AJ - c4 (m - na)4( ni na)c3tna ( 10)2(na -nJ ni c2

20、(ct(1 k) -1) 8如,一方面，我们看到M1与所有的傍轴参数以及第一非球面系数A4有关，另一方面，M2是关于A4, a6 ,傍轴参数等的函数。再次设定M1M2 = Mn =0，从式(9) 球差的量减少到Zpc f和ypc 0，获得准理想透镜。通过为每个非球面设定 M1M 2 = .=Mn = 0并进一步简化，我们得到方程3A =Jct(ni-na)4(ni爲)-n；nikn；nj2nan；-n：，8naniAo =1等i2】88c4t4（ na-n）16（ na n J4 44 门眉3（ na - n： ）13（ na n J33n；256 nanj1On；n 5nan2 5n； 2n

21、2c2t2（na -nJ10（na nJ229n； -230n；n 332n；n2 520n3624537298726395n-331 nan-190nan：-n： ct（na-nj）（na- nJ I7na-118nan506nan-308nan65n： -150n；n： 508n；n4 1022 n；n3 -317n%7 -195nan： - nj55n：5 -77n；4nj 443n：3n212311410 c9687-1115nan 679nan2051 na n： -3614nani 366 7k（2 k）（2 k（2 k）nan7 86 95 104 113 122 1314153

22、311 nan -2207nan -621 nan：1099nan - 259nan -103nan56nan - 7： ,11C5,52054 41743A2打 nr728ct （na-nJ（nan：）728n：ct（na-nJ（nan：）2na1024na n：-6njn： -3nan：2 3n：3 52n：c3t3（na -n：）14（na nJ 319n；-128nd 150n：n2 47n：6262n；n：3 -159n：n：4 -94nan：5 4n：3c2t2（na - n：）（na n：）265n； -786n：n： 312n】n：26354453 6278724 .-609n

23、an：-7080nan：1830nan：4767nan：-1374nan：-936nan：2601 nan:n：ct（na -n：）8（na n：） 21 n：2 -484n：1 n： 3183n：0n：2 -6611 n：n：3 -4509n：n：4 24284n：n：5 2464n；n：6-23767 n；n：7 1459n：n：8 9018n；n：9 -1575njn；0 -1124nan 11 281 n；2 - n：6 14n：9 -282na8n：2247na7n：2 -8989n；6n：3 17372n；5n：4 - 5036n；4n：5 -41787n；3n：6 67305n；

24、2n：4432 n1 n：109910811712+21k5 + k10 + k10 + k5 + k -79970na n： +63975nan +18510nan -47156nan6 135 144 153 162an：9023nan： -7236nan：954nan：559nan： -210nan：21n： ,13A4 =cc，c 12 183264c6t6（ria n：）24（ru +n：）6 +1632n：c5t5（ru -n：）21（ria + n：） 5-7rian：2 2048律 n：-14n2n 5门3 7己 160n：2c4t4（na _n：）1

25、8（na n ）447n： -287nfn： 293n；n：2 98n：6-325n2n4 -196nan：5 553 n：3 10n：3c3t3 （n a- n：）15（ n n：） - 3220nan :9155：-245n6n3 -23817na；n：4 4984n4n5 15974n3n：6 -4382n2n7 -3192naq8 1064q9 312n：2n ：4c2t2（na -n：）12（na n ：）2281na4648n11n 24321n10n：2 -38339n3 -46061n：n：4142331njn：5 32364n：n：6 -141484n：n：7 2024（ 5

26、5440n3n8694n2q1 7364nan：11841n12 n：5ct（na -n：）9（na n：）33n：5 595n：5 -982n：4n： 884侃3n：2 -30941n：2n：323192na1 n：4 9760叙、：5 -153180n；n：6 -127040n；n：7 209780n】n8 66030n；n：9 -2975nan；4 -3448n2n：12 -123418|加0 -6972n：n12 - 32583n；n12 -n：6 （21n；3 -529n；2n： 5442n?n：6 -29858n20n：3 92240n：9n：4 -139064n；8n：5 - 2

27、3136人7 n：6 458568n：6n：7 - 641777n1a5n8 -40381na4n：9 978790n：3n：0 33k（2 k）（1 k k2）（3 k（3 k） -826462n：3*12 - 282809na1n1282O669na0n13 -322648n；n；4 -227859n；n；5 236700忆门：16 -34702门訊7 - 41756n；n：1821069n：n19 -1463nan：20 -1385丘口21 396nan：22 -33n：23在这种结构中，所有的非球面取决于傍轴参数，包括厚度t ,而且,A(n 1)= (c2N 1/(n2Nn3N)，这里

28、N _1 ；于是方程(11 )提供了非球面系数作为 傍轴参数的函数，来减少凸平透镜的球差。傍轴参数c,k,na，n代入方程(11)，得到非球面系数如表4_所示。比较ZEMAX (表3)和解析公式的非球面系数(表 4),第一项系数符合的很好，最 后一项系数，目差很大。众所周知，增加非球面的个数，横向球差将减少。例如， 得到如图6 (a)所示的多项式，包括锥形部分和第一非球面A4。获得图6 (b)的多项式包含圆锥面和前四个非球面的系数。图6 ( c)提供横向球差的多项式由圆锥部分加入前六个非球面系数构成，见表4。最后，我们可以看到，在图6(d )，多项式包含圆锥部分加上七个非球面如表格所示。A18

29、=-35-40-441.597474410， A20=-8.643541510， A22=4.734516510，A24=1.9908729 10-47，A26=2.9959944 10-51，A28=2.7431584 10-55。他们已获得 解析，虽然这些公式已被省略因为它们是非常大的。目前，我们已经获得了非球面高达A34，(见，例如13 )。值得注意的是，我们能够设计的非球面透镜， 是有衍射极限。图.6. (a)关于 Sh1 的 TSA,(b)关于 Sh4 的 TSA,(c)关于 Sh6 的 TSA,(d)关于 Sh13 的TSA。我们可以清楚地看到，TSA是通过增加非球面的数量减少的表

30、.3来自THORLABS的项目AL100100-A非球面系数Ai x诃血 K 10島 K 101&町k 10踞Aje x 1024几K仲Ajt x IQ314.427592727150191.Q2O11959.2124 酣 3-1.60li22fi4-&.fi3837-3.0821914表.4通过提供方程的解析公式(11)得到了 CPL的非球面系数At I07Agx 1O11At. k mF 10s1A4 x 1 沪Aie k io314.42789772.8715021.91855789.24092fi2-1 113465-10370183-1.6130044.结束语为了减少球差的量，当一个

31、点光源位于无穷远，凸平透镜或平凸透镜的一些 非球面的公式，与那些通过迭代优化软件获得的结果有良好的一致性。我们相信，在这里获得的非球面的方法是简单的，并且我们已经证明它大大减少了球差。这里提出的方法打开了单透镜的分析设计的大门，即使用的非球面。这项工作得到了墨西哥国立自治大学的研究项目和技术创新程序以及国家 科学和技术委员会的支持，感谢相应的作者GOM題-garci为我提供有价值的帮助 和意见。引用1. S. A. Lerner and J. M. Sasian,“Optical design with parametrically defined aspheric surfaces” App

32、l. Opt. 39, 5205 - 5213(2000).2. A. W. GreynoIds,“Design, analysis, and fabrication of a really bad lens,Proc. SPIE 7429, 74290E (2009).3. M. Avenda?o-Alejo, “Analytic formulas of the aspheric terms for convex-plano and piano-convex aspheric lenses, Proc.SPIE 8841, 88410E (2013).4. D. Malacara, Opti

33、cal Shop Testing, 3rd ed. (Wiley, 2007),Chap. 10, pp. 36- 397.5. G W. Forbes, “ Robust, efficient computational methods for axially symmetric optical aspheres” Opt. Express 18,19700- 19712 (2010)6. G W. Forbes, “ Shape specification for axially symmetric optical surfaces” Opt. Express 15, 5218- 5226 (2007).7. O. N. Stavroudis, The Mathematics of Geometrical and Physical Optics, the k-F un ctio n and its Ramificatio ns (Wiley-VCH Verlag, 2006), Chap. 12, pp. 179- 186.8. J. A. Hoffnagle and D. L. Shealy, “ Refracting the k-function:Stavroudiss solution to