2021-2021版高中数学第二章推理与证明章末复习课学案新人教B版选修1-2

1、第二章 推理与证明章末复习课理网络明结构-1推理合情排理演绎推理推理与证明1证明立接证明间接症明探题型提能力归纳推理类比描理一投论综合法反证法题型一合情推理与演绎推理1. 归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，局部到整体的推理，后者是由特殊到特 殊的推理，但二者都能由推测未知，都能用于猜测，推理的结论不一定为真，有待进一 步证明2. 演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的根本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9 ，现在进行如下分组：第一组

2、含一个数1;第二组含两个数3,5;第三组含三个数7,9,11;第四组含四个数13,15,17,19 ;试观察每组内 各数之和f(n)( n Nk)与组的编号数n的关系式为 . 在平面几何中，对于 Rt ABC ACL BC,设AB= c, AC= b, BC= a,贝U a2+ b2 = c2;22 cos A+ cos B= 1; Rt ABC的外接圆半径为r = akb .把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三 角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案 f(n) = n3解析由于1 = 1 3+ 5= 8 = 2,337 +

3、 9+ 11 = 27= 313+ 15+ 17+ 19= 64= 4,，猜测第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n) = n3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 设3个两两垂直的侧面的面积分别为S, S2, S,底面面积为 S,贝y S2+ S2+ S2 = S2. 设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为a , 3 , Y，贝U cos2 a + COS2卩+ COS2 丫 =1. 设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a, b, c,那么这个四面体的外接球的半径为Ra2+ b2+ c2=2 .反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一局部题目是数列

4、内容，通过观察给定的规律， 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.(2)类比推理重在考查观察和比拟的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性 跟踪训练1以下推理是归纳推理的是 ，是类比推理的是. A、B为定点，假设动点 P满足|PA + |PB = 2a|AB，那么点P的轨迹是椭圆； 由a= 1, an+1= 3an- 1,求出S, S2, Ss,猜测出数列的通项 an和S的表达式;2 2 2 由圆X + y = 1的面积S=n r ,猜测出椭圆的面积 S=n ab； 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案题型二综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最根本的证明方法，但两种证

5、明方法思路截然相反，分 析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互 渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加 解题途径 一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程 例2用综合法和分析法证明亠、十sin aa (0 ,n )，求证：2sin 2 aW.1 cos a证明(分析法)要证明2sin 2 a匸爲二成立.只要证明4sinsin aa COs a W -1 cos aa (0 ,n ),二 sin a 0.只要证明4cos_ 1a W 1 cos a上式可变形为4W 1 COS a卜 4(1 C

6、OS a ).-1 COS a 0,1 1 COS a + 4(1 COSa ) 211COS a *1 COS a =4，当且仅当1COS a = 2,na=时取等号COS a )成立.sin a二不等式2Sin 2 a 1COS a成立.综合法1 COS a + 4(1 COS a)4,1 n(1 COS a 0,当且仅当COS a = 2, 即卩a =时取等号)2 31 4COS aW 1 COS aa (0 ,n ) , sin a 0.Sin a 4sin a COS aW 1 COS a 2sin 2sin aa W1 COS a跟踪训练2 求证：空 2 a + 3 2COS( a

7、 +卩)=sin asin a证明 / sin(2 a + 3 ) 2cos( a+ 3 )sin a=sin( a + 3 ) + a 2cos( a+ 3 )sin a=sin( a+ 3 )cosa +COS(a+3 )sin a 2cos( a + 3 )sin=sin( a+ 3 )cosa COS(a+3 )sin a=si n(a久 +3) 一a =sin3两边同除以sin a得sin 2 a+ 32cos(a +sin 3sina3)=sin a .题型三反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论.的否认是反证法的理论根底是互为逆否

8、命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“假设p那么q“假设p那么綈q，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“假设p那么綈q为假，从而可以 导出“假设p那么q为真，从而到达证明的目的 1 + X 1 + y例3假设x, y都是正实数，且 x+ y2，求证：一厂2或一厂2中至少有一个成立.1 + x1 + y证明 假设2和-2和一2同时成立.y x因为x0且y0,所以 1 + x 2y 且 1 + y2x,两式相加，得2+ x + y2x + 2y,所以x+ yw 2.这与x+ y2矛盾.故1+x2与2( b+ d).求证：方程x2+ ax+ b= 0与方程x2 + cx + d = 0中至少有一个

9、方程有实数根. 证明 假设两方程都没有实数根，2 2 2 2 2 2那么 A 1 = a 4b0 与 A 2 = c 4d0,有 a + c 2 ac,从而有 4(b+ d)2 ac, 即ac2(b+ d)，与矛盾，故原命题成立呈重点、现规律1. 归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，局部到整体的推理，后者是由特殊到特 殊的推理，但二者都能由推测未知，都能用于猜测，推理的结论不一定为真，有待进一 步证明.2. 演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理， 是数学中证明的根本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性