《应用计算方法教程》matlab作业二

1、作业六6-1 试验目的 计算特征值，实现算法试验内容：随机产生一个10阶整数矩阵，各数均在-5和5之间。（1） 用MATLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。（2） 用幂法求A的主特征值及对应的特征向量。（3） 用基本QR算法求全部特征值（可用MATLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。原理幂法：设矩阵A的特征值为并设A有完全的特征向量系(它们线性无关)，则对任意一个非零向量所构造的向量序列有，其中表示向量的第j个分量。为避免逐次迭代向量不为零的分量变得很大（ 时）或很小（ 时），将每一步的按其模最大的元素进行归一化。具体过程如下：选择初始向量，令，当充分大时。QR法求全部特征值： 由于此题

2、的矩阵是10阶的，上述算法计算时间过长，考虑采用改进算法移位加速。迭代格式如下： 计算右下角的二阶矩阵的特征值，当为实数时，选为中最接近的。程序A=-5+round(10*rand(10);V,D=eig(A)lamda u=lab6_2_power(A,1;1;1;1;1;1;1;1;1;1,10(-5),1000)d=lab6_3_qr2(A,10(-5)function lamda u=lab6_2_power(a,v,eps,N)lamda=0;err=1;k=1;while(keps) u=a*v; m j=max(abs(u); dc=abs(lamda-m); u=u/m; dv

3、=norm(u-v); err=max(dc,dv); v=u; lamda=m; k=k+1;endfunction D=lab6_3_qr2(A,eps)n,n=size(A);m=n;D=zeros(n,1);B=A;while(m1) while(abs(B(m,m-1)=eps*(abs(B(m-1,m-1)+abs(B(m,m) S=eig(B(m-1:m,m-1:m); j,k=min(abs(B(m,m)-S(1),abs(B(m,m)-S(2); Q,U=qr(B-S(k)*eye(m); B=U*Q+S(k)*eye(m); end A(1:m,1:m)=B; m=m-1;

4、 B=A(1:m,1:m);endD=diag(A);界面(1)(2)(3)作业七7-1 试验目的：熟悉代数插值试验内容：已知在f(x)在7个点的函数值如下表所示，分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(0.596)与f(0.906)的近似值。0.40.50.60.70.80.91.011.751.962.192.442.713.00原理拉格朗日插值多项式： 牛顿插值多项式： 其中。程序function y1=lab7_1_Lagrange(x,y,x1)y1=0;m n=size(x);n=n-1;for k=1:n+1 t=1; for i=1:n+1 if(i=k) t=t*(x1-x(

5、i)/(x(k)-x(i); end end y1=y1+t*y(k);endfunction y1=lab7_2_Newton(x,y,x1)m n=size(x);n=n-1;for j=1:n for i=n+1:-1:j+1 y(i)=(y(i)-y(i-1)/(x(i)-x(i-j); endendy1=y(n+1);for j=n:-1:1 y1=y(j)+(x1-x(j)*y1;end界面作业八8-1 试验目的：熟悉最小二乘法拟合多项式试验内容：给定数据点(,)，X0.400.550.650.800.901.05f(x)0.410750.578150.696750.888111.

6、026521.25386用3次最小二乘多项式拟合数据，并求平方误差。原理要作三次最小二乘拟合，令，计算法方程，其中，。其平方误差为。 程序x=0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05;f=0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386;G=zeros(4,4);for j=1:4 for k=1:4 for i=1:6 G(j,k)=G(j,k)+x(i)(j+k-2); end endendd=zeros(4,1);for k=1:4 for i=1:6 d(k,1)=d(k,1)+f(i)*x(i)(k-1); endenda

7、=Gds=0;for i=1:6 s=s+(f(i)-(a(1)+a(2)*x(i)+a(3)*x(i)2+a(4)*x(i)3)2;ends界面作业九9-1 试验目的：熟悉数值积分公式，掌握数值计算定积分的方法试验内容：采用不同方法数值计算积分 编写复合梯形公式和复合Simpson公式通用子程序，分别采用4，8，16，32，64等分区间计算。原理复合梯形公式：将区间a,b作n等分，结点，复合Simpson公式：将区间a,b作2n等分，记， 程序function y=lab9_f(x)y=(log(1+x)/x;function y=lab9_1_fTrapezoid(a,b,eps,n)f0

8、=0;h=(b-a)/n;for i=0:n-1 f0=f0+lab9_f(a+i*(b-a)/n)+lab9_f(a+(i+1)*(b-a)/n);endy=f0*h/2;function y=lab9_2_fSimpson(a,b,eps,n)f0=0;h=(b-a)/n;k=n/2;for i=0:k-1 f0=f0+lab9_f(a+2*i*(b-a)/n)+4*lab9_f(a+(2*i+1)*(b-a)/n)+lab9_f(a+(2*i+2)*(b-a)/n);endy=f0*h/3;界面作业十10-1 试验目的：学会用Euler法、改进Euler法、经典的4阶Runge-Kutt

9、a法求解常微分方程初值问题。试验内容：分别用1) Euler法（步长h=0.025）2) 改进Euler法（步长h=0.05）3) 4阶Runge-Kutta（步长h=0.1）求解下面的初值问题： 比较公共节点解的误差。精确解为。原理Euler法：令，（）。改进Euler法（梯形公式）： 4阶Runge-Kutta：程序y0=-2;h=0.025;n=2/h;y(1)=y0-h*(y0+1)*(y0+3);for i=2:n y(i)=y(i-1)-h*(y(i-1)+1)*(y(i-1)+3);endyfor j=1:n y1(j)=-3+2/(1+exp(-4*j/n);endy1x=0.

10、025:0.025:2;plot(x,y1,r,x,y,b)y0=-2;h=0.05;n=2/h;k1=-(y0+1)*(y0+3);k2=-(y0+h*k1+1)*(y0+h*k1+3);y21(1)=y0+h/2*(k1+k2);for i=2:n k1=-(y21(i-1)+1)*(y21(i-1)+3); k2=-(y21(i-1)+h*k1+1)*(y21(i-1)+h*k1+3); y21(i)=y21(i-1)+h/2*(k1+k2);endy21for j=1:n y22(j)=-3+2/(1+exp(-4*j/n);endy22x=0.05:0.05:2;plot(x,y21,r,x,y22,b)y0=-2;h=0.1;n=2/h;k1=-h*(y0+1)*(y0+3);k2=-h*(y0+k1/2+1)*(y0+k1/2+3);k3=-h*(y0+k2/2+1)*(y0+k2/2+3);k4=-h*(y0+k3+1)*(y0+k3+3);y31(1)=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;for i=2:n k1=-h*(y31(i-1)+1)*(y31(i-1)+3); k2=-h*(y31(i-1)+k1/2+1)*(y31(i-1)+k1/2+3); k3=-h*(y31(i-1)+k2/2+1)*(y31(i