8连续系统的振动a

1、主讲：殷玉枫 教授太原科技大学机械电子工程学院2007-9-9 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称与弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统。分布参数系统。 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体是具有无限多自由度的系统。 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微

2、分方程组，它是，它是偏微分方程。偏微分方程。 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。统是完全类似的。（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。体，即在弹性范围内服从虎克定律。说说 明明（2）材料均匀连续；各向同性。）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 。连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程 动力学方程动

3、力学方程（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 S材料密度材料密度弹性模量弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向变形),(txplx0),(txp单位长度杆上分布的纵向作用力单位长度杆上分布的纵向作用力 杆参数：杆参数：连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移微段分析微段分析 ),(txplx0 xdxdxtxp),(dxu

4、dxxuu22xuSdxdxxFFF微段应变：微段应变： xudxudxxuu)(横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移),(txplx0 xdx横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得：代入，得： 杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动

5、方程 对于等直杆，对于等直杆，ES 为常数为常数 ),(1222022txpSxuatu/0Ea 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：有： 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程（2）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 F 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 yxFF),(txpxdx),(txyo建立坐标系建立坐标系xoy),(txy弦上距原点弦上距原点 x 处的横截面在处的横截面在 t 时刻的横向位移时刻的横向位移 ),(txp单位长度弦上分布的作用力单位长度弦上分布的作用力 单位长度弦的质量单位长

6、度弦的质量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFtydx),()(22弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程/0Ea 令：令：xy并考虑到：并考虑到：),(1222022txpxyaty得：得：弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度0apdx22tydxdxxdxFF连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩截面的极惯性矩 Ip材料密

7、度材料密度切变模量切变模量 G),(txp：单位长度杆上分布的外力偶矩：单位长度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：),(tx为杆上距离原点为杆上距离原点 x 处的截面在时处的截面在时刻刻 t 的角位移的角位移截面处的扭矩为截面处的扭矩为 T微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段绕轴线的转动惯量：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程代入，得：代入，得：微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：pdxTdxxTTtdxIp )

8、(22材料力学：材料力学：xGITp 即：即：),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圆截面杆的扭转振动强迫振动方程圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数为常数),(1222022txpIxatp 有：有：Ga 0剪切弹性波的剪切弹性波的纵向传播速度纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 ),(1222022txpSxuatu（2）弦的横向振动）弦的横向振动),(1222022txpxyaty虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微虽

9、然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于分方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程 。（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动),(1222022txpIxatp 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：),(1222022txpSxuatu纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：222022xuatu/0Ea 假设杆的各点作同步运动，即设假设杆的各点作同步运动，即设 ：)()(),(tqxtxuq(t) 表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 )(x

10、杆上距原点杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅 代入，得：代入，得： )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动)()()()( 20 xxatqtq 记：记：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态 ）,21cc由杆的边界条件确定由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数

11、，表示各坐标振幅的相对比值，表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 i（下面讲述）（下面讲述）连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动第第 i 阶主振动：阶主振动：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一对应一一对应)2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin(),(iiiiitatxu连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振

12、动杆的纵向振动几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒为零不能恒为零 )(tq0)0(0)(l故：故：0201cossin)(axcaxcx代入模态函数代入模态函数 02c得：得： 0sin0al（杆的纵向振动频率方程（杆的纵向振动频率方程 ）无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两

13、端位移为零模态函数模态函数 ：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(得：得：0)( llxicxiicos)(零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移0201cossin)(axcaxcx频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同), 2 , 1 , 0(i固有频率：固有

14、频率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii模态函数：模态函数：01c得出：得出：0cos0allx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 得：得：0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0), 0(tu模态函数：模态函数：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0连续系统的振动连

15、续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 得：得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0),(tlu模态函数：模态函数：lx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(

16、ixlicxii边界条件边界条件0)(l0)0(0cos0al模态函数模态函数lx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al频率方程频率方程固有频率固有频率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii*例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一弹簧定，右端与一弹簧连接。连接。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0k连续系统的振

17、动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：边界条件：边界条件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0201cossin)(axcaxcx0)0(),()(tlxESlk得出：得出：02c000cossinalaESalk常数klESalaltg00/)/(频率方程频率方程振型函数：振型函数：xacxii0sin)(连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一集中定，右端与一集中质量质量M固结。固结。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。Mlx0边界条件：边界条件：0)

18、, 0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推导！自己推导！主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度即质量密度及截面积及截面积 S 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振动：自由振动：)(22xuESxtuS 主振动主振动 ：)sin()(),( taxtxuSES2)(代入，得代入，得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动SES2)(杆的简单边界杆的简单

19、边界 ：固定端固定端0)( xx = 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x = 0 或或 l 设：设：)(xii)(xjj代入：代入：iiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： lljiiijdxSdxES002)(利用分部积分：利用分部积分： dxESESdxESjlliliiij 000)()(00杆的任一端上总有杆的任一端上总有或者或者成立成立 ljliijdxESdxES00)(得：得： ljiiljidxSdxES020连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动)(xi乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：

20、 iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相减：相减： ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 时时则必有：则必有：杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 00ljidxS)(ji 进而：进而： lijljidxESdxES000)()(ji 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动0)(022ljiji

21、dxS关于质量的正交性关于质量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当ji 时时 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化： 102 pilimdxS正则振型正则振型 2ipik 则第则第 i 阶主刚度：阶主刚度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合写为：合写为： jijii

22、j01连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 ),()(22txpxuESxtuS 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i已经得出已经得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii)(tqi正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：),()(11txpqESqSiiiii 两边乘两边乘j并沿杆长对并沿杆长对 x 积分积分 ： ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性条

23、件：利用正交性条件：)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模态初始条件的求解模态初始条件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿杆长对并沿杆长对 x 积分，由正交性条件，知有：积分，由正交性条件，知有： ljjljjdxxxSfq

24、dxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(得：得：)(tqj求得求得 后后可得可得),(txu连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：)()(),( xtPtxp正则坐标的广义力：正则坐标的广义

25、力： )()()()()()(0jljjtPdxxxtPtQ 前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力lx0)(tP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有： tPtPsin)(0 为常数为常数0P求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 lx0)(tP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边界条件：固有频率：固有频率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入

26、归一化条件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应 ：tiPctqiiisin2sin1)(022 杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动 ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 lx0)(tP连续系统的

27、振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动4/ lx04/ l2/ l0P0P例：例：一均质杆两端固定。假一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集定在杆上作用有两个集中力，如图所示。中力，如图所示。试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？振动？连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动边界条件：两端固定边界条件：两端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始条件：初始条件：),

28、2 , 1(,0ilaii模态函数模态函数 ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：解：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：222022xuatuEa 0固有频率：固有频率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动4/ lx04/ l2/ l0P0P系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtla

29、iBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu初始条件：初始条件：0)()()0 ,(0ttuxfxu应用位移初始条件：应用位移初始条件：11sin)(iilxiBxf两边乘两边乘)(xSj并沿杆长积分，然后利用正交性条件：并沿杆长积分，然后利用正交性条件：lidxlxixflB01sin)(2应用速度初始条件：应用速度初始条件：02iB连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵

30、向振动4/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iBllllldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0sin)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.)10, 6 , 2( i连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系统响应

31、：系统响应：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动思考题：思考题：有一根以常速度有一根以常速度 v 沿沿 x 轴运动的杆。如果杆的中点轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。达式。在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：提示：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的

32、纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆。右半部分为一端固定、另一端自由的杆。边界条件：边界条件：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：222022xuatuEa 0初始条件：初始条件：0)(, 0), 0(2/lxxutuvxuxutx)(, 0)0 ,(自己推导！自己推导！连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：有一根有一根 x=0 端为自由、端为自由、x=l 端处为固定得杆，固定端端处为固定得杆，固定端承受支撑运动承受支撑运动tdtugsin)(d为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应。试求杆的稳态响应。lx0)(tug连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵

33、向振动杆的纵向振动解：解：lx0tdtugsin)(方程建立方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析应变：应变： xuudxudxxuuugg)()(内力：内力：xuuESESFg)(达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面处截面在时刻在时刻 t 的纵向位移的纵向位移2222)(xuuEStuSg连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin

34、2设解为：设解为： 1*)()(iiitqxu)(xi为归一化的正则模态为归一化的正则模态,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 )(xj用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxS

35、q0210 0sin)( 利用正交性：利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 模态稳态解：模态稳态解：tdillqiiiisin) 1(222/ ) 1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*连续系统的振动连续系统的振动 / 杆

36、的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161 ,.5 , 3 , 12/ ) 1(3322*连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动杆振动分析小结杆振动分析小结1. 建立动力学方程建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程

37、得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解返回物理空间，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空间问题物理空间问题模态空间问题模态空间问题)()(),(1tqxtxuiii 梁的弯曲振动动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面

38、绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振） 这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续

39、系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程),(txf),(txmyx0f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原点距原点x处的截面在处的截面在t时刻时刻 的横向位移的横向位移 ),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力 :22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力 :),(dxtxm微段

40、所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程 ：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 即即 ：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高阶小量：略去高阶小量：),(txmxMFs材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：22),(),(xtxyEItx

41、M),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动固有频率和模态函数固有频率和模态函数),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力

42、学方程：讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx自由振动方程：自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振动方程：代入自由振动方程：0)(2 SEI对于等截面梁：对于等截面梁：0)()(4)4(xx2024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：)41( iCi和和应满足的频率方程由梁的边界条件确定应满足的频率方程由梁的边界条件确定 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯

43、曲振动0),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁的自由振动方程：等截面梁的自由振动方程： 梁的主振动：梁的主振动： )sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶主振动：阶主振动： )(xii无穷多个无穷多个)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系统的初始条件确定由系统的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin()(),(iiiiitxatxy连续系统的振动连续系统的振动 /

44、 梁的弯曲振动梁的弯曲振动常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 0),(xtxy0)(x0)( xlx 0 或（1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零0),(txy（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零0),(22xtxyEIM0),(txy0)( x0)(xlx 0 或（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)( x0)( xlx 0 或)()(),(tqxtxy连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动例：例：求悬臂梁的固有频率和模态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数x0y解：解：一端固定，

45、一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件0)0( 0)0( 固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：4231,CCCC 以及：以及： 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解条件：非零解条件：2024aSEIa20连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动0coshco

46、ssinhsinsinhsincoshcos llllllll简化后，得：简化后，得：01coshcos ll频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：2024aSEIa20), 2 , 1(,)(42 iSlEIlii对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii连续系统的振动连续系统的振动 /

47、梁的弯曲振动梁的弯曲振动铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰0)0( 0)0( 固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：031 CC以

48、及：以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aSEIa20yx004 C0sin l频率方程：频率方程：), 2 , 1(, iili固有频率：固有频率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动0sin l频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模态函数：模态函数：), 2 , 1(,sin)( ixlixi), 2 , 1(, iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态

49、第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置yx0无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行yx0系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动yx0频率方程：频率方程：1coshcos ll模态函数：模态函数：2024aSEIa20其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos

50、)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii当当 i=1,2,3时时解得：解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i当当 时时), 4 , 3(,)21( iili自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)0( 0)0( 0)( l0)( l0 i当当 时时00 l对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连

51、续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动yx0l连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动yx0l解：解：0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁的自由振动方程：梁的自由振动方程： 边界条件边界条件0), 0(ty0), 0(ty固定端：固定端：自由端：自由端：0)0( 0)0( 0),(tly0),

52、0( ty0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动yx0l0)0( 0)0( 0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0( 031CC13CC0)0( 042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)( l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动0coshcossinhsinsinhsincoshcosllll

53、llll21CC、非零解条件：非零解条件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC频率方程：频率方程：0sincoshsinhcosllll求得：求得：352.13,210.10,069. 7,927. 34321llll对应的各阶模态函数：对应的各阶模态函数：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：代入：), 2 , 1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动yx0l第一阶模态：第一阶模态：), 2

54、 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二阶模态：第二阶模态：0.560069. 7927. 321ll例：悬臂梁例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑一端固定，另一端有弹性支撑边界条件边界条件0)0( 0)0( 固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：弯矩平衡条件：),(),(222tly

55、kxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡条件：剪力平衡条件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0( 0)0( 固定端：固定端：弹性支撑端：弹性支撑端：)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端条件解得：由固定端条件解得：4231,CCCC 由弹性支撑

56、固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动或或21CC、非零解条件导出频率方程：非零解条件导出频率方程：0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll

57、)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（1）若）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2kx0y1kl讨论：讨论：01coshcosllx0y)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),c

58、oshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（2）若）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2kx0y1kl讨论：讨论：0coshsinsinhcosllllx0yl例：悬臂梁自由端附有质量例：悬臂梁自由端附有质量yx0l0m求频率方程求频率方程解：解：0)0( 0)0( 固定端：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡0)( lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例相同的方法，得频率方程：利用同上述算例

59、相同的方法，得频率方程：其中：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 为集中质量与梁质量之比为集中质量与梁质量之比Slm 为梁质量为梁质量连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍倍以上）以上）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动连续系统的振动

60、 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动模态函数的正交性模态函数的正交性0),(),(2244 ttxySxtxyEI梁若为等截面，则：梁若为等截面，则： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程：主振动：主振动： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：代入，得：0)(2 SEI设：设：)(xii)(xjj jjjiiiSEISEI22)()(有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动0)(2 SEI jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式两边乘式两边乘 并沿梁长对并沿梁长对 x 积分