高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例 新人教B版必修2ppt课件

1、【课标要求】【课标要求】1了解割圆术中无限逼近的数学思想了解割圆术中无限逼近的数学思想2了解更相减损术的含义，了解其执行过程了解更相减损术的含义，了解其执行过程3掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率 的本质的本质【中心扫描】【中心扫描】1三种算法的原理及运用三种算法的原理及运用(重难点重难点)2三种算法的框图表示及程序三种算法的框图表示及程序(难点难点)3秦九韶算法中多项式的改写秦九韶算法中多项式的改写(易错点易错点)1.3中国古代数学中的算法案例中国古代数学中的算法案例更相减损术更相减损术第一步，恣意给定两个正整数，判别它们能否都是第一

2、步，恣意给定两个正整数，判别它们能否都是_假假设是，用设是，用_；假设不是，执行；假设不是，执行_第二步，以第二步，以_的数减去的数减去_的数，接着把所得的差与的数，接着把所得的差与_的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数得的数_为止，那么这个数为止，那么这个数(等数等数)或这个数与约简的数的或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数乘积就是所求的最大公约数自学导引自学导引1偶数偶数2约简约简第二步第二步较大较大较小较小较较小小相等相等割圆术的算法思想割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开场，让边数逐次加倍，逐个算出刘徽从圆内接正六

3、边形开场，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值用刘徽本人的话概括就是值用刘徽本人的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，那么与圆合体而无所失矣之又割，以致于不可割，那么与圆合体而无所失矣2秦九韶算法秦九韶算法把一个把一个n次多项式次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改改写成如下方式：写成如下方式：(anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算

4、求多项式的值时，首先计算_一次多项式的一次多项式的值，即值，即v1_，然后由内向外逐层计算一次多项式，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即的值，即v2_，v3_，vn_这样，求这样，求n次多项式次多项式f(x)的值就转化为求的值就转化为求_的的值值3最内层括号内最内层括号内v0 xan1v1xan2v2xan3vn1xa0n个一次多项式个一次多项式 秦九韶算法有哪些优点？秦九韶算法有哪些优点？提示秦九韶算法有以下几个优点：提示秦九韶算法有以下几个优点：大大减少了乘法的次数，使计算量减小在计算机上做大大减少了乘法的次数，使计算量减小在计算机上做一次乘法所需求的时间是做加法、减法的几倍到十几倍，

5、一次乘法所需求的时间是做加法、减法的几倍到十几倍，减少做乘法的次数也就加快了计算的速度；减少做乘法的次数也就加快了计算的速度；规律性强，便于利用循环语句来实现算法；规律性强，便于利用循环语句来实现算法；防止了对自变量防止了对自变量x单独做幂的计算，每次都是计算一个单独做幂的计算，每次都是计算一个一次多项式的值，从而可以提高计算的精度一次多项式的值，从而可以提高计算的精度更相减损术的算法步骤：更相减损术的算法步骤：S1输入两个正整数输入两个正整数a，b.S2判别判别a能否等于能否等于b，假设，假设a不等于不等于b，执行，执行S3；否那么；否那么执行执行S4.S3判别判别a能否大于能否大于b，假设

6、是将，假设是将ab的值赋给的值赋给a，转回，转回S2；假设不是，将；假设不是，将ba的值赋给的值赋给b，转回，转回S2.S4输出输出a，b的值的值名师点睛名师点睛12秦九韶算法秦九韶算法(1)特点：经过一次式的反复计算，逐渐得出高次多项式的特点：经过一次式的反复计算，逐渐得出高次多项式的值，对于一个值，对于一个n次多项式，只需做次多项式，只需做n次乘法和次乘法和n次加法即次加法即可可(2)算法步骤：算法步骤：设设Pn(x)anxnan1xn1a1xa0，将其改写为，将其改写为Pn(x)(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa

7、1)xa0.S1计算最内层计算最内层anxan1的值，将的值，将anxan1的值赋的值赋给一给一 3个变量个变量v1(为方便将为方便将an赋予变量赋予变量v0)；S2计算计算(anxan1)xan2的值，可以改写为的值，可以改写为v1xan2，将，将v1xan2的值赋给一个变量的值赋给一个变量v2；依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值vk，即从，即从最内层的括号到最外层最内层的括号到最外层括号的值依次赋予变量括号的值依次赋予变量v1，v2，vk，vn，第，第n步步所求值所求值vnvn1xa0即为所求多项式的值即为所求多项式的值题型一求两个正整数的

8、最大公约数题型一求两个正整数的最大公约数 用更相减损术求用更相减损术求261和和319的最大公约数的最大公约数思绪探求思绪探求 运用更相减损术那么可根据运用更相减损术那么可根据mnr，反复执，反复执行，直到行，直到nr为止为止解解31926158，26158203，20358145，1455887，875829，582929，29290，所以所以319与与261的最大公约数是的最大公约数是29.【例【例1】规律方法利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的规律方法利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的普通步骤是：首先判别两个正整数能否都是偶数假设是普通步骤是：首先判别两个正整数能否都是偶数假设

9、是，用，用2 2约简也可以不除以约简也可以不除以2 2，直接求最大公约数，这样不，直接求最大公约数，这样不影响最后结果影响最后结果 用更相减损术求用更相减损术求80和和36的最大公约数的最大公约数解解80240362184022018292091111929277255233212111224所以所以80与与36的最大公约数为的最大公约数为4.【变式【变式1】 用秦九韶算法求用秦九韶算法求f(x)3x58x43x35x212x6，当当x2的值的值题型二秦九韶算法在多项式中的运用题型二秦九韶算法在多项式中的运用【例【例2】规范解答规范解答 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下方式：根据秦九韶算法，

10、把多项式改写成如下方式：f(x)(3x8)x3)x5)x12)x6，按照从内到外的顺，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当序，依次计算一次多项式当x2时的值时的值 (2分分)v03，v1v02832814， (4分分)v2v123142325， (6分分)v3v225252555， (8分分)v4v321255212122，v5v42612226238， (10分分)所以当所以当x2时，多项式的值为时，多项式的值为238. (12分分)【题后反思】【题后反思】 (1)先将多项式写成一次多项式的方式，然先将多项式写成一次多项式的方式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可比直后运算时

11、从里到外，一步一步地做乘法和加法即可比直接将接将x2代入原式，大大减少了计算量假设用计算机计代入原式，大大减少了计算量假设用计算机计算，那么可提高运算效率算，那么可提高运算效率(2)留意：当多项式中留意：当多项式中n次项不存在时，可将第次项不存在时，可将第n次项看作次项看作0 xn. 用秦九韶算法计算用秦九韶算法计算f(x)6x54x4x32x29x，需求加法需求加法(或减法或减法)与乘法运算的次数分别为与乘法运算的次数分别为 () A5，4 B5，5 C4，4 D4，5解析解析n次多项式当最高次项的系数不为次多项式当最高次项的系数不为1时，需进展时，需进展n次次乘法；假设各项均不为零，那么需

12、进展乘法；假设各项均不为零，那么需进展n次加法，缺一项次加法，缺一项就减少一次加法运算就减少一次加法运算f(x)中无常数项，故加法次数要减中无常数项，故加法次数要减少一次，为少一次，为514.应选应选D.答案答案D【变式【变式2】 知知f(x)x52x43x34x25x6，用秦九韶算法，用秦九韶算法求这个多项式当求这个多项式当x2时的值时，做了几次乘法？几次加时的值时，做了几次乘法？几次加法？法？错解错解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下方式根据秦九韶算法，把多项式改写成如下方式f(x)(x2)x3)x4)x5)x6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x2时的时的值：值：v1224；v22v1311；v32v2426；v42v3557；v52v46120.显然，在显然，在v1中未做乘法，只做了中未做乘法，只做了1次加法；在次加法；在v2，v3，v4，v5中各做了中各做了1次加法，次加法，1次乘法因此，共做了次乘法因此，共做了4次乘次乘法，法，5次加法次加法误区警示对秦九韶算法中的运算次数了解错误误区警示对秦九韶算法中的运算次数了解错误【例如】【例如】 在在v1中虽然中虽然“v1224，而计算机还是做，而计算机还是做了了1次乘法次乘法“v12124由于用秦九韶算法计算多由于用秦九韶算法计