一元二次方程的四种解法

1、亠元二次方程的解法（1） 一元二次方程的概念考点、热点回顾1、元二次方程必须同时满足的三个条件(1)2、元二次方程的一般形式：二、典型例题xC y y + 6= 0 ) 0)或(X + h) 2= k(k 0)的一元二次方程的解法开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(X m)2 n( n 0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯)【复习回顾】1.方程（k 4） x2 5x 2k 30是一元二次方程，则k就满足的条件2. 若（a+1） x2+（x-1） 2=0二次项的系数为-2,则a=二

2、、典型例题例1:解下列方程:(1) x2= 2(2)4x2 1 = 0例2、解下列方程:（X1)2 22(X 1)402 12(3 x) 30推荐例3:1(1) 1 3x 14用直接开平方法解下列方程2 215 0(2) x 32 2 24 2x 1(3) x2 2ax a2 b 0三、课堂练习1.若方程（x-4 ） 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是（）A.6 B . o C .6 D . m=6 2.方程（1-x ） 2=2的根是（）、3、-3(2、1 + j2、J2 +13. 方程(3x 1)2= 5的解是4. 用直接开平方法解下列方程:2(1)4x =9;2(X+2) =1

3、6(3)(2x-1) 2=3；(4)3(2x+1)2=12四、课后练习1、4的平方根是，方程x24的解是2、2方程x 11的根是,方程24 x 11的根是3、.时，代数式x2 5的值是2;若x2 7810,则x =4、关于x的方程3x20若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是C 、k 15、解下列方程:(1)5x(5)128 0(6)24x2&已知一个等腰三角形的两边是方程4 (x0的两根，求等腰三角形的面积一、考点、热点回顾(3)-配方法1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x + h)= k (nA 0)形式的过程,进一步理解配方法的意义;2、填空：(1) x1 2+6x+=(x+

4、)(3)x 2-5x+=(x-)2(5)x +p x+=(x+ )2; (2)x 2-2x+=(x-)2; (4)x 2+x+=(x+ ) 223、将方程x2+2x-3=0化为(x+h)2=k的形式为小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤:1、把常数项移到方程右边;2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方;3、利用直接开平方法解之。小结2:当一元二次方程二次项系数不为 1时，用配方法解方程的步骤:二次项系数化为1;移项；直接开平方法求解.二、典型例题例1 ：将下列各进行配方: X2 + 10x+ X26x+ X2 5x +4例2 :解下列方程: X2 +bx +=(X

5、 +)(2) X 3x 10推荐例3:用配方法解下列关于X的方程:(2) X2 6ax 9a2 4b2 0例4:例1解方程：2x2 5x 2 3x2 4x 1 O例5、一个小球垂直向上抛的过程中,它离上抛点的距离h( m与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h 24t5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是16m推荐例6:求证：对任意实数X,代数式x4x4.5的值恒大于零。三、课堂练习1. 完成下列配方过程:(1)2x +8x+=(x+)2x -x+=(x-)2(4)x +4=(x+) =(x-) 42. 若 x2-mx+ 49 =(x+ - )2，贝U m的值为(255A77A.-55

6、3. 用配方法解下列方程：C.145D.-145(1)x 2-6x-16=0 ；(2)xx 2+3 x-4=0 ；(4)x4.已知直角三角形的三边2+3x-2=0 ；222 c-X- =O.33且两直角边a、b满足等式5. 用配方法解方程2y2-75y=1时，方程的两边都应加上()A. B. 4 C.D.516+b+2a-4b+5=(a+ )(b-)7. 用配方法解下列方程:2cc-y-2=0 ；23y(1) 2x +1=3x;(3)3x 2-4x+1=0 ;2x2=3-7x.8.若4x2-(4m-1)x+m2+1是一个完全平方式,m.四、课后练习1、用配方法解下列方程:2(1) x 6x 1

7、6 O3x(3)x27 6x1-X42、把方程x2 3x p O配方，得到x(1)求常数P与m的值；(2)求此方程的解。3、用配方法解方程x2px q0( p2 4q 0)4、2 3x212x 4 X 2 12X 1= 02x27x0,(5)3x 2+ 2x 3= 02x24x2、你能用配方法求：当X为何值时，代数式3x26x5有最大值4、用配方法解下列方程:(1) x21510x(4)-公式法、考点、热点回顾1、把方程 4-x2=3x化为 ax2+bx+c=0(a工0)形式为 b2-4ac=.2、方程x2+x-1=0的根是，所以方程的根的情况3、方程3x2+2=4x的判别式 b2-4ac=是

8、.元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根(3)4x(x-1)-3=0 ；(4) x2+5=275x.C.没有实数根D.不能确定来判断:总结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的根的情况可由当 b2-4ac 0 时，当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac -1 -1 1 08. 要使关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k应满足的条件是（）A. k 4/3 4/39. 已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m n的值可以是 m= ,n=.10.不解方程，判断下列方程根的情况:(1) 3x2 x + 1

9、 = 3x(2) 5 (x2 + 1)=7x(3) 3X2 443x = 411.解下列方程:2(1)x 6x 0;2(2)x12x272(3)2y y 50;X26x16四、课后练习1. 用公式法解方程72x2+4V3x=272,其中求的b2-4ac的值是（）B.4 C.732,方程的根2. 用公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4ac=是.。3. 用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是（）12 V14412B.=12144 12_ _ 12 J144 12 C.=D.=12 J144484. 三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，贝U

10、此三角形是三角形.25. 如果分式-口 的值为零，那么x=x 16. 用公式法解下列方程:(1) 3y 2-y-2 = 0 2 x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2 3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7.下列方程中，没有实数根的方程式()=9=3(4x-1)(x+1)=1+6y+7=08.方程ax2+bx+c=0(a工0)有实数根，那么总成立的式子是()2-4ac 0B. b2C. b -4ac O9.如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=(4)-因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解(1)x2 2x O(x-3)2

11、(x 3) O(3) x 1 2(x 1)211(4) x 29 O小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤:1 .将方程的右边化为02 .将方程左边因式分解.3 .把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4 .分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根二、典型例题例1:用因式分解法解方程：(1) x2 4x (2) x3 x(x 3)0例2:解方程(2x 1)2x20三、随堂练习1. 如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,那么c=，该方程的另一根为该方程可化为(x-1 ) (x) =02. 方程x2=x的根为()=0 B. x 1=0,X2=1C. x 1=0,x 2=-1D. x

12、 1=0,x 2=23.用因式分解法解下列方程:(1) (x+2) 2=3x+6;(3) 5 (2x-1 ) =(1-2x)(x+3);(2) (3x+2) 2-4x2=0;(4) 2 (x-3 ) 2+(3x-x 2)=O.4. 用适当方法解下列方程:2(1) (3x-1 ) =1;2 2(2) 2 (x+1) =x-1 ;(3) (2x-1) 2+2(2x-1)=3 ;(4) (y+3) (1-3y ) =1+2y2.四、课后训练1下面哪个方程用因式分解法解比较简便(1) x(3)3x -4x-1=0 2x 50 (2)(2x 1)210.2. 已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）B.只有一个根x=0A.只有一个根x=-3D.有两个根X1=0,X2=-44C.有两个根X1=0,X2=-43.如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（）=1 或 x=-2B.必须x=1=2 或 x=-1D.必须x=1且x=-24.方程（x+1）2=x+1的正确解法是（A.化为 x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为 x2+3x+2=0D.化为x+1=05.解方程x（ x+1