圆锥曲线几何问题的转换

1、几何问题的转换、根底知识：在圆锥曲线问题中， 经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化， 合理的进行几何条件 的转化往往可以起到“四两拨千斤的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线 段后可以承载向量； 另一方面， 向量在坐标系中能够坐标化， 从而将几何图形的要素转化为 坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：1角度问题： 假设与直线倾斜角有关，那么可以考虑转化为斜率 k 假设需要判断角是锐角还是钝角，那么可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符 号进行判定2

2、点与圆的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些 题目中计算量较大 假设给出圆的一条直径，那么可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：假设点在圆内，uur uuur uur uuurACB为钝角再转为向量：CA CB 0 ;假设点在圆上，贝V ACB为直角CA CB 0 ；uur uuur假设点在圆外，贝UACB为锐角CA CB 0 3三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，假设斜率相等，贝三点共线 通过向量：任取两点确定向量，假设向量共线，贝三点共线4直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：r r r r rra

3、x1, y1 ,bx2, y2，贝 a,b 共线x1y2x2y1; abx1x2y1y205平行共线线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系6平行共线线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题注 意向量的方向是同向还是反向(1)三角形的“重心3、常见几何图形问题的转化设不共线的三点 A x-,y- ,B x2,y2 ,C x3,y3，那么VABC的重心 G Xi X2 X3 力 y2 y333(2)三角形的“垂心：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3)图):I在三角形的“内心:伴随着角平分线,IP AC, IQ AQBAC的角平分线上APA

4、QA(4)P是以DA,DB为邻边的平行四边形的顶点uuu uuu murDP DA DB(5)P是以DA,DB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上(6)共线线段长度的乘积：假设 A,B,C共线，那么线段的乘积可转化为向量的数量积,从而简化运算,(要注意向量的夹角)ujur uuir AC BCuuu uuu例如：AC AB AC AB， AC BC、典型例题:2 2例1如图：A,B分别是椭圆C : 爲 a2 b21 a b 0的左右顶点，F为其右焦点，2是AF , FB 的等差中项，J3是AF , FB的等比中项1求椭圆C的方程2P是椭圆C上异于A,B的动点，直线I过点A且垂直 于x轴，假

5、设过F作直线FQ AP，并交直线I于点Q。证明:Q,P,B三点共线解: 1依题意可得： A a,0 ,B a,0 ,F c,0AF c a, BF| a cQ 2是AF , FB的等差中项4 AF FB a c a c 2aa 22qJ3是 I AF , FB 的等比中项J3AF FB a c a c a2 c2 b2b23Q椭圆方程为:2由1可得：A 2,0 ,B 2,0 ,F 1,0设AP: y k x 2，设P x1,y1 ，联立直线与椭圆方程可得2 22 2 23 x 16k x 16k1203x 4y 1224k y k xXaX116k212X14k23y1 kx1212k4k23

6、6 8k24k23另一方面，因为FQ AP6 8k212k4k2 3,4k2 3FQ : y1，联立方程:Q B 2,04kkBp12k4k236 8k24k2312k16k234kB,Q,P三点共线2X例2:椭圆a1(a0)的右焦点为F ,M为上顶点，O为坐标原点，假设1 OMF的面积为Q F PQM的垂心，且椭圆的离心率为2(1 )求椭圆的方程;(2)是否存在直线I交椭圆于P ,Q两点，且使点F PQM的垂心假设存在，求出直线I的方程；假设不存在，请说明理由.SOMFOM OF1 be2.2 :1:1椭圆方程为:x2(2 )设P(X1，yJ ,b2e22Q(x2, y2),由(1)可得：M

7、 0,1 ,F 1,0MFPQkMF设 PQ:y x m由F为厶PQM的垂心可得：MP FQuuruuuMPx1, y1 1 ,FQX21$2uur uuuMP FQ % x2 1yiy2因为P,Q在直线y xy2X2m，代入可得:mX x21x1m 1X2即 2xiX2 (xiX2 )(m1) m考虑联立方程:x m2y2得3x24mx2m216m2122m2 2x-ix24mT，x1x22m2代入可得:解得:1时, PQM4m不存在,故舍去4时，所求直线l存在，直线3小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质,l的方程为y4x -3为垂心与三角形顶点的连线垂直底边,所以对垂心的利用通常伴

8、随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系)2x例3:如图，椭圆冷a2每 1(a b 0)的一个焦点是b2F 1,0， O为坐标原点(1)假设椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,椭圆的方程；(2)设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于A,B两点，假设直线l绕点F任意转动，恒有OAOBAB求a的取值范围.解：(1)由图可得:由正三角形性质可得:MFOb2kMFb ,3椭圆方程为:2 y3(2)设 l : y,BX22Q OA2OBABcos AOBOA|OB|2 |AB2 OA OBy2 0AOB为钝角uun ujuOA OB x1x2联立直线与椭圆方程:y kb2

9、x2a2b2b2x2a2k2a2b2，整理可得:a2k2 b2x2 2a2k2x a2. 2 2. 2k a bx-ix22, 22 a k2. 2a k尹1x22, 2 2, 2a k a b2 2 2a k by2k2人1X2k2x1x2 k2 x1X2k2b2k22.2 , 2. 2 2a k .2 k b ka k b2 2 2 a b k2ax-ix2y22| 2221 2222| 2ak ab kb abka2k2a2b22 2 2 2 2k b abk 0恒成立即 k2 a2b2 a2b2a2b2 恒成立a2 b2a2b2Q b2a22a210解得:1 .5a的取值范围是2 y

10、b22xb 0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距,例4：设A,B分别为椭圆a且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 求椭圆的方程;2设P为直线x 4上不同于点4,0的任意一点，假设B (4,0)Jr N直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M ,N，证明：点B在以MN为直径的圆内解：1依题意可得a2c，且到右焦点距离的最小值为 a可解得：a 2,c2x椭圆方程为一42y_32思路：假设要证 B在以MN为直径的圆内，只需证明MBN为钝角，即 MBP为锐uuuu uuu角，从而只需证明BM BP 0，因为A,B坐标可求，所以只要设出AM直线斜率为k，uuLW mu联立方程利用韦达定理即可用k

11、表示出M的坐标，从而 BM BP可用k1表示。即可判断muu uunBM BP的符号，进而完成证明解：由1可得A 2,0 ,B 2,0，设直线AM,BN的斜率分别为k，M x1,y1 ，那么AM : y k x 2 联立AM与椭圆方程可得：y k x 2，消去y可得:2 2 J3x2 4y2124k23 x2 16k2x 16k212 0216k1224k23x16 8k24k23y1kX12k f，即 M 字,4k234k23 4k23设 P 4,y。因为P在直线AM上，所以y0 k 4 2 6k，即P 4,6kuuuBPujur2,6k ,BM16k24k234k212k3uuuBPBur

12、卓4k236k W4k2340k24k2MBP为锐角,MBN为钝角M在以MN为直径的圆内例5:如下图，过抛物线 x4y的焦点F的直线I线相交于 A, B两点，与椭圆存在直线I使得AF CF程，假设不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点BFDF0,1，设I： ykx1的交点为C, D假设存在，求出直线Q AFCFBFDFAFBFD；，不妨设:DFCFuuu 那么AFuuu uuiruuuFB, DFFC设 A Xi,yi ,BX22 ,CX3,y3,D X4,y4uuurAFXi,1uury1 ,FBX2,y2 1ujuCFX3,1UHTy3 ,FDX4,y41X1X2考虑联立直线与抛物线方

13、程:X3X4kX 14y4kX 4 0X1X2X1X2x24k2，消去X2可得:x244k2联立直线与椭圆方程：y kx 122226x 3 kx 14，整理可得:6x2 3y243k26 x2 6kx 10X3X4X3X42X46k23k26J3k2X436k3k26由可得:4k2皐，解得:k2 1所以存在满足条件的直线，其方程为：y X 1,2例6：在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 x 2py p0的准线方程为y点M 4,0作抛物线的切线 MA，切点为A 异于点O ，直线I过点M与抛物线交于两点 P,Q，与直线OA交于点N1 求抛物线的方程2试问MN MN的值是否为定值假设是,MP|MQ

14、|求出定值；假设不是，请说明理由解：1由准线方程可得：P 1 p 12 22抛物线方程：X 2y1 22设切点A x0, y0，抛物线为y x22y x切线斜率为k Xo1 2 切线方程为：y y Xo x Xo，代入M 4,0及y1 2可得：XoXo4Xo，解得：Xo0 舍或Xo8A 8,32 OA: y 4x设 PQ : x my 4Q M ,P, N,Q共线且M在x轴上MN MN yN MP MQ yP联立PQ和抛物线方程：2 2m y 8m 2 y 168myP yQ2 ，ypmYnYn11YqYpYq2 x2y4myxmy016Yq2my4x4Ynxmyyp yQ yNypyQ24

15、2y，整理可得161 4m再联立OA, PQ直线方程:MNMPMNMQYnypyQYpYq2 8m16 21 4m 162m例7：在VABC中，A, B的坐标分别是,2,0 , .2,0，点G是VABC的重心，y轴上一点M满足GM / AB，且MCMB(1 )求VABC的顶点C的轨迹E的方程(2)直线l : y kx m与轨迹E相交于P,Q两点，假设在轨迹 E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中 O为坐标原点)，求m的取值范围解：(1 )设C x,y 由G是VABC的重心可得：由y轴上一点M满足平行关系，可得 M 0,$3由MCMB可得:y3Y212 2化简可得：1 y 02 62

16、 2亠x yC的轨迹E的方程为：1 y 02 6(2)Q四边形OPRQ为平行四边形uuu uuu uuurOR OP OQ设 P x1,y1 ,Q X2,y2X2,yiy2Q R在椭圆上23X2y1y23x2 y23x； y6x22y2因为P,Q在椭圆上，所以3x23x|2y162y 6代入可得:6x1X2 2yi y212 63x1x2y2联立方程可得:y kx m3x2y2k2x2 2kmxm26x-ix22 km2，x1x2m26k23y2kx1 m kx2k2x-ix2km x13m2 6k2k23代入可得:23吟k233m2 6k2k232 m2k232kmx m20有两不等实根可得

17、:4k2 m24 k23即3m26k2180 ,代入k22m2 33m262m2 318另一方面：2m23 k20m22例8:椭圆C:冷 a2 y_ b711 a b 0的离心率为 丄，直线l过点A 4,0 , B 0,2 ，2且与椭圆C相切于点P(1)求椭圆C的方程(2)是否存在过点A 4,0的直线m与椭圆交于不同的两点M,N ,使得36 AP35 AMAN假设存在,求出直线m的方程;假设不存在,请说明理由解(1)e2 .3:1椭圆方程化为:2x4 c22y3c22 2 23x 4y 12cQI 过 A 4,0 ,B 0,2设直线l:4舟联立直线与椭圆方程:整理可得：x2 2xQI与椭圆相切

18、于P4 4 4 3c22x椭圆方程为：-4(2)思路：设直线再由A 4,0可知36 AP3x2AP3c24y21x212c2，且可解得45，假设要求得4消去y可得:3x212c2X2,y2由(1)可得:(或证明不存在满足条件的k)，那么可通过等式35 AM AN列出关于k的方程。对于AM式表示出 AM , AN，但运算较为复杂。观察图形特点可知uuuu uuir用向量数量积表示线段的乘积。因为AM ,AN同向，所以AN，尽管可以用两点间距离公A,M , N共线，从而可想到利AMANuuur uurAM AN。写出Luuu uurAM,AN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m与椭圆方程，运用韦达

19、定理整体代入即可得到关于k的方程，求解即可解：由题意可知直线 m斜率存在，所以设直线m: y4 ,M xnyi ,N X22由1可得:3P1,2AP454Q AM , N共线且uuuu uur AM ,AN同向AMANuuuu AMmirANULUAM为4,y1uur,ANX2 4,y2uuuu AMuurAN x14 x2 4y2%x2yiy2x216联立直线m与椭圆方程:3x24y212消去y并整理可得:44k23x232k2x64k2 12 0xi32k24k2264k124 k23yiy2XiX236k24可uuuu uuir AM AN64k24k212336k24k2 34翠4k

20、33616k2 1 4k2 3Q36 AP可解得:假设方程35k24k232 k235 AM36 k2AN4k2 3，代入AP454uuuu AMuurAN36 k2 12 可得:4k 32，另一方面,432k2x 64k2 120有两不等实根1 1解得：kk2符合题意2 24直线m的方程为：y Tx4，即:2例9:设椭圆C :笃ay i2x 2或y的左，右焦点分别为Fj,F2，上顶点为 A，过点A与af2垂直的直线交x轴负半轴与点Quiun，且 2F1F2uuur rf2q0(1)求椭圆C的离心率30相切，求椭圆C的方程(2)假设过 代Q,F2三点的圆恰好与直线l : x . 3y(3)在(

21、2)的条件下，过右焦点 F2作斜率为k的直 线I与椭圆C交于M , N两点，在x轴上是否存在点P m,0使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出 m的取值范围；如果不存在，请说明 理由解: 1 依题意设 A 0,b , F1c,0 ,F2 c,0 ,Q x0,0uuu uuu rQ 2 Fj F2 F2Q 0uuuuuuF1F22c,0 , F2Qx0 c,04cXoc 0X。3cQ3c,0kAQb，kAF2b由AQ AF2可得3cc.2b2 亠 2AQ kaf221b 3c3c22亠22,2ac3ca4c2由1可得：a :b: c 2:.3:1Q AQ AF2A,Q,F2的外接圆的直径为QF2，半径设为rQ 3c,0 ,F2 c,01r QF22c，圆心 c,02c 3由圆与直线相切可得：d 2c c 3 4c2解得：c 1 a 2,b.、32 2椭圆方程为y 1(3)由(2)得 F,431,0 , F2 1,0 :设直线 l: y k x 1设M x1,y1 ,N x2,y2，假设PM , PN为邻边的平行四边形是菱形那么P为MN垂直平分线上的点3x124 y；2 23x?4 y2123122X1x；42y23 x1 x2x1x2y1 y2y2设M , N中点X