几何证明例题精讲

1、三角形等腰三角形性质等边三角形三角形全等的性质和判定：判定公理1. 三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或边边边”），这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2. 有两边及英夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）。3. 有两角及貝夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或角边角）。4. 有两角及英一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或角角边”）5. 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或斜边,直角边”）注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL,属于SSA）.这两种情况都不能唯一确左三角形的形状。

2、四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：平行四边形两组对边分别平行： 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等： 平行四边形的对角线互相平分.判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形矩形性质：四个角都是直角对边平行且相等对角线相等且互相平分菱形性质：对角线互相垂直且平分；四条边都相等；正方形梯形例1如图3所示，设BP、CQ是AABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、 CQ的垂线。求

3、证：KH/7BC分析：由已知，BH平分ZABC, 乂 BH丄AH,延长AH交BC于N,则BA= BN, AH = HN。同理，延长AK交BC于M,则CA = CM, AK = KM从而由三角 形的中位线定理，知KHBC。证明：延长AH交BC于N,延长AK交BC于M BH 平分ZABC/. ZABH = ZNBH又 BH 丄 AH/. ZAHB = ZNHB = 90 bh=bhAABH = ANBH (ASA):.BA = BN, AH = HN同理，CA=CM, AK = KM:. KH是AAA/N的中位线:.KH/MN 即 KH/BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此

4、三角形必为 等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称) 而成一个等腰三角形。例 2已知：如图 4 所示，AB=AC, ZA = 90 , AE = BF, BD = DC 求证：FD丄ED证明一：连结ADV AB = AC, BD = DC:.Z1+ Z2 = 90, ZDAE = ZDABZB AC = 90 , BD= DC:.BD = AD:.ZB = ZDAB = ZDAE在AADE和ABDF中，AE = BF, ZB = ZDAE, AD = BD:.SADE =吐BDF:.Z3=Z1/. Z3 + Z2 = 90FD1ED说明：有等腰三角形条件时，作底边

5、上的高，或作底边上中线，或作顶角 平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M,使DM = ED,连结FE, FM, BMBD = DCZBDM = ZCDE, DM = DE:.= ACDE:.CE = BM, ZC = ZCBMBM /ACZA = 90ZABM = 90= ZAv AB = AC, BF = AE:.AF = CE = BM:.AEF = ABFM:.FE = FMDM = DE:.FDLED说明：证明两直线垂直的方法如下：(1) 首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线, 见本题证二。(2) 找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余

6、。(3) 证明二直线的夹角等于90 o（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段, 证明该线段等于较长线段。（补短法）例3已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，ZE4F = 45。 求证：ef = be + df在正方形 ABCD 中,ZABG = ZD = 90 , AB = AD:.AABG = ADF (SAS):.AG = AF9 Z1 = Z3又 Z4F = 45。Z2 + Z3 = 45/. Z2 + Z1=45即 ZGAE=ZFAEGE = EF:.EF = BE + DF例4：己知：如图9所示，Z1 = Z2, ABACq求

7、证：BDDC证明一：延长AC到E,在A4DE和AAP3中，AE = AB9Z2 = Z1, AD=ADADE = AADB BD=DE, ZE = ZBZDCE ZBZDCE Z. DE DC, :. BD DC证明二：如图10所示，在AB上截取AF=AC,连结DF图10则易证ADF = hADC:.Z3 = Z4, DF = DC BFD Z3, Z4ZBZBFD ZBBD DF:.BD DC说明；在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是 常用辅助线。例 5 AABC中，ZBAC = 90 , ADLBC 于 D,求证：AD v *(AB + AC + BC) 证明：取BC中点E,连结AEAX/9/ f /* / f/f/