变步长的龙格库塔法PPT学习教案

1、会计学1变步长的龙格库塔法变步长的龙格库塔法11111R K(,)(,)(2 , 3,)(,)()pnniiinniininijjjnnnyyhc KKfxyKfxa hyhb KipxyT a y lo ryxxT a y lo r一 般 地 ，方 法 设 近 似 公 式 为确 定 原 则 是 使 近 似 公 式 在处 的展 开 式 与在处 的展 开 式 的 前 面 项 尽 可 能 多 地 重 合 。111112121(,)11()22(,)(,)nnnnnnnnnnyyh KE u le rKfxyyyhKKE u le rKfxyKfxhyh K公 式 改 进公 式第1页/共16页第2页

2、/共16页7.4.6 变步长的龙格变步长的龙格-库塔法库塔法 在微分方程的数值解中，选择适当的步长是非常在微分方程的数值解中，选择适当的步长是非常重要的。单从每一步看，步长越小，截断误差就越重要的。单从每一步看，步长越小，截断误差就越小；但随着步长的缩小，在一定的求解区间内所要小；但随着步长的缩小，在一定的求解区间内所要完成的步数就增加了。这样会引起计算量的增大，完成的步数就增加了。这样会引起计算量的增大，并且会引起舍入误差的大量积累与传播。因此微分并且会引起舍入误差的大量积累与传播。因此微分方程数值解法也有选择步长的问题。方程数值解法也有选择步长的问题。 以经典的四阶龙格以经典的四阶龙格-

3、-库塔法库塔法( (7.20)为例。从节点为例。从节点x xi i出发，先以出发，先以h为步长求出一个近似值，记为为步长求出一个近似值，记为 ，由于局部截断误差为由于局部截断误差为 ，故有，故有 )(1hiy)(5hO5)(11)(chyxyhii当h h值不大时，式中的系数值不大时，式中的系数c c可近似地看作为常数。可近似地看作为常数。第3页/共16页然后将步长折半然后将步长折半, ,即以为即以为 步长步长, ,从节点从节点x xi i出发出发, ,跨跨两步到节点两步到节点x xi+1i+1, ,再求得一个近似值再求得一个近似值 , ,每跨一步的每跨一步的截断误差是截断误差是 , ,因此有

4、因此有2h)2(1hiy52 hc5)2(1122)()(hcxyxyhii这样这样 161)()()(11)2(11hiihiiyxyyxy)(151)()(1)2(1)2(11hihihiiyyyxy由此可得由此可得 这表明以这表明以 作为作为 的近似值，其误差可用步的近似值，其误差可用步长折半前后两次计算结果的偏差长折半前后两次计算结果的偏差 )2(1hiy)(1ixy)(1)2(1hihiyy来判断所选步长是否适当来判断所选步长是否适当第4页/共16页当要求的数值精度为当要求的数值精度为时：时： （1 1）如果）如果，反复将步长折半进行计算，直，反复将步长折半进行计算，直至至为止为止,

5、 ,并取其最后一次步长的计算结果作为并取其最后一次步长的计算结果作为 （2 2）如果）如果为止，并以上一次步长的计算结果作为为止，并以上一次步长的计算结果作为 。 这种通过步长加倍或折半来处理步长的方法称为这种通过步长加倍或折半来处理步长的方法称为变步长法。表面上看，为了选择步长，每一步都要变步长法。表面上看，为了选择步长，每一步都要反复判断反复判断，增加了计算工作量，但在方程的解，增加了计算工作量，但在方程的解y(x)y(x)变化剧烈的情况下，总的计算工作量得到减少变化剧烈的情况下，总的计算工作量得到减少，结果还是合算的。，结果还是合算的。1iy1iy第5页/共16页第6页/共16页其中其中

6、 i ( i = 1, , m )， i ( i = 2, , m ) 和和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i 1 ) 均为待定系数，均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。确定这些系数的步骤与前面相似。 2 Runge-Kutta Method).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy 高阶高阶RungeKutta Method第7页/共16页第8页/共16页 Gill公式：公式：4阶经典龙格阶经典龙格-库塔公式的一

7、种改进库塔公式的一种改进112346121222 1231222222423222222( ,)(,)(,1)(,1)hiiiihhiihiiiiyyKKKKKf xyKf xyKKf xyhKhKKf xh yhKhK2 Runge-Kutta Method 最常用为四级最常用为四级4阶阶经典龙格经典龙格-库塔法库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：),(),(),(),()22(34222312221432161hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKyyiihihihihiiihii 第9页/共16页2 Runge-Kutta Meth

8、od注：注： 龙格龙格-库塔法库塔法的主要运算在于计算的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算的值，即计算 f 的的值。值。Butcher 于于1965年给出了计算量与可达到的最高年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：精度阶数的关系：753可达到的最高精度可达到的最高精度642每步须算每步须算Ki 的个数的个数)(2hO)(3hO)(4hO)(5hO)(6hO)(4hO)(2nhO8n 由于龙格由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用最好采用低阶算法低阶算法而将步长而将步长h 取小取小。第10页/共16页第11页/共16页第12页/共16页2 Runge-Kutta Method 变步长的变步长的RungeKutta Method1(1)1ppnnRchyxQ: 由局部截断误差可以看出，步长由局部截断误差可以看出，步长 h 越小，局部截断越小，局部截断误差越小；但步长减小，在一定求解范围（区间）内误差越小；但步长减小，在一定求解范围（区间）内要完成的步数就增加了，步数增加会引起计算量增大要完成的步数就增加了，步数增加会引起计算量增大，导致舍入误差积累。因此要选取适当的步长。，导致舍入误差积累。因此要选