4.2提取公因式法

1、请把请把1212、1515因数分解：因数分解：12= 212= 2 2 23 3；15= 315= 3 5 51212、1515这这两数有公两数有公因数吗？因数吗？ 如图，由一个边长为如图，由一个边长为a的小正方形与的小正方形与 一个长、宽一个长、宽分别为分别为a、b b的小长方形拼接成一个大长方形的小长方形拼接成一个大长方形ABCDABCD。 a ab b aA A ab bB BD DC Ca 请用两种不同的方法表示长方形请用两种不同的方法表示长方形ABCDABCD面积面积, ,写出一个等式。写出一个等式。a2 2 + + aba( (a + b) )= =提取公因式法提取公因式法有什么有

2、什么特点特点?公因式公因式: :多项式中多项式中每一项每一项都含有都含有的的相同因式相同因式。mambmc()mambmcm abc解解: :公因式公因式多项式多项式中中每一项每一项都含有的都含有的相同的因相同的因式式, ,称称之为之为公因式公因式提取公因式法提取公因式法这个多项式各项有相同的因式么？这个多项式各项有相同的因式么？应提取的公因式为应提取的公因式为:_:_多项式多项式 有公因式吗？有公因式吗？是什么？是什么？2336ax yx yz 233ax ya x x y 362 3x yzx x x y z 23x y 如果一个多项式的如果一个多项式的各项各项含有含有公因式公因式，那，那

3、么就可以把这个公因式么就可以把这个公因式提取提取出来进行因式分解，出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做这种分解因式的方法叫做提取公因式法提取公因式法。定义：定义：2336ax yx yz 23x y=( )2axz提取公因式后，多项式提取公因式后，多项式余下余下的各项的各项不再含有公因式不再含有公因式 ！ 如何确定应提取的公因式？如何确定应提取的公因式？2.2.字母字母: :取多项式取多项式各项各项中都含有的中都含有的相同相同字母。字母。1.1.系数系数: :取多项式取多项式各项系数各项系数的的最大公因数最大公因数。方法方法: :如何确定如何确定应提取的公因式应提取的公因式？提取公因式后，

4、多项式余下的各项提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式不再含有公因式 ！ 3.3.指数指数: :取取相同字母的相同字母的最最低次幂低次幂。公因式公因式mn 3 3ab 5 5x2 2 y5 5abc a多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式多项式。（x-y) )=ab=ab(6ac(6ac3 3-7b)-7b)(3) 6a(3) 6a2 2bcbc3 3-7ab-7ab2 2=2x=2x2 2(1) 2x(1) 2x3 3 +6x +6x2 2解：解：(2)3pq(2)3pq3 3+15p+15p3 3q q(3)6a(3)6a2 2bcbc3

5、 3-7ab-7ab2 2(1)2x(1)2x3 3 +6x+6x2 2例例1 1 、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式(2) 3pq(2) 3pq3 3+15p+15p3 3q q = 3pq= 3pq(q(q2 2+5p+5p2 2) )用用公因式去除这个多项式公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式，所得的商作为另一个因式(x+3)(x+3)（2x2x3 3 +6x +6x2 2）(2x2x2 2) )例例2 2、 用提取公因式法分解因式：用提取公因式法分解因式：（1 1）-4x-4x2 2+8ax+2x+8ax+2x（2 2）-3ab+6abx-9aby-3ab+6abx-9a

6、by= = - -2x(2x-4a-1)2x(2x-4a-1)= = - -3ab(1-2x+3y)3ab(1-2x+3y)当首项当首项的系数为的系数为负负时，通常应提取时，通常应提取负因数负因数，此时剩，此时剩下的各项都要下的各项都要改变符号改变符号（1 1）-4x-4x2 2+8ax+2x+8ax+2x（2 2）-3ab+6abx-9aby-3ab+6abx-9aby解：你能概括出提取公因式法的一般步骤吗？你能概括出提取公因式法的一般步骤吗？ 1 1. .确定确定应提取的公因式应提取的公因式；2 2. .用用公因式去除这个多项式公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式，所得的商作为另一

7、个因式3 3. .把多项式写成这两个因式的积的形式。把多项式写成这两个因式的积的形式。(1).(1).当当首项系数为负首项系数为负时时, ,通常应提取负因数通常应提取负因数, ,在提取在提取“”号时号时, ,余下的各项都变号。余下的各项都变号。(2).(2).提取公因式要彻底提取公因式要彻底; ;注意易犯的错误注意易犯的错误: :提取不尽提取不尽疏忽变号疏忽变号只提取部分公因式只提取部分公因式, ,整个式子未成乘积形式。整个式子未成乘积形式。漏项漏项（1）21x2 y +7xy把下列各式分解因式把下列各式分解因式: : （3）4a2b+10ab-2ab2 （2） 2ax2+ay （4）-3x2

8、y+12xy2-27xya(2(2x2 2+ +y) )2 2ab(2(2a+5-+5-b) )-3-3xy( (x-4-4y+9)+9)7 7xy（3 3x+1+1）-5abc( (b-c) )-2x2 2( (x-3) )( (x-y) )( (x2 2- -xy- -y) )3(3(m-2) )( (2a- -1) )（1 1）2 2x2 2 + 3+ 3x3 3 + + x = = x(2(2x +3 +3x2 2) )（2 2）3 3a2 2c - 6 - 6a3 3c = 3 = 3a2 2( (c - 2 - 2ac) )（3 3）-2-2s3 3 + 4+ 4s2 2 - 6-

9、 6s = - = - s(2(2s2 2 + 4+ 4s - 6) - 6)（4 4）-4-4a2 2b + 6 + 6ab2 2 -8-8a= -2= -2ab( (2a- -3b)-8)-8a下列的分解因式对吗？如不对，请指出下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因原因（课内（课内3 3）应为应为: : 原式原式= =x(2(2x +3 +3x2 2+1+1) )应为应为: : 原式原式=-=-2 2s( (s2 2-2-2s+3)+3)应为应为: : 原式原式= = - -2a (2(2ab-3-3b2 2+4)+4)应为应为: : 原式原式=3=3a2 2c(1 -2(1 -2a) )

10、（5 5）(2(2a- -b) )2 2 +2 +2ab = (2 = (2ab) )2 2 +( ) +( )（6 6）a( (s + + t ) )st = = a( (s + +t )( ) )( )完成下列填空：完成下列填空：（1 1）1 -1 -x =+( ); =+( );（2 2）- -x+1= -( )+1= -( )（3 3）x- -y =+( ); =+( ); （4 4）- -x- -y= -( )= -( )你能概括出你能概括出添括号法则添括号法则吗？吗？1-1-xx-1-1x- -yx+ +y括号前面是括号前面是“+ +”号，括到括号里的各项都号，括到括号里的各项都不

11、变号不变号；括号前面是括号前面是“- -”号，括到括号里的各项都号，括到括号里的各项都变号变号。2 2a- -bs+ +t回顾去括号法则，回顾去括号法则，添括号法则添括号法则括号前面是括号前面是“+ +”号，去掉括号和号，去掉括号和“+ +”，括号里的，括号里的各项都各项都不变号不变号；括号前面是括号前面是“- -”号，号，去掉括号和去掉括号和“- -”，括号里的，括号里的各项都各项都变号变号。注意：注意：提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、字母位置重新排列或添括号后，才能看出公因式。字母位置重新排列或添括号后，才能看出公因式。= (a-b)(2

12、a-2b= (a-b)(2a-2b- -1)1)= (a-b)2(a-b)= (a-b)2(a-b)- -11= 2(a-b)= 2(a-b)2 2- -(a(a- -b)b)2(a-b)2(a-b)2 2 a + b a + b解解: :例例3 3、把、把2(a-b)2(a-b)2 2 -a+b -a+b 分解因式分解因式把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :(1) a(x-y) x + y (1) a(x-y) x + y (x-y)(a-1)(x-y)(a-1)(3)(a+2)(3)(a+2)2 2 2a(a+2) 2a(a+2)(2+a)(2-a)(2+a)(2-a)或或-(a+2

13、)(a-2)-(a+2)(a-2)（2 2） 7(x3)x(3x)7(x3)x(3x)(x3)(7+x)(x3)(7+x)1 1、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：2 2、提取公因式法分解因式、提取公因式法分解因式3 3、添括号法则、添括号法则括号前面是括号前面是“+ +”号，括到括号里的各项都号，括到括号里的各项都不变号不变号；括号前面是括号前面是“- -”号，括到括号里的各项号，括到括号里的各项都变号都变号。(1)(1) 公因式的公因式的系数系数是是多项式多项式各项系数各项系数的的最大公因数最大公因数。(2)(2) 字母字母取取多项式多项式各项各项中中相同相同字母的字母的最低次幂最低次

14、幂。(1) (1) 确定确定应提取的公因式应提取的公因式；(2) (2) 用原用原多项式多项式除以除以这个这个公因式。公因式。1 1、分解因式计算、分解因式计算: :（-2-2）101101+ +（-2-2）1001002 2、利用简便方法计算：、利用简便方法计算： 22223.145+533.145+533.145+31.453.145+31.452.52.5 4 4、若多项式、若多项式(a+b)xy+(a+b)x(a+b)xy+(a+b)x要分解因式要分解因式, ,则则要提的公因式是要提的公因式是 . .(a+b)x3、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是 . . ( (1-3x-4y) )5、6. 已知已知1xx2x3=0. 求求xx2x3x4x2000的值的值.解：原式解：原式x(1xx2x3) x5(1xx2x3) x1997(1xx2x3) (1xx2x3)(xx5x9 x1997) 07 1+a+a(1+a)+a(