2017-高中数学 第二章 空间向量与立体几何 4 用向量讨论垂直与平行（一）课件 北师大版选修2-1

1、1第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)2学习目标1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.3题型探究问题导学内容索引当堂训练4问题导学5知识点一空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lm akb(kR)线面平行la_面面平行v_aba0kv(kR)6知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系.由直线方向向量的定义知，若直线l1l2，则直线

2、l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(R).答案7思考(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.答案(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.答案8梳理梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.9题型探究10

3、类型一求直线的方向向量、平面的法向量例例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.ABAP1，AD ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解答11因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，1213引申探究引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.解答14即为直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n(x，y，z).15利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z).反思与感悟(5)赋非零值：取

4、其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.16跟踪训练跟踪训练1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD，PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量. 解答17因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB.又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB，所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60，所以ABC是等边三角形，所以CFAB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示). 18设平面DEF的法向量为m(x，y，z

5、).所以平面DEF的一个法向量为m(，2，2).19类型二利用空间向量证明平行问题例例2已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；证明20设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，21令z12，则y11，所以n1(0，1，2).又因为FC1 平面ADE，所以FC1平面ADE.22令z22，得y21，所以n2(0，1，2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1

6、F.(2)平面ADE平面B1C1F.证明23反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.24跟踪训练跟踪训练2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABC AD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答25分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0).y(1)2(z1)0.26存在E点，当点E为PD中点时，C

7、E平面PAB.27当堂训练281.若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1)答案解析23451292.已知直线l1的方向向量为a(2，3，5)，直线l2的方向向量为b(4，x，y)，若l1l2，则x，y的值分别是A.6和10 B.6和10 C.6和10 D.6和10所以x，y的值分别是6和10.23451答案解析30234513.若(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是A.(0，3，1) B.(2，0，1) C.(2，3，1) D.(2，3，1)能作为平面的法向量的向量与(2，3，1)共线，(2，3，1).答案解析3123451A.4 B.6 C.8 D.8答案解析32234515.在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_.(1，1，1)(答案不唯一)答案解析3323451不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1).设平面ACD1的一个法向量为a(x，y，z)，34规律与方法1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向